Quy tắc hợp thành HA sử dụng mặt cong ngữ nghĩa định lượng do tác giả Bùi Hải Lê đề suất trong [1] đã phản ánh trung thực cơ sở luật trong bảng SAM và tránh được tính chất giao hốn như các cơ chế sử dụng phép cộng và phép nhân. Trong khuôn khổ luận án, tác giả sẽ sử dụng mặt cong ngữ nghĩa định lượng.
2.4. Giới thiệu tối ưu và tối ưu đa mục tiêu 2.4.1. Bài toán tối ưu 2.4.1. Bài toán tối ưu
2.4.1.1. Khái niệm bài tốn tối ưu
a. Phát biểu: Tìm trạng thái tối ưu của một hệ thống bị ràng buộc sao cho đạt
được mục tiêu mong muốn về chất lượng theo nghĩa nào đó [84].
b. Các yếu tố của bài toán tối ưu
Các yếu tố của một bài toán tối ưu bao gồm [85, 84]:
Biến thiết kế: là những đại lượng đặc trưng của hệ thống, có thể thay đổi giá trị trong q trình tối ưu hóa. Đối với kết cấu, các đại lượng này có thể là kích thước hình học (chiều rộng, chiều cao của tiết diện; diện tích mặt cắt ngang của thanh; …), tính chất cơ học, vật lý (mô đun đàn hồi, hệ số dãn nở nhiệt, …), của kết cấu.
Trạng thái: mô phỏng một hệ thống kỹ thuật, kinh tế, … bởi những quan hệ số liệu, hàm số hoặc những phương trình chứa một số biến.
Mục tiêu: đặc trưng cho tiêu chuẩn hoặc hiệu quả mong muốn (chuyển vị nhỏ nhất, gia tốc nhỏ nhất, thời gian về vị trí cân bằng ngắn nhất, …).
Ràng buộc: thể hiện các điều kiện kỹ thuật, kinh tế, … mà hệ thống phải thỏa mãn.
Như vậy, bài tốn tối ưu có thể được áp dụng cho các ngành kỹ thuật và kinh tế … Các yếu tố của bài toán được đặt ra tùy thuộc vào người sử dụng.
2.4.1.2. Phân loại bài toán tối ưu
Thơng thường, các dạng bài tốn tối ưu được phân loại như sau [84] [1]:
a. Bài toán quy hoạch tuyến tính
Hệ thống ở trạng thái tĩnh (khơng phụ thuộc thời gian) có các biến thiết kế (trạng thái) là:
x = [x1, x2,…, xn]T (2.42)
Mục tiêu được diễn đạt bởi hàm mục tiêu có dạng tuyến tính:
Z = gTx min/max; g = [g1, g1,…, gn]T (2.43)
Các ràng buộc (giới hạn) được diễn đạt bởi các phương trình, bất phương trình tuyến tính:
Ax = b; Ax b; A = [aij]; i = 1,…,m; j = 1,…,n; b = [b1, b1,…, bn]T (2.44)
b. Bài toán quy hoạch phi tuyến
Hệ thống ở trạng thái tĩnh. Tìm trạng thái tối ưu x* khi hàm mục tiêu được diễn đạt bởi một hàm phi tuyến Z(x) hoặc có ràng buộc phi tuyến.
Một số bài toán riêng của quy hoạch phi tuyến là: quy hoạch lồi, quy hoạch lõm và quy hoạch tồn phương.
c. Bài tốn phân tích và hồi quy số liệu (quy hoạch thực nghiệm)
Xác định biểu thức giải tích của hàm mục tiêu từ các số liệu thực nghiệm hoặc quan sát sao cho tổng độ lệch bình phương từ các số liệu và các giá trị giải tích là nhỏ nhất.
d. Bài toán cực trị phiếm hàm
Hệ thống ở trạng thái tĩnh (không phụ thuộc thời gian) hoặc trạng thái động (phụ thuộc thời gian). Biến trạng thái là y(x) với x là biến độc lập. Mục tiêu được
diễn đạt bởi phiếm hàm mục tiêu:
0 ( ) ( , ', ) min/ max f x x J y F y y x dx (2.45)
Ràng buộc có thể là các hàm phi tuyến, các phương trình đại số hoặc các phương trình vi phân.
2.4.2. Các dạng bài toán tối ưu kết cấu
2.4.2.1. Bài toán tối ưu tiết diện ngang
Bài tốn tối ưu tiết diện ngang có hàm mục tiêu là thể tích hoặc trọng lượng kết cấu với các ràng buộc về bền và chuyển vị. Loại bài tốn này đã được nghiên cứu khá đầy đủ, có thể giải được những kết cấu phức tạp và số biến thiết kế khá lớn. Hướng nghiên cứu hiện nay là tìm cách giá khối lượng tính tốn bằng cách tìm phương pháp lặp hội tụ nhanh và tăng mức độ chính xác của kết quả [86]. Bài tốn tối ưu tiết diện ngang được chia làm 2 trường hợp
a. Tối ưu tiết diện ngang với biến thiết kế liên tục
Đặc điểm của bài tốn là biến thiết kế có thể nhận giá trị trong một miền liên tục. Đây là dạng bài tốn được nghiên cứu đầu tiên trong q trình phát triển cũng như áp dụng phương pháp quy hoạch toán học và phương pháp tiêu chuẩn tối ưu trong lý thuyết tối ưu kết cấu. Một trong những kỹ thuật giải bài toán này là loại trừ bớt các ràng buộc đã có, tiếp theo ở mỗi bước lặp chỉ giữ lại các ràng buộc tới hạn hoặc gần tới hạn. Kỹ thuật này cho phép giảm đáng kể thời gian tính tốn. Bên cạnh đó người ta cịn dùng cách đặt biến trung gian (biến nghịch đảo, biến nội lực) nhằm tăng mức độ chính xác khi sử dụng phương pháp gần đúng tuyến tính hóa.
Với bài tốn biến liên tục, có thể sử dụng lý thuyết phân tích độ nhạy để tiếp cận lời giải tối ưu, khơng cần tái phân tích kết cấu nhiều lần mà vẫn thỏa mãn yêu cầu về độ chính xác. Trong [87] đã phân tích khá đầy đủ các phương pháp gần đúng phục vụ bài toán này.
Trong thực tế, biến mặt cắt được chọn trong bảng danh mục cho sẵn do nhà sản xuất cung cấp, vì vậy tập các giá trị có thể nhận của biến thiết kế là một tập rời rạc.
Nói chung, so với bài tốn liên tục, bài tốn tối ưu biến rời rạc có khối lượng tính tốn lớn hơn nhiều. Bởi lẽ trước tiên ta phải giải bài toán với giả thiết biến liên tục, sau đó sử dụng phương pháp riêng như phương pháp làm tròn, phương pháp phân nhánh… để xử lý tính chất rời rạc của nghiệm thực.
Mức độ chính xác của kết quả không chỉ phụ thuộc vào phương pháp làm tròn, mà còn phụ thuộc đáng kể vào khoảng cách giữa các giá trị liên tiếp của tập biến rời rạc. Nếu khoảng cách này đủ bé thì việc chuyển từ biến liên tục sang biến rời rạc là phù hợp, không sai số lớn, ngược lại sẽ khơng chính xác thậm chí khơng chấp nhận được.
Trong thực tế thiết kế cần tránh làm xu hướng làm tròn tăng với suy nghĩ thiên về an tồn. Việc làm như vậy cho kết quả khơng cịn tối ưu nữa. Trong
Bài tốn tối ưu hình dáng
Trong bài tốn này cấu trúc của kết cấu không thay đổi, vấn đề là xác định kích thức và hình dáng của kết cấu.
2.4.2.2. Bài toán tối ưu cấu trúc
Nội dung của bài tốn này là tìm quy luật phân bố tối ưu vật liệu hoặc các phần tử kết cấu bao gồm cả số lượng phần tử và vị trí các nút kể cả liên kết với đất. Bài toán tối ưu cấu trúc phức tạp hơn nhiều, nhưng kết quả nhận được là triệt để và do đó rất tiết kiệm.
Thường người ta nói chọn kết cấu dàn để tiếp cận với bài tốn này nhằm giảm bớt khó khăn, vì xem dàn như giải pháp hợp lý về cấu trúc ban đầu. Đối với dàn người ta chọn trước một kết cấu xuất phát gọi là kết cấu gốc bao gồm nhiều nút và thanh liên kết với nhau trong một khơng gian kiến trúc xác định. Trong q trình tối ưu hóa cách thanh dàn có ứng suất nhỏ nhất sẽ được loại bỏ dần để giữ lại một bộ phận ưu tú trong kết cấu lúc ban đầu.
Có thể sử dụng phương pháp lực hoặc chuyển vị để phân tích kết cấu trong q trình tối ưu hóa dàn. Kết cấu thu được có thể là tĩnh định hoặc siêu tĩnh. Trường hợp các cậu nhận được là khơng ổn định ta phải điều chỉnh.
Có nhiều phương pháp giải bài toán tối ưu cấu trúc dàn khó khăn chung là phải phân tích kết cấu nhiều lần thời gian tính tốn kéo dài.
Trường hợp hệ chịu tải trọng động trong hệ ràng buộc phải khống chế tần số dao động riêng người ta thường kết hợp giải hai bài tốn tối ưu hình dáng và cấu trúc để tìm phương án kết cấu tốt nhất [1]
2.4.2.3. Bài tốn tối ưu tổng chi phí
sử dụng và trong quá trình sử dụng, chất lượng ban đầu của kết cấu sẽ suy giảm theo thời gian vì vậy người ta mở rộng phạm vi xem xét kết cấu cả trong q trình khai thác. Do đó hàm mục tiêu là trọng lượng mới chỉ nói nên chi phí ban đầu của kết cấu. Cần bổ sung cho hàm mục tiêu phần chi phí trong q trình sử dụng khơng chỉ dẫn đến làm thay đổi về quan niệm tối ưu hóa kết cấu mà cịn kéo theo nội dung bài toán và cơng cụ giải quyết cũng khác trước, đó là việc áp dụng lý thuyết quy hoạch ngẫu nhiên.
Khi chỉ kể đến chi phí ban đầu thì giá thành kết cấu có quan hệ tỷ lệ thuận với chất lượng và tuổi thọ cơng trình lúc thiết kế. Nhưng tính cả chi phí trong quá trình khai thác thì cả hai phần chi phí sẽ quan hệ khơng thuận chiều đối với chất lượng ban đầu của cơng trình. Về định tính có thể tồn tại điểm cực tiểu của hàm tổng chi phí tương ứng với chất lượng ban đầu [88, 89]. Trong [88, 90] đã chứng minh và xác định được mối quan hệ giữa tổng chi phí và tham số đặc trưng cho chất lượng của kết cấu; điểm cực tiểu của tổng chi phí theo tham số chất lượng ban đầu.
2.4.3. Bài toán tối ưu đa mục tiêu
Các bài toán tối ưu kể trên có thể có một hoặc nhiều (đa) mục tiêu. Trong thực tế, các bài toán tối ưu hầu hết là đa mục tiêu và những mục tiêu này có tính mâu thuẫn, thỏa hiệp (trade-o ) với nhau. Các kết quả cần thiết của một bài toán tối ưu đa mục tiêu gồm: tập giải pháp khả thi (tập hợp chứa tất cả các khả năng, giải pháp có thể xảy ra của bài tốn) và tập Pareto (là tập chứa các véc tơ trạng thái tối ưu mà khi giảm một mục tiêu nào đó thì khơng là ngun nhân gây ra việc giảm đồng thời của ít nhất một mục tiêu khác với giả thiết các mục tiêu đều min [91].
Xét bài toán tối ưu gồm hai mục tiêu Z1 và Z2 có tính thỏa hiệp với nhau. Tập giải pháp khả thi (đường cong kín đi qua các điểm P1, P2, P3 và P4) được biểu diễn trên Hình 2.14 [1].
Giả sử, hai mục tiêu có dạng Z1 min và Z2 min, nghĩa là điểm O thỏa
mãn đồng thời hai mục tiêu trên, tập Pareto sẽ là đoạn P1 P2.
Z1 Z1, max O Giải pháp khả thi P1 Z2 P2 P3 P4 Z2, max Z2, min Z1, min