X²t b i to¡n (P). H m f kh£ vi li¶n töc tr¶n tªp lçi ângD v tªp mùc
Lf(x0) := {x∈D:f(x)≤f(x0)}
l bà ch°n, trong âx0 ∈D. Vîi λ >0,°t
z(x) := PD(x−λ∇f(x)), x∈D.
Bê · 1.3.1. Ta câ c¡c kh¯ng ành sau: i) H m z(.) li¶n töc tr¶n D.
ii) iºm x∗∈D l iºm døng cõa b i to¡n(P) n¸u v ch¿ n¸u x∗ =z(x∗).
iii) N¸u x∈D th¼ (z(x)−x)T∇f(x)≤ −1λ||z(x)−x||2.
Chùng minh. i) Hiºn nhi¶n v¼ ∇f v ph²p chi¸u l 2 h m li¶n töc. ii) Theo t½nh ch§t cõa ph²p chi¸u ta câ
x∗ =z(x∗) = PD(x−λ∇f(x))
khi v ch¿ khi
hx∗−λ∇f(x∗)−x∗, y−x∗i ≤0, ∀y∈D
hay
h∇f(x∗), y−x∗i ≥0, ∀y∈D.
i·u n y chùng tä x∗ l iºm døng cõa b i to¡n (P). iii) Theo ành ngh¾a cõa ph²p chi¸u, ta câ
hx−λ∇f(x)−z(x), y−z(x)i ≤0, ∀y∈D. Thay y=x v o b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: hx−λ∇f(x)−z(x), x−z(x)i ≤0. Suy ra ||x−z(x)||2− hλ∇f(x), x−z(x)i ≤0 ⇔ hλ∇f(x), z(x)−xi ≤ −||z(x)−x||2. Bê · ¢ ÷ñc chùng minh.
Thuªt to¡n. Chånx0 ∈D v γ, β∈(0,1). T¤i méi b÷îc l°p k= 0,1,2, ...câ xk. B÷îc 1. T½nh∇f(xk). N¸u∇f(xk) = 0 th¼ thuªt to¡n k¸t thóc v xk l iºm døng. Tr¡i l¤i chuyºn sang B÷îc 2.
B÷îc 2. T½nh
zk :=PD(xk− ∇f(xk)).
N¸uzk =xk th¼ thuªt to¡n k¸t thóc, xk l iºm døng. Tr¡i l¤i, l§y dk =zk−xk v sû döng quy tc Armijo t¼m sè tü nhi¶n nhä nh§t mk thäa m¢n
f(xk +γmkdk)≤f(xk) +βγmk(dk)T∇f(xk).
°t µk :=γmk, xk+1:=xk+µkdk. Thay k bði k :=k+ 1 v quay v· b÷îc l°p k. ành lþ 1.3.1. Gi£ sû f kh£ vi li¶n töc tr¶n D v x0 ∈ D sao cho tªp mùc Lf(x0)
l bà ch°n. Khi â d¢y {xk} thu ÷ñc b¬ng ph÷ìng ph¡p chi¸u ¤o h m ÷ñc x¡c ành tèt. N¸u thuªt to¡n khæng k¸t thóc th¼ d¢y {xk} bà ch°n v b§t ký iºm tö n o cõa d¢y n y công l iºm døng cõa b i to¡n (P).
Chùng minh. Do f li¶n töc, tªp Lf(x0) âng n¶n tªp n y l compact. V¼ vªy b i to¡n (P) câ nghi»m tèi ÷u tr¶n tªp Lf(x0) v iºm â công ch½nh l nghi»m tèi ÷u cõa f tr¶n D. Gi£ sû thuªt to¡n khæng k¸t thóc t¤i b÷îc l°pk. Do f kh£ vi, ¡p döng cæng thùc Taylor ta câ:
f(xk+µdk)−f(xk) = µ(dk)T∇f(xk) + 0(µ),
trong â µ≥0 v theo Bê · 1.3.1 iii), ta câ (dk)T∇f(xk)<0. Do â, tçn t¤i µ0 >0
sao cho
f(xk+µdk)−f(xk)≤βµ(dk)T∇f(xk) (1.23) vîi måi µ∈(0, µ0) v thuªt to¡n ¢ n¶u x¡c ành tèt. L§yµ=γm vîi m l sè nguy¶n d÷ìng. Do â sè tü nhi¶nmtrong thuªt to¡n luæn tçn t¤i. Chùng tä d¢y{f(xk)}gi£m n¶n xk ∈Lf(x0). Vªy d¢y {xk} bà ch°n v do â câ iºm tö. Sèmk l sè tü nhi¶n nhä nh§t thäa m¢n (1.23) vîi µ=γmk n¶n vîimk −1ta câ
f(xk+γmk−1 dk)−f(xk)> βγmk−1 (dk)T∇f(xk), hay (γmk−1 )−1[f(xk +γmk−1 dk)−f(xk)]> β(dk)T∇f(xk). (1.24) Thay k =ks trong(1.24) v cho ks →+∞, v¼ γmk−1 →0khi k →+∞ ta ÷ñc
(d)T∇f(x)≥β(d)T∇f(x),
trong â x, d t÷ìng ùng l c¡c giîi h¤n cõa d¢y {xk}, {dk}. Do β ∈(0,1) n¶n ta câ: (d)T∇f(x)≥0.
Theo Bê · 1.3.1 iii) th¼ (d)T∇f(x) ≤0. Vªy (d)T∇f(x) = 0. Theo Bê · 1.3.1 i) v iii) ta câ z(x) =x. Theo Bê · 1.3.1 ii) ta câ x l iºm døng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
V½ dö 1.3.1. Gi£i b i to¡n
min{f(x) = x21+x1+y2 :x= (x1, x2)∈D},
trong â D={(x1, x2)∈R2:x1 ≥0, x2≥0, x1+x2≤1}.
Ta th§y r¬ng h m f(x1, x2) = x21+x1+y2 l h m lçi tr¶n R2. Ta câ∇f(x1, x2) = (2x+ 1,2y)T. L§y γ =β = 1
2.
p döng ph÷ìng ph¡p chi¸u ¤o h m ta nhªn ÷ñc k¸t qu£ cõa c¡c b÷îc l°p ÷ñc ghi trong b£ng sau.
Ph²p l°p xk ∇f(xk) zk :=PD(xk− ∇f(xk)) dk mk µk 0 (1,0)T (3,0)T (0,0)T (−1,0)T 1 1 2 1 (1 2,0) T (2,0)T (0,0)T (−1 2,0) T 1 1 2 3 (1 4,0) T (3 2,0) T (0,0)T (−1 4,0) 1 1 2 4 (1 8,0) T (5 4,0) T (0,0)T (−1 8,0) T 1 1 2 5 ( 1 16,0) T (9 8,0) T (0,0)T (− 1 16,0) T 1 1 2
B£ng 1.1. C¡c b÷îc l°p ban ¦u khi gi£i V½ dö 1.3.1 Tø b£ng câ thº th§y r¬ng d¢y {xk} ={( 1
2k,0)} l d¢y bà ch°n v xk → x∗ = (0,0)T
khik→+∞. Theo ành lþ 1.3.1 th¼ ta câ iºm(0,0)T l iºm døng cõa b i to¡n tr¶n. 1.3.2 Thuªt to¡n Frank-Wolfe
Mët thuªt to¡n cì b£n kh¡c º gi£i b i to¡n quy ho¤ch lçi vîi r ng buëc tuy¸n t½nh l thuªt to¡n Frank-Wolfe. Þ t÷ðng cì b£n cõa ph÷ìng ph¡p l x§p x¿ tuy¸n t½nh h m möc ti¶u ð méi b÷îc l°p.
Thuªt to¡n. T¼m x0∈D. T¤i b÷îc l°p k (k = 0,1, ...) câxk
B÷îc 1. T½nh ∇f(xk). N¸u ∇f(xk) = 0 th¼ døng thuªt to¡n v xk l iºm døng. Tr¡i l¤i, sû döng ph÷ìng ph¡p ìn h¼nh º gi£i b i to¡n tèi ÷u tuy¸n t½nh
min{h∇f(xk), xi:x∈D} (LPk) thu ÷ñc nghi»m tèi ÷u cì sð uk. Ta x²t hai tr÷íng hñp:
(i) N¸u
th¼ k¸t thóc: xk l iºm døng. (ii) N¸u
h∇f(xk), uk−xki<0,
l§y dk :=uk−xk l mët h÷îng gi£m. T¼m ë d i b÷îc l°p tk theo cæng thùc:
tk = argmin{f(xk+tdk) : 0≤t≤1}.
B÷îc 2. T½nh xk+1:=xk+tkdk. Thay k:=k+ 1 v quay l¤i b÷îc l°pk. ành lþ 1.3.2. i) f(xk+1)< f(xk), ∀k.
ii) N¸u thuªt to¡n k¸t thóc ð b÷îc l°p k th¼ xk l iºm døng. N¸u thuªt to¡n khæng k¸t thóc th¼ måi iºm tö cõa d¢y {xk} l iºm døng.
iii) N¸u th¶m i·u ki»n f l h m lçi tr¶nD th¼ f(xk) hëi tö gi£m v· f∗ v ta câ
0≤f(xk)−f∗≤ h∇f(xk), xk−uki, ∀k.
Chùng minh. i) V¼ theo thuªt to¡n, dk l h÷îng gi£m.
ii) Theo ti¶u chu©n døng, n¸u thuªt to¡n k¸t thóc ð b÷îc l°p k, th¼
h∇f(xk), uk−xki ≥0.
Do uk l mët líi gi£i tèi ÷u cõa b i to¡n (LPk), n¶n ta câ
h∇f(xk), x−xki ≥ h∇f(xk), uk−xki ≥0, ∀x∈D.
Vªy xk l mët iºm døng.
Ti¸p theo, gi£ sû thuªt to¡n khæng k¸t thóc. L§y x∗ l mët iºm tö b§t ký cõa d¢y (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
{xk}. Khi â câ mët d¢y con{xkj}d¦n ¸nx∗ khij → ∞. DoD câ húu h¤n c¡c ¿nh, ta câ thº gi£ sû r¬ng ukj = u∗ vîi måi j. Tø f(xk+1) < f(xk) vîi måi k, theo ành ngh¾a xkj+1 v u∗, ta câ
f(xkj+1)< f(xkj+1)≤f(xkj +t(u∗−xkj)), ∀0≤t≤1.
Cho j →+∞, tø t½nh li¶n töc cõa h m f ta ÷ñc
f(x∗)≤f(x∗+t(u∗−x∗)), ∀0≤t ≤1. Suy ra 0≤ lim t→0+ f(x∗+t(u∗−x∗))−f(x∗) t =h∇f(x ∗), u∗−x∗i.
M°t kh¡c, tø xkj l mët líi gi£i tèi ÷u cõa b i to¡n (LPkj), ta câ
h∇f(xkj), u∗−xkji ≤ h∇f(xkj), x−xkji, ∀x∈D.
L§y giîi h¤n khi j →+∞, ta ÷ñc
h∇f(x∗), x−x∗i ≥0, ∀x∈D.
Vªy x∗ l mët iºm døng.
iii) Gi£ sû r¬ng f l h m lçi tr¶n D. Do t½nh lçi,
0≤ h∇f(x∗), x−x∗i ≤f(x)−f(x∗), ∀x∈D.
Vªy x∗ l líi gi£i tèi ÷u cõa b i to¡n(P). Hìn núa, douk l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (LPk) v f lçi n¶n t¤i méi b÷îc l°p k ta câ
h∇f(xk), uk−xki ≤ h∇f(xk), x∗−xki ≤f(x∗)−f(xk),
hay l
f(xk)−f(x∗)≤ h∇f(xk), xk −uki, ∀k.
Ch֓ng 2
Cüc ¤i cõa h m lçi tr¶n tªp lçi
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· h m bao lçi. Giîi thi»u b i to¡n t¼m cüc ¤i cõa h m lçi tr¶n tªp lçi v mët sè t½nh ch§t cì b£n. Tr¼nh b y ba ph÷ìng ph¡p cì b£n gi£i b i to¡n quy ho¤ch lçi â l thuªt to¡n x§p x¿ ngo i, thuªt to¡n x§p x¿ trong v thuªt to¡n nh¡nh cªn. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1] - [5], [8], [10].
2.1 H m bao lçi
Ta nhc l¤i r¬ng: Cho A l mët tªp b§t ký trong Rn. Giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùaA ÷ñc gåi l bao lçi cõa tªp A v kþ hi»u l coA.
Bê · 2.1.1. i) coA l mët tªp lçi. â l tªp lçi nhä nh§t chùa A. ii) A lçi khi v ch¿ khi A= coA.
iii) coA={x:x l tê hñp lçi cõa c¡c v²ctì thuëc A}.
Theo bê · tr¶n, måi ph¦n tû xthuëccoA·u l tê hñp lçi cõa c¡c ph¦n tû thuëc
A. Sè ph¦n tû cõa A tham gia trong tê hñp n y d¾ nhi¶n phö thuëc v o méi iºm x. ành lþ sau nâi r¬ngdimA≤k,th¼ måi iºm thuëc coA ·u biºu di¹n nh÷ l mët tê hñp lçi cõa nhi·u nh§t l (k+ 1) ph¦n tû thuëc A.
ành lþ 2.1.1. (Carath²odory). Cho A l mët tªp bà chùa trong mët tªp affine câ thù nguy¶n l k. Khi â måi x∈coA ·u câ thº biºu di¹n nh÷ l tê hñp lçi cõa nhi·u nh§t (k+ 1) ph¦n tû cõa A.
Chùng minh ành lþ n y s³ dòng ¸n M»nh · sau, công l mët d¤ng cõa ành lþ Carath²odory èi vîi bao nân lçi.
M»nh · 2.1.1. Gi£ sûA⊂Rk. Khi â méi iºmx6= 0 thuëc coneA ·u câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng
trong â xi ∈A, λi>0 vîi måi i v c¡c iºm x1, ..., xr ëc lªp tuy¸n t½nh. Nâi ri¶ng r≤k. Chùng minh. (ành lþ Carath²odory) X²t tªp hñp B := 1×A={(1, x) :x∈A} ⊂R×Rk. Ta câ coB = 1×coA.
Gi£ sû coneB l nân lçi sinh bði B. Do coB l tªp lçi nhä nh§t chùaB, n¶n
coB ⊂coneB. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vîi måi (1, x)∈coB, theo M»nh · 2.1.1, tçn t¤i c¡c iºm
(1, x1), ..., (1, xr)∈B
v c¡c ch¿ sèλ1, ..., λr, vîi r≤k+ 1 thäa m¢n:
x=λ1x1+...+λrxr, xi ∈A ∀i, λ1+...+λr = 1, λi >0∀i.
ành ngh¾a 2.1.1. ChoA⊆Rn, f :A→R. H m bao lçi cõa h mf tr¶n A , kþ hi»u
cof, ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:
cof(x) := inf{µ∈R: (x, µ)∈co (epif), x∈A}.
M»nh · 2.1.2. cof l h m lçi lîn nh§t trong c¡c h m lçi non hìn f.
Chùng minh. Tr÷îc h¸t ta s³ chùng minh cof l h m lçi tr¶n A. Ta th§y r¬ng
(x, β)∈epi (cof)⇔ ∀ε >0, ∃(x, µ)∈co (epif) :µ < β+ε.
Vîi måi c°p (x1, β1), (x2, β2)∈epi (cof) v λ∈(0,1) ta chùng minh
(λx1+ (1−λ)x2, λβ1+ (1−λ)β2)∈epi (cof).
Thªt vªy, vîi måiε >0, tçn t¤iµ1 < β1+εv µ2 < β2+εsao cho(x1, µ1), (x2, µ2)∈
co (epif). Nh÷ng lóc â, µ := λµ1+ (1−λ)µ2 < λβ1+ (1−λ)β2 +ε, m°t kh¡c do
co (epif)lçi, (λx1+ (1−λ)x2, µ) =λ(x1, µ1) + (1−λ)(x2, µ2)∈co (epif). Theo nhªn x²t tr¶n, (λx1+ (1−λ)x2, λβ1+ (1−λ)β2)∈epi (cof).
Do epif ⊆epi (cof) suy ra cof ≤f. B¥y gií, gi£ sû g ≤ f, ta câ epig ⊇ epif v
Nhªn x²t 2.1.1. Vîi måi x∈A, cof(x) = inf{X i∈I(x) λif(xi) :x= X i∈I(x) λixi, xi∈A, λi≥0, i∈I(x), X i∈I(x) λi= 1}.
Thªt vªy, kþ hi»u ¤i l÷ñng ð v¸ ph£i l α. Do
(x= X i∈I(x) λixi, xi∈A, λi ≥0, i∈I(x), X i∈I(x) λi= 1)⇒(x, X i∈I(x) λif(xi))∈co (epif), ta suy ra cof(x)≤α.
Ng÷ñc l¤i, l§y tòy þ(x, µ)∈co (epif). Theo ành ngh¾a cõa bao lçi, vîi méix∈A
tçn t¤i tªp ch¿ sè I(x) v c¡c sè thücλi, (i∈I(x)) sao cho:
(x, µ) = X i∈I(x) λi(xi, µi), vîi (xi, µi)∈epif, λi≥0, X i∈I(x) λi = 1. ⇒µ= X i∈I(x) λiµi≥ X i∈I(x) λif(xi); x= X i∈I(x) λixi.
Tø ¥y suy ra cof(x)≥α. Vªy
cof(x) = inf{ X i∈I(x) λif(xi) :x= X i∈I(x) λixi, xi∈A, λi ≥0, i∈I(x), X i∈I(x) λi= 1}.
Theo ành lþ Carath²odory, n¸u dimA = k ta câ thº gi£ thi¸t tªp ch¿ sè ch¿ câ
(k+ 1) ph¦n tû. Nhúng i·u tr¶n ¢ chùng minh m»nh · sau:
M»nh · 2.1.3. Cho f l mët h m sè thüc tr¶n Rn v A ⊆ Rn vîi dimA =k. Khi â h m bao lçi cõa f tr¶n tªp lçi A ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:
cof(x) = min{ k+1 X i=1 λif(xi) :x= k+1 X i=1 λixi, xi∈A, λi ≥0, k+1 X i=1 λi = 1}.
Trong nhi·u ùng döng, A l mët tªp lçi a di»n bà ch°n (gåi tt l a di»n lçi). Khi â, n¸u dimA=k, th¼ A câ ½t nh§tk+ 1¿nh v theo ành lþ Carath²odory måi iºm cõa A ·u l tê hñp lçi cõa khæng qu¡ k+ 1 ¿nh cõa A. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
H» qu£ 2.1.1. Gi£ sû f l mët h m lãm nhªn gi¡ trà húu h¤n tr¶n tªp a di»n lçi
D⊂Rn vîi dimD=k. Khi â h m bao lçi cof ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:
F(x) = min{ k+1 X i=1 λif(vi) :x= k+1 X i=1 λivi, vi ∈V(D), λi≥0, k+1 X i=1 λi= 1}.
Chùng minh. Tr÷îc ti¶n ta th§y r¬ng h m F ÷ñc ành ngh¾a nh÷ tr¶n l mët h m lçi, húu h¤n tr¶n D. Thªt vªy, theo ành lþ biºu di¹n cõa tªp lçi, måi iºm x ∈ D
·u biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng tê hñp lçi cõa c¡c ¿nh cõaD, n¶n vîi måix∈D, mi·n ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n x¡c ành F(x) kh¡c réng, compact. Vªy F(x) húu h¤n vîi måix∈D.
Gi£ sû x, y ∈ D v t ∈ (0,1). Kþ hi»u λ v β l nghi»m cõa b i to¡n x¡c ành
F(x) v F(y). Vªy x = k P i=1 λivi, y = k P i=1 βivi. °t z := tx+ (1 −t)y. Khi â z = k P i=1
[tλi+ (1−t)βi]vi, n¶n v²ctì tλ+ (1−t)β l iºm ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n x¡c ành F(z). Do â F(z)≤ k X i=1 [tλi+ (1−t)βi]F(vi) =t k X i=1 λif(vi) + (1−t) k X i=1 βif(vi). ⇒F(z)≤tF(x) + (1−t)F(y). Chùng tä F lçi tr¶nD.
Theo m»nh · tr¶n v theo ành ngh¾a cõa F(x), ta câ cof(x) ≤ F(x) vîi måi
x∈D. Theo ành lþ Carath²odory måix∈D ·u câ d¤ng
x= k+1 X i=1 λivi, k+1 X i=1 λi= 1, λi≥0, vi∈V(D) ∀i.
Do f lãm tr¶n D v do ành ngh¾a cõa F, ta l¤i câ
f(x)≥
k+1 X
i=1
λif(vi)≥F(x)∀x∈D.
Vªy F l mët h m lçi non cõa f tr¶n D. K¸t hñp l¤i, ta ÷ñc cof(x) = F(x) vîi
måi x∈D.
Chó þ 2.1.1. Theo ành lþ Carath²odory, sè c¡c ¿nh cõa D c¦n ¸n trong biºu di¹n
x tèi a l k + 1. Tuy nhi¶n, do c¡c ¿nh trong méi biºu di¹n câ thº kh¡c nhau n¶n trong thüc t¸ v¨n c¦n ¸n t§t c£ c¡c ¿nh cõa D. Nâi chung, v· ph÷ìng di»n t½nh to¡n, vi»c x¡c ành t§t c£ c¡c ¿nh cõa mët a di»n lçi l mët b i to¡n khâ. Do â vi»c t½nh h m bao lçi l mët v§n · phùc t¤p. M»nh · d÷îi ¥y x²t vi»c t½nh h m bao lçi cõa mët h m lãm tr¶n mët ìn h¼nh. Trong tr÷íng hñp n y ta câ cæng thùc gi£i t½ch cõa h m bao lçi, theo m»nh · d÷îi ¥y.
M»nh · 2.1.4. Gi£ sûS ⊆Rn l mët ìn h¼nh câ c¡c ¿nh l v0, ..., vn v f :S→R
l mët h m lãm. Khi â h m bao lçi cõa f tr¶n S l mët h m affine l(x) = aTx+b, trong â a∈Rn v b ∈R l nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
aTvi+b =f(vi), i= 0, ..., n.
Chùng minh. L§y méi ph÷ìng tr¼nh cõa h»
aTvi+b=f(vi), i= 0, ..., n
trø cho ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n, ta ÷ñc
(v0−vi)Ta=f(v0)−f(vi), i= 1, ..., n.
Do c¡c vectì v0−vi (i = 1, ..., n) ëc lªp tuy¸n t½nh, n¶n nghi»m a cõa h» ÷ñc x¡c ành duy nh§t, v tø â b công ÷ñc x¡c ành duy nh§t.
Ta th§y r¬ng h m l l h m non hìn cõa f, v¼ måix ∈ S ·u ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng x= n P i=0 λivi. Do f lãm tr¶n S, n¶n f(x) = f( n X i=0 λivi)≥ n X i=0 λif(vi) = n X i=0 λil(vi) = l(x).
Hìn núa, n¸u F l mët h m lçi non cõa f tr¶n S, th¼ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
F(x) =F( n X i=0 λivi)≤ n X i=0 λiF(vi) ≤ n X i=0 λif(vi) = n X i=0 λil(vi) =l(x).
Chùng tä l l h m lçi non lîn nh§t trong c¡c h m lçi non cõa f tr¶n S.
2.2 Cüc ¤i cõa h m lçi2.2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 2.2.1 Ph¡t biºu b i to¡n
X²t b i to¡n
max{f(x) :x∈D⊆Rn} (P1) trong â f(x) :Rn →R l h m lçi, D⊆Rn l tªp lçi a di»n.
2.2.2 T½nh ch§t cì b£n
C¡c t½nh ch§t cõa cüc ¤i cõa mët h m lçi kh¡c h¯n c¡c t½nh ch§t v· cüc tiºu cõa nâ. Cö thº ta th§y r¬ng cüc ¤i àa ph÷ìng cõa mët h m lçi khæng nh§t thi¸t l cüc ¤i to n cöc. V½ dö h m f(x) = x2 câ iºm cüc ¤i àa ph÷ìng tr¶n o¤n [−1,2] l
x=−1, nh÷ng iºm cüc ¤i to n cöc l¤i l x= 2. N¸u x²t h m n y tr¶n o¤n [−2,2]
ta th§y tªp c¡c iºm cüc ¤i to n cöc cõa nâ tr¶n o¤n n y l khæng lçi v¼ nâ ch¿ gçm