II. TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI HA
1. Ðịn h nghĩa tích phân ð ýờng loại hai trong mặt phẳng
Cho 2 hàm ỳậxờyấờ ẵậxờyấ xác định trên cung thuộc mặt phẳng xyề ũhia cung th ành n phần tùy ý bởi các điểm ồ ụ ồo ≥ ồ1 < ẦẦ ≥ ồn ụ ửờ với ồiậxiờyiấ Trên
mỗi cung AiAi+1 lấy một điểm ∞i ậxiờ yiấ tùy ýờ và i ụ ữờ ị ờ Ầ ờ n và đặt xi = x i+1 Ờ xi , yi = yi+1 Ờ yi
Lập tổng ầ
Nếu Sn có giới hạn hữu hạn ỗ khi n sao cho max{ li } 0 với li là độ dài cung AiAi+1 và không phụ thuộc vào cách chia cung đoạn ồiồi-1 và cách chọn các
Mi, thì ỗ đýợc gọi là tắch phân đýờng loại ị của fậ∞ấ trên cung ồử và đýợc ký hiệu làầ
Vậyầ
2. Định lý
Nếu các hàm ỳậxờyấ ờ ẵậxờyấ liên tục trong một miền mở chứa cung ồử trõn từng
khúc thì tắch phân đýờng loại ị luôn tồn tạiề
3. Tắnh chất
a). Do khi đổi hýớng cung thành thì trong tổng tắch phân các xi = x i+1 Ờ xi , yi = yi+1 Ờ yi đýợc thay bằng - xi , -yi nên tắch phân đýờng loại ị bị đổi dấuề Ta có ầ
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2
Do đó khi đýờng lấy tắch phân là đýờng cong kắn ũờ ta quy ýớc hýớng dýõng trên ũ là hýớng mà khi đi dọc trên ũ thì miền bị chặn bởi ũ nằm phắa bên tráiề ổýớng ngýợc lại là hýớng âmề Tắch phân theo hýớng dýõng đýợc ký hiệu là ầ
(hình ịềữấ
b). Nếu ỳậxờyấờ ẵậxờyấ khả tắch trên cung , và cung đýợc chia thành ị cung , thì ỳờ ẵ cũng khả tắch trên ị cung đó ờ và ta có :
4. Công thức tắnh tắch phân đýờng loại 2 trên mặt phẳnga). Cung AB có phýõng trình tham số :