6.2. ðường cong Spline vă B-Spline
6.2.2. Câc tính chất hữu ích trong việc thiết kế câc ñường cong B-Spline
i/ Câc ñường B-Spline cấp m lă câc đa thức riíng phần cấp m. Chúng lă câc
Spline do chúng có m-2 cấp đạo hăm liín tục ở mọi điểm trong giâ mang của
Câc hăm B-Spline cấp m tạo thănh một cơ sở cho bất kỳ Spline năo có cùng
cấp được định nghĩa trín cùng câc nút. Câc Spline có thể được biểu diễn như
một tổ hợp tuyến tính của câc B-Splinẹ
ii/ Hăm trộn B-Spline Nk,m(t) bắt ñầu ở tk vă kết thúc ở tk+m . Giâ mang của nó lă [tk,tk+m]. Giâ mang của họ câc hăm Nk,m(t) với k=0,...L lă khoảng [t0,tm+L].
iii/ Một đường cong B-Spline đóng dựa trín L+1 ñiểm kiểm sơt có thể ñược tạo ra bằng câch dùng phương trình đường B-Spline tuần hoăn sau:
P(t) = k L = ∑ 0 Pk.N0,m((t-k) mod (L+1))
Với giả thiết câc nút câch ñều nhau trong ñịnh nghĩa của hăm N0,m(...).
iv/ Nếu dùng vector chuẩn thì đường cong B-Spline sẽ nội suy câc điểm kiểm sôt
đầu tiín vă cuối cùng. Câc hướng khởi đầu vă kết thúc của đường cong đó sẽ
nằm dọc theo câc cạnh đầu tiín vă cuối cùng của đa giâc kiểm sôt.
v/ Mỗi hăm B-Spline Nk,m(t) lă không đm ∀t, vă tổng câc họ hăm năy bằng 1: k L = ∑ 0 Nk,m(t) = 1 ∀t ∈ [t0 , tm+L ]
vi/ Câc ñường cong dựa trín câc B-Spline lă bất biến Affin. Do ñó, để biến ñổi
một ñường cong B-Spline, chỉ cần biến đổi câc điểm kiểm sôt, sau đó khởi tạo lại đường cong từ câc điểm kiểm sơt đê ñược biến ñổi năỵ
vii/ Một ñường cong B-Spline sẽ nằm trong bao lồi của câc điểm kiểm sôt
Mạnh hơn: Ở bất kỳ t năo, chỉ có m hăm B-Spline lă khâc 0. Vì vậy, ở mỗi t đường
cong phải nằm trong bao lồi của hầu hết m ñiểm kiểm sơt kích hoạt kế nhaụ
(Câc điểm kiểm sơt kích hoạt lă câc điểm mă tại đó hăm B-Spline khâc 0)
viii/ðộ chính xâc tuyến tính của đường cong B-Spline: Nếu m điểm kiểm sôt kề
nhau lă tuyến tính cùng nhau thì bao lồi của chúng lă một đường thẳng. Do đó
đường cong cũng sẽ trở thănh đường thẳng.
ix/ Tính chất giảm độ biến thiín: Số giao điểm giữa đường cong B-Spline với bất
kỳ một mặt phẳng năo (nếu có) ln ln nhỏ hơn số giao điểm (nếu có) giữa
đa giâc kiểm sôt của nó với mặt phẳng ñó.