Định lí 2.2
Giả sử x∗ là vectơ chấp nhận được của bài tốn (1.1)-(1.2) và nón pháp tuyến NX(x∗) là lồi. Khi đó, x∗ là tựa chuẩn tắc nếu và chỉ nếu không tồn tại các số λ1, . . . , λm và µ1, . . . , µr thỏa mãn các điều kiện (i)-(iii) của định nghĩa tựa chuẩn tắc và điều kiện sau:
(iv’) {xk} hội tụ tới x∗, và với mọi k, λihi(xk) ≥0 với mọi i, µjgj(xk) ≥ 0 với mọi j, và m X i=1 λihi(xk) + r X j=1 µjgj(xk) > 0. Chứng minh
Để đơn giản ta giả sử tất cả các ràng buộc là bất đẳng thức tích cực tại
x∗. Trước hết ta chú ý rằng nếu khơng tồn tại các số µ1, . . . , µr thỏa mãn điều kiện của định lí thì sẽ khơng tồn tại các số µ1, . . . , µr thỏa mãn điều
kiện chặt hơn (i)-(iv) trong định nghĩa tựa chuẩn tắc cho nên x∗ không là tựa chuẩn tắc.
Ngược lại, giả sử tồn tại µ1, . . . , µr thỏa mãn các điều kiện (i), (iii) của
định nghĩa tựa chuẩn tắc và điều kiện (iv’), tức là tồn tại µ1, . . . , µr thỏa mãn (i) −[ r P j=1 µj∇gj(x∗)] ∈ NX(x∗), (ii) µj ≥ 0 với mọi j = 1, . . . , r,
(iii ) {xk} hội tụ tới x∗ với mọi k, gj(xk) ≥ 0 với mọi j, và
r
X
j=1
µjgj(xk) > 0.
Điều kiện (iii) kéo theo gj(xk) ≥ 0 với mọi j, và gj(xk) > 0 với j nào đó mà µj > 0.
Khơng mất tính chất tổng qt, ta có thể giả sử j = 1, và như vậy
g1(xk) > 0, ∀k.
Lấy
Bằng cách chuẩn hóa ta có thể giả sử µ1 = 1. Khi đó, −(a1 + r X j=2 µjaj) ∈ NX(x∗). (2.7)
Nếu −a1 ∈ NX(x∗) ta chọn µm1 = 1 và µmj = 0 với mọi j = 2, . . . , r thỏa mãn các điều kiện (i)-(iv) của định nghĩa tựa chuẩn tắc. Do đó, x∗ khơng là tựa chuẩn tắc, ta được điều cần chứng minh.
Giả sử −a1 ∈/ NX(x∗) các giả thiết của bổ đề 1.2 được thỏa mãn. Vì vậy, tồn tại µm2, . . . , µmr khơng đồng thời bằng 0, sao cho
−(a1 + r
X
j=2
µmjaj) ∈ NX(x∗), (2.8)
và vectơ d ∈ NX(x∗)∗ với a0jd > 0 với mọi j = 2, . . . , r sao cho µmj > 0. Do đó, ∇gj(x∗)0d > 0,∀j = 2, . . . , r với µmj > 0. (2.9) Theo (2.8) thì µmj thỏa mãn: −[∇g1(x∗) + r X j=2 µmj∇gj(x∗)] ∈ NX(x∗). (2.10)
Tiếp theo ta chỉ ra µm1 = 1 và µm2, . . . , µmr thỏa mãn điều kiện (iv) trong định nghĩa tựa chuẩn tắc, và ta được điều cần chứng minh.
Sử dụng kết quả của Rockafellar và Wets [10] ta có: với vectơ d ∈
NX(x∗)∗ và dãy xk được xây dựng như trên sẽ tồn tại dãy dk ∈ TX(xk) sao cho dk →d. Vì xk → x∗ và dk → d, cho nên theo(2.9), với mọi k đủ lớn, ta có
∇gj(xk)0dk > 0,∀j = 2, . . . , r với µmj > 0 Vì dk ∈ TX(xk) nên tồn tại dãy {xk
với mọi v và
xkv → xk,(xkv −xk)/||xkv −xk|| → dk/||dk||, khi v → ∞. (2.11) Với mỗi j = 1, . . . , r sao cho µmj > 0, ta sử dụng Định lí Taylor cho các
hàm ràng buộc gj. Với dãy vectơ ξv hội tụ tới 0, ta có
gj(xkv) = gj(xk) +∇gj(xk)0(xkv −xk) +o(||xk v −xk||) ≥ ∇gj(xk)0(dk/||dk||+ξv)||xk v −xk||+o(||xk v −xk||) = ||xk v−xk||[∇gj(xk)0dk/||dk||+∇gj(xk)0ξv+o(||xk v−xk||)/||xk v − xk||],
trong đó bất đẳng thức ở trên được suy ra từ (2.11) và giả thiết gj(xk) ≥ 0 với mọi j và xk. Từ đó với v và k đủ lớn sẽ tồn tại xkv ∈ X gần tùy ý tới
xk sao cho gj(xkv) > 0, với mọi j = 2, . . . , r và µmj > 0.
Bởi vì g1(xk) > 0vàg1 là hàm liên tục, cho nêng1(x) > 0với mọixtrong lân cậnVk củaxk. Vì xk →x∗ và xkv →xk với mỗik, cho nên bằng cách chọn v và k đủ lớn, ta có gj(xkv) > 0 với j = 1 và mỗi j = 2, . . . , r với µmj > 0.
Điều này cùng với (2.10) sẽ vi phạm giả thiết tựa chuẩn tắc của x∗. Định lí
được chứng minh.
Ví dụ sau đây chỉ ra tính lồi của NX(x∗) là giả thiết cốt yếu trong Định lí 2.2.
Ví dụ 2.2
Cho X là tập con của R2 cho bởi
X = {x2 ≥ 0|((x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 −2)((x1 −1)2 + (x2 + 1)2 −2) ≤ 0}. (Xem hình 2.2)
Hình 2.2: Các ràng buộc của Ví dụ 2.2 Xét hai ràng buộc bất đẳng thức : g1(x) =−(x1 + 1)2 + (x2)2 + 1, g2(x) =−x2. Để có −X j µj∇gj(x∗) ∈ NX(x∗),
ta phải có µ1 > 0 và µ2 > 0. Không tồn tại x ∈ X sao cho g2(x) > 0, cho nên x∗ là tựa chuẩn tắc. Nhưng với −2 ≤ x1 ≤ 0 và x2 = 0, ta có
x ∈ X, g1(x) > 0 và g2(x) = 0. Vậy x∗ không thỏa mãn dạng yếu của tính giả chuẩn tắc trong Định lí 2.2.
Chương 3