CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
3.4.1. Hạng của hệ véctơ
*Hệ con độc lập tuy n tính tế ối đại
Cho hệ véctơ 1, ,2 V. H con cệ ủa hệ véctơ là hệ véctơ gồm một số (hoặc t t cấ ả) các véctơ của h . Hệ ệ con i1, i2, c a h ủ ệ được g i là h con ọ ệ độc lập tuyến tính tối đại nếu thỗ hai điều kiện sau
(i) Hệ 1, i2, độc lập tuy n tính. ế
(ii) Mọi véctơ của hệ đều bi u th tuyể ị ến tính được qua hệ con 1, 2,
Nhận xét: Một hệ véctơ có thể có nhi u hề ệ con độ ậc l p tuy n tính tế ối đại khác nhau
nhưng số véctơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì ln bằng nhau. Số đó ta gọi là hạng của hệ , kí hi u ệ rank .
*Cách tìm h cệ on độ ậc l p tuy n tính tế ối đại, hạng của một hệ véctơ trong
Trong cho một hệ véctơ 1, ,2 . Để tìm hệ con độc lập tuyến tính tối
đạ ủi c a hệ ta làm như sau
Bước 1: L p ma tr n A vậ ậ ới các dòng là các véctơ i.
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về ạ d ng ma tr n b c thang. ậ ậ
Bước 3: Khi đó hạng của hệ chính b ng h ng c a ma tr n A và hằ ạ ủ ậ ệ con độ ậc l p tuyến tính tối đại của gồm các véctơ ứng v i các dịng khác khơng cớ ủa ma trận A.
Ví d 3.7.ụ Trong cho các véctơ 1(1,1,1,0);2(1,1, 1,1); 3(3,4,0,2) và
4 (3,4,0,2)
. Tìm h ng và ch ra m t hạ ỉ ộ ệ con độc l p tuy n tính tậ ế ối đại c a h ủ ệ
1, , ,2 3 4.
47
- Ta cũng có thể ậ l p ma tr n B, v i các c t cậ ớ ộ ủa B là các véc tơ i. Khi đó T
B A . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa B về ạ d ng ma tr n bậ ậc thang. Khi đó
rank rank B . Hệ con độ ậc l p tuy n tính tế ối đại bao gồm các véctơ i ứng v i các ớ
cột chứa phần t ử đánh dấu c a ma trủ ận b c thang. ậ
- Trong không gian véctơ V cho hệ 1, ,2 . N u h ế ệ độc l p tuy n ậ ế
tính thì ran m và hệ con độ ậc l p tuy n tính cế ủa tối đạ ủa i c cũng chính là hệ
. Ngượ ạ ếc l i n u phụ thuộc tuy n tính thì ế ran m và hệ con độ ậc l p tuy n tính tế ối đạ ủi c a có ít hơn m phầ ửn t .