X 1n x 2n x kn
Chương 3 Mơ hình hóa và mô phỏng hệ thống 3.1Mô hình hóa, mơ phỏng hệ thống trên Matlab
3.1.1 Mơ hình hóa hệ thống
Hình 3.1 Mơ hình xe con lắc ngược
Trong đề tài này sẽ sử dụng các kí hiệu, đơn vị sau:
Bảng 3.1 Ký hiệu và ý nghĩa của các đại lượng
Kí hiệu Đơn vị Ý nghĩa
M kg Khối lượng tổng thể (trừ khối lượng cần lắc)
m kg Khối lượng của cần lắc
l m Chiều dài cần lắc
F N Lực tác động vào xe
g m / s2 Gia tốc trọng trường
x m Vị trí xe con lắc
ỡ rad Góc lệch giữa con lắc và phương thẳng đứng
Theo tài liệu tham khảo [5] việc mô tả các chuyển động của động lực học con lắc ngược dựa vào định luật của Newton về chuyển động. Các hệ thống cơ khí có hai trục: chuyển động của xe con lắc ở trên trục X và chuyển động quay của
thanh con lắc trên mặt phẳng XY. Phân tích sơ đồ của hệ thống con lắc ngược ta có được sơ đồ lực tác động vào xe con lắc và thanh con lắc.
Hình 3.2 Phân tích lực tác động
Tiến hành tổng hợp các lực tác động vào xe con lắc theo phương ngang ta được
các phương trình về chuyển động:
Mx -b.v+N=F (3.1)
Chúng ta có thể tổng hợp các lực theo phương thẳng đứng nhưng khơng hữu ích vì chuyển động của hệ thống con lắc ngược không chuyển động theo hướng
này và trọng lực của Trái Đất cân bằng với tất cả lực thẳng đứng. Tổng hợp lực
của thanh con lắc theo chiều ngang ta được:
Để làm triệt tiêu hai điều kiện P và N ta tiến hành tổng hợp moment tại trọng tâm thanh con lắc:
- Psin ớ- Ncos 0=J0 (3.5)
Thay phương trình 3.4 vào phương trình 3.5 ta được:
(J+m/2) ớ +mlgsin ớ=-ml X cos ớTừ hai phương trình (3.3) và (3.6) ta có hệ phương trình mơ tả đặc tính động
học phi tuyến của hệ thống con lắc ngược:
(M+m) X + bx + mlớ cos ỡ- mlô2 sin Ỡ=F (3.7)
(J+m/2) 0 +mlgsin ớ=-ml% cos ớ (3.8)
Ta biến đổi (3.7) và (3.8) như sau:
F-ửx-mlỡ cos 9+mld2 sin 9 , =----------------------------- M+m x_-ml X cos ỡ-mlg sin 9 9 =-------, . „,2 --------------- /+ml2
Thay các phương trình (3.9) và (3.10) vào các phương trình (3.7) và (3.8) ta được phương trình tốn của hệ con lắc ngược phi tuyến:
.._(j+ml2)(F-bx—mlÈ)2 sin 9 cos 9)+m2l2g sin 9 cos 9
(j+ml2)(M+m)—m2l2 (cosớ)2 ml(bicos Ỡ- F cos ỡ- mlỡ2 sin 9 cos ỡ+ (M+m)gsin ỡ) ơ—
Để đơn giản hóa hệ thống ta bỏ qua khối lượng cần lắc, mơ hình tốn phi tuyến
của hệ con lắc ngược được xác định như sau:
,z . .2
„_F+ml(sinớ)ớ —m^sinớcosớ
M+m-m (cos ớ)2
ỹ F cos ỡ-(M+m)^ sin ỡ+ml(sin 9 cos ỡ)ỡ2
ml (cos ỡ)2-(M+m)l
Để tuyến tính hóa hệ con lắc ngược ta giả sử góc 0 nhỏ để có thể xấp xỉ: sin0 0; cos 0=1; theta_dot bình phương bằng 0.Ta được phương trình sau:
x=j mp (3.15)
e-=-ĩ + íM
+m^ (3.16)
Trong cơng thức (3.13) và (3.14) tín hiệu điều khiển hệ thống là lực F,tuy (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) (/+ml2)(M+m)-m2l2 (cos 9)2 (3.13) (3.14)
nhiên
khi áp dụng vào thực tế khơng thể lấy tín hiệu lực để điều khiển mà cần phải chuyển về tín hiệu điều khiển dạng điện áp.Vì vậy ta có mối quan hệ giữa điện áp động cơ và lựu điều khiển xe.
Hình 3.3 Mơ hình điều khiển thực của hệ thống
Trong đó:
+V: Điện áp đặt vào phần ứng của động cơ (V) +Tm: Mô men đầu trục động cơ (N.m)
+ r: Bán kính pully (m)
+ M: Khối lượng xe goòng (Kg) + F: Lực tác động giả định (N) + 0: Góc lệch giả định (rad)
Lực điều khiển F của hệ thống được truyền động bởi động cơ DC qua pully.Tín
hiệu điều khiển động cơ là điện áp V có đơn vị là volt, trong khi đó lực điều khiển F được đo bằng Newton. Từ đó ta phải suy ra mối quan hệ giữa lực điều khiển F và điện áp V đặt vào phần ứng động cơ.
Theo [17] giả sử bỏ qua điện cảm phần ứng động cơ, mơ hình tốn học của động cơ được cho bởi phương trình sau:
V = RA *IA +km '•.
(3.17)Trong đó V là điện áp cấp cho động cơ, RA điện trở phần ứng động cơ, IA là
dòng điện chạy trong phần ứng động cơ, km là hằng số moment của động cơ ,và
(ũm là tốc độ động cơ.
Phương trình cơ khí thể hiện mối liên hệ giữa moment động cơ và dòng điện phần ứng của động cơ là:
Tm = kmkgIa (3.18)
Trong đó Tm là moment đầu trục động cơ, kg là tỷ số hộp giảm tốc của hộp giảm tốc gắn vào đầu trục động cơ (nếu có).
Lực tác dụng vào xe do động cơ truyền động qua pulley được thể hiện qua biểu
thức:
F = Tm (3.19)
Trong đó r là bán kính pully.
Vận tốc góc đầu trục động cơ liên hệ với vận tốc dài của xe theo biểu thức:
(l)m = x * k
g (3.20)
r
n-< J.<*1\ /V ,Ấ 9 Trong đó x là vận tốc dài của xe. Từ (3.19) và (3.20) ta suy ra được : F * r A _ k * k k m kg (3.21)
Cuối cùng,thay thế (3.21) và (3.20) vào (3.17) ta thu được phương trình thể hiện mối quan hệ giữa điện áp đầu vào V và lực tác dụng lên xe F :
km *k„ k2 *k* •
F = ‘~m -g *v_ 'm *x