CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.4. Dạng tốn về cắt, ghép hình
Cơ sở để thực hiện các bài tốn cắt hình là dựa vào tính chất sau: tổng diện tích của các mảnh cắt ra bằng diện tích của hình ban đầu.
Ta thƣờng gặp ở hai dạng sau:
+ Cắt một hình cho trƣớc thành các hình nhỏ có kích thƣớc và hình dạng cho trƣớc.
+ Cắt một hình cho trƣớc thành các hình nhỏ có hình dạng tùy ý.
Ví dụ 1: Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa thành hai tam
giác có diện tích bằng nhau.
Phân tích - tìm lời giải:
Đề bài cho biết: Một mảnh bìa hình tam giác.
Đề bài yêu cầu: Cắt mảnh bìa hình tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Dựa vào tính chất của phƣơng pháp diện tích: Hai hình tam giác có cùng số đo cạnh đáy và có cùng số đo đƣờng cao thì diện tích của chúng bằng nhau. Ta xác định chung điểm của một cạnh một, rồi kẻ một đƣờng thẳng từ góc đối diện với cạnh đó đến trung điểm vừa xác định, tiến hành cắt theo đƣờng kẻ ta sẽ đƣợc hai tam giác bằng nhau.
Lời giải
Trên cạnh BC ta lấy điểm I sao cho BI = IC. Nối A với I rồi dùng kéo cắt theo
chiều mũi tên trên. Ta có SΔABI=SΔACI (vì chung đƣờng cao hạ từ A và đáy BI = IC).
Chú ý: Ngoài cách cắt trên ta cịn có thể cắt từ điểm B tới trung điểm
cạnh AC hay cắt từ điểm C tới trung điểm cạnh AB.
C A
Ví dụ 2: Hãy cắt một mảnh bìa hình tứ giác thành hai mảnh có diện tích
bằng nhau.
Phân tích – tìm lời giải:
Đề bài cho biết: Một mảnh bìa hình tứ giác.
Đề bài yêu cầu: Chia mảnh bìa hình tứ giác thành hai mảnh có diện tích bằng nhau.
Bài tốn u cầu ta chia mảnh bìa hình tứ giác thành hai mảnh có diện tích bằng nhau, để thực hiện đƣợc yêu cầu này, trƣớc tiên ta sẽ chia hình tứ giác thành hai hình tam giác. Sau đó, dựa vào tính chất hai tam giác có cùng số đo cạnh đáy và có cùng số đo đƣờng cao thì diện tích của chúng bằng nhau, ta lần lƣợt chia từng tam giác thành hai tam giác bằng nhau, từ đó ta sẽ chia đƣợc hình tứ giác thành hai hình có diện tích bằng nhau.
Lời giải
Nối AC. Trên AC lấy điểm I sao cho AI = IC. Nối BI và DI. Cắt theo chiều mũi tên.
Ta có:
SΔABI=SΔIBC
(chung đƣờng cao hạ từ B và cạnh đáy AI = IC)
SΔADI=SΔIDC
(chung đƣờng cao hạ từ D và cạnh đáy AI = IC)
Suy ra: SΔABI+SΔADI=SΔIBC+SΔIDC
B
C I
D A
Chú ý: Ngoài cách chia nhƣ trên, ta cịn có thể nối cạnh BD, xác định chung điểm M của cạnh BD, rồi tiến hành chia tƣơng tự nhƣ cạnh AC.
2.4.2. Ghép hình
Cơ sở để thực hiện các bài tốn về ghép hình là dựa theo tính chất sau: Tổng diện tích các hình đem ghép bằng diện tích của hình đƣợc ghép. Vì vậy, dựa vào tổng diện tích các hình đem ghép, ta sẽ xác định đƣợc kích thƣớc của hình cần ghép.
Ví dụ 1: Cho 2 mảnh gỗ hình chữ nhật, 2 mảnh gỗ hình vng lớn và 5
mảnh gỗ hình vng nhỏ có kích thƣớc nhƣ hình vẽ. Hãy ghép 9 mảnh gỗ nói trên để đƣợc một hình vng.
Phân tích - tìm lời giải:
Đề bài cho biết: - 2 mảnh gỗ hình chữ nhật, chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm. - 2 mảnh gỗ hình vng lớn, cạnh 2cm.
- 5 mảnh gỗ hình vng nhỏ, cạnh 1cm.
Đề bài yêu cầu: Ghép 9 mảnh gỗ nói trên để đƣợc một hình vng.
2cm 3cm 2cm 2cm 1cm 1cm B C D A M
Dựa vào tính chất: Nếu ghép các hình nhỏ để đƣợc một hình lớn thình diện tích hình lớn bằng tổng diện tích của các hình nhỏ. Vì vậy, khi ghép 9 hình thành một hình vng thì diện tích hình vng sẽ bằng tổng diện tích của các hình nhỏ. Biết đƣợc diện tích hình vng ta sẽ tính đƣợc cạnh của hình vng. Dựa vào đó sẽ xếp đƣợc hình vng tƣơng ứng.
Lời giải
Tổng diện tích của 9 mảnh gỗ là:
2 x 3 x 2 + 2 x 2 x 2 + 1 x 1 x 5 = 25(cm2)
Vậy cạnh của hình vơng mới đƣợc ghép là 5cm.
Chú ý: Ngồi cách ghép trên, ta cịn có nhiều cách ghép khác, dƣới đây là một số cách ghép:
Ví dụ 2: Cho 4 mảnh gỗ hình thang vng, 4 mảnh gỗ hình tam giác
vng và 5 mảnh gỗ hình vng có kích thƣớc nhƣ hình vẽ. Hãy ghép 13 mảnh gỗ nói trên để đƣợc một hình vng. 2cm 1cm 2cm 2cm 2cm 1cm 1cm
Phân tích - tìm lời giải
Đề bài cho biết: - 4 mảnh gỗ hình thang vng, đáy nhỏ 1cm, đáy lớn 2cm, chiều cao 2cm.
- 4 mảnh gỗ hình tam giác vng, cạnh góc vng 2cm.
- 5 mảnh gỗ hình vng có cạnh 1cm.
Đề bài u cầu: ghép 13 mảnh gỗ trên để đƣợc một mảnh gỗ hình vuông. Để thực hiện đƣợc bài tốn này, trƣớc hết ta ghép 4 mảnh hình thang thành 2 mảnh hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm và 4 mảnh tam giác thành 2 hình vng, cạnh 2cm.
Tƣơng tự nhƣ ví dụ 1, dựa vào tính chất: Nếu ghép các hình nhỏ để đƣợc một hình lớn thì diện tích hình lớn bằng tổng diện tích của các hình nhỏ. Vì vậy, khi ghép 13 hình thành một hình vng thì diện tích hình vng sẽ bằng tổng diện tích của các hình nhỏ. Biết đƣợc diện tích hình vng ta sẽ tính đƣợc cạnh của hình vng. Dựa vào đó sẽ xếp đƣợc hình vng tƣơng ứng.
Lời giải
Trƣớc hết ta ghép 4 mảnh hình thang vng thành 2 mảnh hình chữ nhật và 4 mảnh tam giác vng thành 2 hình vng nhƣ hình vẽ:
Sau đó tiến hành ghép tƣơng tự nhƣ ví dụ 1.
Một số bài luyện tập:
Bài 1. Cho hai mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành hai hình tam
giác sao cho:
a. Mảnh này có diện tích gấp hai lần mảnh kia.
b. Mảnh này có diện tích gấp ba lần mảnh kia.
Bài 2. Cho hai mảnh bìa hinh tứ giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành hai hình tam
giác sao cho:
c. Mảnh này có diện tích gấp hai lần mảnh kia.
2cm
2cm
2cm 3cm
d. Mảnh này có diện tích gấp ba lần mảnh kia.
Bài 3. Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa thành những mảnh nhỏ để ghép lại ta đƣợc một hình tam giác.
a. Hãy giải bài toán trên bằng 8 cách khác nhau. b. Bài tốn trên có thể giải bằng bao nhiêu cách.
Bài 4. Cho một mảnh bìa hình thang.
a. Hãy cắt mảnh bìa đó thành những mảnh nhỏ để ghép lại ta đƣợc một hình chữ nhật.
b. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta đƣợc hai hình chữ nhật.
c. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta đƣợc hai hình tam giác có diện tích bằng nhau.
Bài 5. Cho ba mảnh bìa hình vng. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại đƣợc một hình vng.
Bài 6. Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh
nhỏ để:
a. Ghép lại ta đƣợc một hình thang.
b. Ghép lại ta đƣợc hai hình thang có diện tích bằng nhau.
TIỂU KẾT
Dựa vào tầm quan trọng của việc dạy các bài tốn có yếu tố hình học cho học sinh lớp 5, tác giả đi sâu vào nghiên cứu và phân loại các dạng bài tập và đề suất phƣơng pháp dạy học thích hợp. Mỗi dạng bài tập có những ví dụ minh họa và một số bài luyện tập để ngƣời học có thể vận dụng giải, giúp học sinh làm quen và nắm vững cách giải một số bài trong dạng bài này, từ đó nâng cao kĩ năng giải tốn cho bản thân.