1. Tắch phân suy rộng có cận vơ tận
Định nghĩa:
a) Giả sử f(x) xác định trên [a,+ ] và khả tắch trên[a,b] với mọi b [a, ]. Nếu tồn
tại giới hạn là hữu hạn hoặc vơ cùng thì giới hạn này đýợc gọi là tắch
phân suy rộng của f(x) trên [a, ] ký hiệu là Vậy:
Khi tắch phân suy rộng là hữu hạn thì ta nói là tắch phân suy rộng hội tụ, ngýợc lại, nếu tắch phân suy rộng khơng tồn tại hoặc là vơ cùng thì ta nói tắch phân suy rộng là phân kỳ.
b) Hoàn toàn týõng tự, đối với các hàm số f(x) xác định trên (- ,a] và khả tắch trên [c,a] với mọi c (- ,a] ta định nghĩa tắch phân suy rộng của f(x) trên (- ,a] bởi: [c,a] với mọi c (- ,a] ta định nghĩa tắch phân suy rộng của f(x) trên (- ,a] bởi:
c) Đối với hàm số f(x) xác định trên (- ,+ ) ta định nghĩa tắch phân suy rộng bởi:
và tắch phân này hội tụ khi các tắch phân suy rộng: và là hội tụ.
Vắ dụ:
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1
2) Tắnh
Cho b [o+ ), ta tắnh bằng phýõng pháp tắch phân từng phần. Đặt:
Suy ra:
Vậy
Do đó tắch phân suy rộng là phân kỳ
3) Tắnh
Ta có:
Suy ra
mà
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1
Vậy:
4) Xét sự hội tụ của phân tắch suy rộng:
Tắch phân này đýợc tắnh theo 3 trýờng hợp của nhý sau:
=1 khi b + Vậy là phân kỳ >1 do nên
Vậy tắch phân hội tụ với >1
<1
Trong trýờng hợp này ta có
Suy ra tắch phân là phân kỳ
2.Tắch phân của hàm số không bị chặn
Định nghĩa:
Giả sử f(x) khả tắch trên [a.c], c [a,b] và không bị chặn tại b (nghĩa là ). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hay vơ cùng)
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1
thì giói hạn này sẽ đýợc gọi là tắch phân suy rộng của f(x) trên [a,b], ký hiệu là:
Nếu giới hạn là hữu hạn thì ta nói tắch phân suy rộng hội tụ, nếu giới hạn không tồn tại hoặc là vơ cùng thì ta nói tắch phân suy rộng này là phân kỳ.
Vậy:
Hoàn toàn týõng tự, nếu hàm số f(x) khả tắch trên [c,b] với mọi c (a,b] và f khơng bị chặn tại a thì ta định nghĩa tắch phân suy rộng của f(x) trên [a.b] bởi:
Trýờng hợp f(x) không bị chặn tại một điểm c (a,b), ta định nghĩa tắch phân suy rộng của f trên [a,b] bởi:
Khi đó tắch phân suy rộng đýợc xem là hội tụ .Khi cả hai tắch phân và đều hội tụ .