5. Cấu trúc của luận án
1.2 Không gian hàm, không gian nội suy và một số lớp hàm
1.2.5 Hàm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các tính chất cơ bản về các hàm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình và hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov dựa trên các tài liệu tham khảo [5, 25, 40, 42, 75].
Định nghĩa 1.2.18. ChoX là không gian Banach. Hàm liên tụcf : R→ X được gọi làhầu tuần hoàn nếu với mọi ε >0, tồn tại một số thực Lε >0 sao cho với mọi a∈R có thể tìm được T ∈[a, a+Lε] thỏa mãn
kf(t+T)−f(t)kX < ε, ∀t∈R.
Ta kí hiệu tập các hàm hầu tuần hồn từ R → X bởi AP(R, X). Dễ thấy AP(R, X) là một không gian Banach với chuẩn sup:
kfkAP(R,X) = sup
t∈R
kf(t)kX.
Nhận xét 1.2.19. Khơng gian các hàm hầu tuần hồn bao gồm các hàm tuần hoàn. Tuy nhiên, một hàm hầu tuần hoàn chưa chắc là hàm tuần hoàn. Hàm
f(t) = sint+ sin√
2t là một ví dụ cổ điển cho trường hợp này.
Chú ý 1.2.20. Trong luận án này, chúng tôi xem xét khái niệm hàm hầu tuần hoàn theo định nghĩa của Bohr (xem [23]), đây là lớp các hàm hầu tuần hoàn đều. Chúng ta có thể thấy lớp các hàm hầu tuần hồn đều là tập trù mật tương đối của tập các hàm hầu tuần hoàn. Hơn nữa, lớp các hàm này cũng là bao đóng của tập các đa thức lượng giác theo chuẩn sup (xem [24]).
Tiếp theo, ta nhắc lại một số tính chất căn bản của hàm hầu tuần hồn. Tính chất 1.2.21. Với f, f1 và f2 ∈AP(R, X), ta có các khẳng định sau đây:
ii) λf ∈AP(R, X), với mỗi hằng số thực λ.
iii) fτ(t) :=f(t+τ) ∈AP(R, X), với mọi t∈R và với mỗi τ ∈R cố định.
iv) f(αt) ∈AP(R, X), với mọi t∈R và với mỗi α ∈R cố định.
v) f˜(t) :=f(−t) ∈AP(R, X), với mọi t ∈R.
vi) Hàm φ(t)f(t) là hầu tuần hồn với φ là hàm vơ hướng và hầu tuần hoàn. vii Hàm f liên tục đều trên R.
viii) Nếu (fn) là một dãy các hàm hầu tuần hoàn nhận giá trị trong X thỏa mãn fn −→f đều trên R thì f ∈AP(R, X).
ix) Tập Rf := {f(t) : t∈R} là compact tương đối trong X.
x) Nếu tồn tại f0 liên tục đều trên R thì f0 ∈AP(R, X).
xi) Với X là khơng gian Banach lồi đều, ta có F(t) =
t
R
0
f(s)ds ∈ AP(R, X)
khi và chỉ khi sup
t∈R
f(t) <∞.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của hàm hầu tự đồng hình. Khái niệm hàm hầu tự đồng hình được giới thiệu đầu tiên bởi Bochner trong các cơng trình nghiên cứu sự liên kết giữa các nhóm rời rạc và cấu trúc của đa tạp hình học trong hình học vi phân (xem [38, 39]). Sau đó, khái niệm hàm hầu tự đồng hình được mở rộng nghiên cứu và ứng dụng sang lý thuyết chuỗi Fourier và nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng (xem [40, 41, 42, 43]).
Định nghĩa 1.2.22. Hàm liên tục f : R → X được gọi là hầu tự đồng hình nếu với mọi dãy số thực (σn0), tồn tại một dãy con (σn) sao cho
lim
m→∞ lim
n→∞f(t+σn −σm) =f(t), (1.1) với mỗit∈R. Giới hạn (1.1) được hiểu theo nghĩa tồn tại một hàmg(t) sao cho
g(t) = lim
n→∞f(t+σn) và f(t) = lim
n→∞g(t−σn) (1.2) xác định với mỗi t∈R.
Ta kí hiệu tập các hàm hầu tự đồng hình từ R → X bởi AA(R, X). Khi đó
AA(R, X) là một khơng gian Banach với chuẩn sup :
kfkAA(R,X) = sup
t∈R
kf(t)kX.
Chú ý 1.2.23. Khái niệm hàm hầu tự đồng hình là mở rộng của hàm hầu tuần hồn bởi vì các giới hạn (1.1) và (1.2) trong Định nghĩa 1.2.22 là hội tụ điểm, điều này có nghĩa là hàmg chỉ cần đo được mà không cần liên tục. Chú ý rằng nếu các giới hạn này đều theo t thì hàm f là hầu tuần hồn. Điều này chỉ ra sự tồn tại dãy con σn của dãy σ0n bất kỳ trong định nghĩa 1.2.22 sao cho các giới hạn (1.1) và (1.2) tồn tại (tính chất của bao đóng tương đối).
Ví dụ 1.2.24. Với hàmf(t) = cos 1 2 + sint+ sin√ 2t thìf ∈AA(R,R)nhưng f /∈ AP(R,R). Tính chất 1.2.25. Cho f, f1 và f2 là các hàm hầu tự đồng hình từ R −→X. Các khẳng định sau đây là đúng. i) f1 +f2 là hầu tự đồng hình.
ii) λf là hầu tự đồng hình với mỗi hằng số thực λ.
iii) fτ(t) :=f(t+τ), t ∈R là hầu tự đồng hình với mỗi τ ∈R cố định.
iv) f˜(t) :=f(−t), t ∈R là hầu tự đồng hình.
v) φ(t)f(t) là hầu tự đồng hình với φ(t) là hàm vơ hướng và hầu tự đồng hình. vi) Nếu (fn) là một dãy các hàm hầu tự đồng hình nhận giá trị trong X thỏa
mãn fn −→f đều trên R thì f ∈AA(R, X).
vii) Rf :={f(t) :t ∈R} là compact tương đối và nếu g xác định bởi (1.2) thì
kfk∞ =kgk∞ và Rg ⊂Rf.
viii) Nếu tồn tại f0 liên tục đều trên R thì f0 ∈AA(R, X).
ix) Nếu F : R 7−→ X được xác định bởi F(t) =
t
R
0
f(s)ds thì F ∈ AA(R, X)
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov. Trước hết, ta gọi Lploc(R, X) là không gian các hàm p−khả tích địa
phương f : R→ X.
Định nghĩa 1.2.26. Hàm f ∈Lploc(R, X) được gọi là bị chặn p-Stepanov nếu
kfkSp := sup t∈R t+1 Z t kf(s)kpds 1/p <∞.
Kí hiệu tập các hàm bị chặn p−Stepanov từ R→ X bởi Lps(R, X).
Định nghĩa 1.2.27. Hàm f ∈ Lps(R, X) gọi là hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov nếu với mọi dãy số thực (σ0n), tồn tại dãy con (σn) và hàm g ∈
Lploc(R, X) sao cho
1 Z 0 kf(t+s+σn)−g(t+s)kpXds 1/p −→ 0, và 1 Z 0 kg(t+s−σn)−f(t+s)kpXds 1/p −→0
khi n → ∞ với mọi t∈R.
Kí hiệu tập các hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov từ R → X bởi
SpAA(R, X). Khi đó SpAA(R, X) là khơng gian Banach với chuẩn: kfkSp = sup t∈R t+1 Z t kf(s)kpds 1/p . Chú ý 1.2.28.
i) Chúng ta có thể định nghĩa hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov thơng qua phép biến đổi Bochner của nó.
Phép biến đổi Bochner của hàm f ∈Lps(R, X) được xác định như sau:
fb : R →Lp((R,([0,1], X)), t7→ fb(t)
cho bởi
Khi đó hàm f ∈ Lps(R, X) là tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov nếu
fb ∈ AA(R;Lp(R,([0,1], X)).
ii) Khái niệm hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov tiếp tục mở rộng hàm hầu tự đồng hình do chỉ địi hỏi sự hội tụ điểm của các giới hạn trong không gian Lp.
1.2.6 Hàm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình có trọng Trong phần này, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa về một số lớp hàm có trọng: Hàm tựa hầu tuần hồn có trọng, hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng và hàm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng (xem [32, 46, 75]).
Trước tiên, ta kí hiệu
U := {ρ: R →R+|ρ khả tích địa phương}. Với r > 0và ρ∈ U, ta đặt m(r, ρ) := r R −r ρ(x)dx và U∞ := nρ ∈ U : lim r→∞m(r, ρ) =∞o.
Với ρ∈ U∞, không gian P AA0(R, ρ) các hàm có trọng ρ xác định bởi:
P AA0(R, ρ) := φ ∈BC(R, X) : lim r→∞ 1 m(r, ρ) r Z −r kφ(s)kXρ(s)ds = 0 .
Định nghĩa 1.2.29. Hàm liên tục f : R → X được gọi là tựa hầu tuần hồn có trọng ρ nếu f =g+φ với g ∈AP(R, X) và φ ∈P AA0(R, ρ).
Kí hiệu W P AP(R, X) là tập hợp các hàm từ R→ X tựa hầu tuần hồn có trọng ρ.
Đặc biệt, nếu ρ(x) = 1với mọi x ∈R thì ta gọi f là hàm tựa hầu tuần hồn
và kí hiệu P AP(R, X) là tập các hàm tựa hầu tuần hoàn từ R →X.
Định nghĩa 1.2.30. Hàm liên tục f : R → X được gọi là tựa hầu tự đồng hình có trọng ρ (tương ứng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng ρ) nếu f = g+φ với g ∈ AA(R, X) (tương ứng g ∈SpAA(R, X)) và φ ∈P AA0(R, ρ).
Kí hiệu W P AA(R, X) là tập các hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng ρ và
W SpAA(R, X) là tập các hàm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng ρ.
Đặc biệt, nếu ρ(x) = 1 với mọi x ∈ R thì ta gọi f là hàm tựa hầu tự đồng hình và kí hiệu P AA(R, X) là tập các hàm tựa hầu tự đồng hình từ R →X. Mệnh đề 1.2.31.Các không gianW P AP(R, X),W P AA(R, X)vàW SpAA(R, X))
là các không gian Banach với chuẩn sup :
kfk = sup
t∈R
kf(t)kX.
Chú ý 1.2.32. Khi hàm trọng ρ(x) = 0 thì các khơng gian W P AP(R, X),
W P AA(R, X)vàW SpAA(R, X)trở thành các không gian tương ứngAP(R, X),
AA(R, X) và SpAA(R, X).
Mệnh đề 1.2.33. Ta có các mối quan hệ bao hàm sau: i) AP(R, X)⊂ P AP(R, X) ⊂W P AP(R, X).
ii) AP(R, X)⊂ AA(R, X)⊂ SpAA(R, X) ⊂ W SpAA(R, X).
iii) AP(R, X)⊂ AA(R, X)⊂ P AA(R, X)⊂ W P AA(R, X).
Xem chứng minh Mệnh đề 1.2.33 trong tài liệu [5, 25]. Để minh họa cho các quan hệ bao hàm này, ngồi những ví dụ đã đề cập trong các định nghĩa về hàm hầu tuần hoàn và hàm hầu tự đồng hình, ta xét thêm một số ví dụ sau:
Ví dụ 1.2.34.
i) Để xây dựng ví dụ hàm hầu tự đồng hình tựa Stepanov, trước hết ta nhắc lại định nghĩa dãy hầu tự đồng hình. Một dãy (a(n))n∈Z ⊂X được gọi là dãy hầu tự đồng hình nếu với mọi dãy (σ0(m))m∈N ⊂ Z, tồn tại dãy con
(σ(m))m∈N ⊂ Z sao cho các giới hạn
lim
m→∞a(n+σ(m)) = b(n) và lim
m→∞b(n−σ(m)) = a(n)
tồn tại với mỗi n ∈Z.
Ta xây dựng hàm hầu tự đồng hình tựa Stepanov dựa trên dãy (an)
hầu tự đồng hình và ε0 ∈ 0, 1 2 như sau: f(t) = ( an, với t∈(n−ε0, n+ε0) 0, với t /∈(n−ε0, n+ε0)
Khi đó f ∈ SpAA(R,R) nhưng f /∈ AA(R,R).
ii) Vớif(t) = sint+sin√
2t+ 1
1 +t2 thìf ∈P AP(R,R)nhưngf /∈ AP(R,R).
iii) Với f(t) = cos
1 2 + sint+ sin√ 2t + 1 1 +t2 thì f ∈ P AA(R,R) nhưng f /∈AA(R,R).
iv) Vớif(t) = sin
1 2 + cost+ cos√ 2t +e−t|α|, (α6= 0)thìf ∈W P AA(R,R) nhưng f /∈P AA(R,R).
Chương 2
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRÊN
KHƠNG GIAN NỘI SUY
Trong chương này, chúng tôi xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng qt dạng
u0(t) +Au(t) =BG(u)(t), t ∈R, (2.1)
trong đó −A là tốn tử sinh của C0-nửa nhóm (e−tA)t≥0 và B là “tốn tử liên kết” giữa các khơng gian phát sinh trong phương trình.
Phương trình tuyến tính tương ứng của (2.1) có dạng:
u0(t) +Au(t) =Bf(t), t∈R. (2.2)
Các phương trình (2.1) và (2.2) đã được nghiên cứu trong một số bài báo gần đây của Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự (xem [7, 27, 76]). Trong các cơng trình này, các tác giả đã đưa ra hệ tiên đề tổng quát mà trong chương này chúng tôi sẽ tiếp tục sử dụng (Giả thiết 2.1.1). Sau đó, các tác giả đã xây dựng các điều kiện ban đầu để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm như: Nghiệm tuần hoàn (xem [7]), nghiệm hầu tuần hồn (xem [27]). Trong cơng trình [76], các tác giả cũng chỉ ra được tính ổn định của nghiệm đủ nhỏ trên nửa trục thời gian R+.
Chúng tôi kế thừa kết quả trong các cơng trình này vào việc nghiên cứu phương trình (2.1) và (2.2) trong bài tốn sau:
BÀI TỐN 1.
i) Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và một số lớp nghiệm có trọng cho các phương trình (2.1) và (2.2).
iii) Áp dụng các kết quả của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng tổng qt vào một số luồng thủy khí.
Chúng tơi đã gặp phải một số khó khăn khi nghiên cứu phương trình tổng qt. Một là, nửa nhóm (e−tA)t≥0 khơng ổn định mũ mà chỉ ổn định cấp đa thức. Hai là, để chỉ ra sự tồn tại nghiệm có tính chất hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và các tính chất của hàm có trọng, chúng tơi cần chứng minh tốn tử nghiệm của phương trình tuyến tính bảo tồn các tính chất này cũng như bảo tốn tính chất tiệm cận của các trọng. Chúng tơi giải quyết những khó khăn này bằng cách nghiên cứu các phương trình (2.1) và (2.2) trên không gian nội suy thông qua việc kế thừa và phát triển các kỹ thuật trong một số cơng trình nghiên cứu gần đây của Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự [7, 27, 28, 30]. Cụ thể, do tính trơn của nửa nhóm (e−tA)t≥0
(xem Giả thiết2.1.1) nên chúng tơi có thể xây dựng các khơng gian nội suy phù hợp và sau đó áp dụng các định lý nội suy để chỉ ra tính bị chặn của nghiệm đủ tốt thỏa mãn tính chất hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có trọng và tựa hầu tự đồng hình có trọng. Tiếp đó, chúng tơi sử dụng bất đẳng thức đối ngẫu, bất đẳng thức nội suy và nguyên lý hội tụ bị chặn để chỉ ra rằng toán tử nghiệm bảo tồn tính chất của các hàm và tính tiệm cận của các trọng (nghĩa là chứng minh nguyên lý dạng Massera). Tiếp theo đó, chúng tơi sử dụng ngun lý điểm bất động để mở rộng các kết quả của phương trình tuyến tính (2.2) cho phương trình nửa tuyến tính (2.1) với giả thiết toán tử phi tuyến Nemytskii G liên tục Lipschitz địa phương. Cuối cùng, sử dụng nguyên lý điểm bất động và các đánh giá Lp−Lq chúng tơi chứng minh được tính ổn định cấp đa thức của nghiệm.
Kết quả chính trong chương này là các định lý: Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.5 và toàn bộ các định lý trong phần ứng dụng cho một số luồng thủy khí.
2.1 Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính
2.1.1 Nghiệm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình
Cho các khơng gian Banach X, Y1 và Y2. Kí hiệu Y := (Y1, Y2)θ,∞ là không gian nội suy thực của Y1 và Y2 với 0< θ <1.
Xét phương trình tiến hóa tuyến tính khơng thuần nhất dạng
u0(t) +Au(t) =Bf(t), t∈R, (2.3)
trong đó−A là tốn tử sinh củaC0-nửa nhóm (e−tA)t≥0 trên Y1 và Y2, f(t) ∈X
với mọi t∈R và B là tốn tử tuyến tính từ X đếnY sao cho e−tAB ∈ L(X, Yi)
với i = 1,2 và t ≥ 0. Hơn nữa, chúng thỏa mãn thêm các đánh giá trong giả
thiết sau đây:
Giả thiết 2.1.1. Giả sử Yi có tiền đối ngẫu Banach Zi (hay Yi = Zi0) sao cho Z1∩Z2 trù mật trong Zi với i = 1,2. Cho −A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm
bị chặn (e−tA)t≥0 trên Y1 và Y2. Hơn nữa, giả sử tồn tại các hằng số α1, α2 ∈ R
với 0< α2 <1< α1 và L > 0 sao cho
ke−tABvkY1 ≤Lt−α1kvkX, t >0,
ke−tABvkY2 ≤Lt−α2kvkX, t >0.
(2.4) Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại bổ đề cơ bản sau đây (xem [7, Bổ đề 2.1] hoặc [27, Bổ đề 1.1]) để làm cơ sở cho việc chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt bị chặn cũng như một số lớp nghiệm khác của phương trình (2.3).
Bổ đề 2.1.2. Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn và cho ψ ∈ (Z1, Z2)θ,1. Khi đó tồn tại hằng số L >0 sao cho
∞
Z
0
kB0e−tA0ψkX0dt≤ Lkψk(Z
1,Z2)θ,1. (2.5) Bây giờ, chúng tôi nhắc lại định nghĩa nghiệm đủ tốt của phương trình tuyến tính (2.3) trên toàn trục thời gian R (xem [10]).
Định nghĩa 2.1.3. Hàm liên tụcu:R → Y được gọi lànghiệm đủ tốtcủa phương trình (2.3) trên tồn trục thời gian nếu
u(t) = t
Z
−∞
e−(t−τ)ABf(τ)dτ, ∀t∈ R. (2.6)
Sự tồn tại nghiệm đủ tốt bị chặn đã được chỉ ra trong bổ đề sau (xem [27, Bổ đề 2.1]):
Bổ đề 2.1.4. Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn. Cho θ ∈ (0,1) sao cho
1 = (1−θ)α1+θα2 và hàm f ∈ L∞(R, X). Khi đó phương trình (2.3) có duy nhất nghiệm đủ tốt u thỏa mãn
ku(t)kY ≤ Lkf˜ k∞,X, t∈R, (2.7)
với hằng số L˜ ≥1 nào đó.
Bổ đề 2.1.4 cho phép chúng ta định nghĩa toán tử nghiệm như sau:
S :BC(R, X) → BC(R, Y)
f 7→ S(f)
được cho bởi
S(f)(t) :=
t
Z
−∞
e−(t−τ)ABf(τ)dτ, t ∈R. (2.8)
Bây giờ, chúng tôi sẽ thiết lập sự tồn tại và duy nhất của nghiệm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình và hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov của phương trình tiến hóa tuyến tính (2.3) trong định lý sau:
Định lí 2.1.5. Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn. Khi đó các khẳng định sau là đúng:
i) Nếu f ∈AP(R, X) thì S(f) ∈AP(R, Y).
ii) Nếu f ∈AA(R, X) thì S(f) ∈ AA(R, Y).
iii) Nếu f ∈SpAA(R, X) thì S(f) ∈SpAA(R, Y).
Điều này dẫn đến phương trình (2.3) có nghiệm đủ tốt thỏa mãn tính chất hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình và hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov.
Chứng minh. i) Với f ∈AP(R, X), ta cần chỉ ra rằng S(f) ∈AP(R, Y) với S(f)(t) := t Z −∞ e−(t−τ)ABf(τ)dτ.
Thật vậy, do f là hàm hầu tuần hoàn nên với mọi ε > 0 tồn tại số thực
Lε >0 sao cho với mỗi a∈ R tồn tại T ∈[a, a+Lε] thỏa mãn