Đường cong sau ổn định của tấm vuông đẳng hướng

Bảng 4.2 trình bày tải trọng tới hạn Nˆ C hbB22 /A

Nc r

của tấm vuông vật

11 11 11

liệu đẳng hướng SiC: E = 420 GPa, ν = 0.3, a/h = 10, b/a = 1, chịu tác dụng của tải trọng nén đều theo hai phương 1   2  1 . Các kết quả tính tốn của luận án sử dụng FSDT trong hai trường hợp tấm có liên kết SSSS và SCSC có sai lệch khơng đáng kể so với Thai và Choi [110] sử dụng phương pháp giải tích theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cải tiến với bốn ẩn chuyển vị.

Bảng 4.2. Tải trọng tới hạn

Nˆ của tấm vuông đẳng hướng, chịu nén theo hai

phương 1   2  1

Phương pháp SSSS SCSC

Thai và Choi [110] 18.6861 34.1195

Luận án - FSDT 18.6854 33.9600

Luận án - CPT 19.7392 38.0685

b. Ví dụ kiểm chứng 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn của tấm vật liệu FGM rỗng

Bảng 4.3 và Bảng 4.4 bao gồm tải trọng tới hạn không thứ nguyên của tấm

rỗng vật liệu là bọt nhôm (Aluminum foam) với

G1  26, 293 GPa,

  0.3,

E1  2G1 1

án được so sánh với Thang và cs. [114] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và dạng nghiệm Navier.

Bảng 4.3. Tải trọng tới hạn N  Ncrb2 / E1h2

của tấm FGM rỗng chịu nén một phương 1  1,  2  0, b/a  1, a/h  10

Bảng 4.4. Tải trọng tới hạn N  N

thb2 / E1h3 của tấm FGM rỗng (e0 = 0.4, a/h = 10,

Phân bố lỗ rỗng

b/a = 1.5) với các dạng tải trọng nén khác nhau

Phương pháp Dạng lực nén 1,  2  Đều Luận án - FSDT Luận án - CPT 2.6687(2,1) 2.9908(1,1) 2.8778(2,1) 3.1126(1,1) 1.3292(1,1) 0.9202(1,1) 1.3834(1,1) 0.9577(1,1) Thang và cs. [114] 3.4746 1.5443 1.0691 Đối xứng Luận án - FSDT 3.0784(2,1) 1.5408(1,1) 1.0667(1,1) Phân bố lỗ rỗng Phương pháp e0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Thang và cs. [114] 3.2109 2.9856 2.7549 2.5173 2.2710 2.0135 Đều Luận án - FSDT 3.2023 2.9777 2.7475 2.5105 2.2650 2.0081 Luận án - CPT 3.3829 3.1456 2.9025 2.6521 2.3927 2.1213 Thang và cs. [114] 3.3023 3.1729 3.0432 2.9130 2.7822 2.6506 Đối xứng Luận án - FSDT 3.2933 3.1640 3.0343 2.9041 2.7733 2.6417 Luận án - CPT 3.4844 3.3537 3.2229 3.0921 2.9613 2.8305 (−1, 0) (0,−1) (−1,−1) Thang và cs. [114] 2.9966 1.3318 0.9220

3.4668(1,1)

Luận án - CPT 3.3551

(2,1)

3.6289(1,1) 1.6128(1,1) 1.1166(1,1)

a Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).

Qua các kết quả kiểm chứng ở trên, có thể thấy rằng mơ hình tính và chương trình Matlab cho bài tốn phân tích ổn định và sau ổn định xây dựng trong luận án là có độ tin cậy.

4.5.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, điều kiện biên, nền đàn hồi,dạng tải trọng, tham số hình học và độ khơng hồn hảo ban đầu dạng tải trọng, tham số hình học và độ khơng hồn hảo ban đầu

Xét tấm chữ nhật bằng bọt kim loại - metal foam (h = 0.1 m, E1 = 200 GPa,

  1 / 3 ) đặt trên nền đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng nén đều

N 0   N h, N 0   N h trên các cạnh

x  0, a và y  0, b. x 1 0 y 2 0

a. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số a/h và điều kiện biên tới tải trọng tới hạn

Bảng 4.5 trình bày kết quả số và Hình 4.8 khảo sát phi tuyến biến thiên của lực

tới hạn không thứ nguyên N của tấm vuông h = 0.1 m, b/a = 1, e0 = 0.5, K0 = 100, J0 = 10 với các tỷ số a/h = 10, 20, 30, 50. Tấm bằng vật liệu FGM rỗng với quy luật phân bố không đều bất đối xứng với các điều kiện biên SSSS, SCSC, CCCC.

Có thể nhận thấy khi tỷ số a/h tăng thì lực tới hạn tính theo lý thuyết FSDT dần tiệm cận đến các kết quả tính theo CPT, kết quả này một lần nữa khẳng định sự cần thiết sử dụng FSDT cho tấm dày, còn đối với tấm mỏng chỉ cần sử dụng CPT để tiết kiệm thời gian tính tốn. Trong các điều kiện biên, lực tới hạn không thứ nguyên tăng khi tỷ số a/h tăng là hoàn toàn phù hợp với quy luật, trong đó lớn nhất với biên ngàm 4 cạnh và nhỏ nhất với biên khớp 4 cạnh.

Bảng 4.5. Tải trọng tới hạn  a2 của tấm rỗng vng theo tỷ số kích thước

N Nth E h2

tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau

Lý thuyết a/h Điều kiện biên

SSSS SCSC CCCC 10 2.9142(1,1) 5.0028(2,1) 6.8663(1,1) 20 3.0626(1,1) 5.7805(2,1) 7.7895(1,1) FSDT 30 3.0918(1,1) 5.9526(2,1) 7.9887(1,1) 50 3.1070(1,1) 6.0449(2,1) 8.0947(1,1) CPT 3.1156(1,1) 6.0981(2,1) 8.1556(1,1)

a Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).

Hình 4.8. Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm vng, vật liệu FGM rỗng theo tỷ số kích thước tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau

b. Khảo sát ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng và dạng phân bố đến tải trọng tới hạn

Bảng 4.6 và Bảng 4.7 trình bày kết quả phân tích tải trọng tới hạn không thứ

nguyên N và dạng mất ổn định (m, n) của tấm vng hồn hảo (  0 ) vật liệu FGM

rỗng: h = 0.1m, b/a = 1, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), K0 = J0 = 0 với các hệ số lỗ rỗng khác nhau: e0 = 0.1, 0.3, 0.5 và 0.9. Tấm chịu nén theo 1 phương, với các dạng điều kiện biên SSSS, CCCC và SCSC; cùng với đó là ba quy luật phân bố lỗ rỗng: phân bố đều, phân bố đối xứng, phân bố bất đối xứng được xem xét. Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác

nhau được thể hiện bằng đồ thị như trên Hình 4.9 và Hình 4.10: (a) SSSS,

1  1, 2  0; (b) CCCC, 1  1, 2  0; (c) SCSC, 1  1, 2  0; (d) SCSC, 1  0, 2  1.

Các kết quả cho thấy:

- Với cả ba loại quy luật phân bố lỗ rỗng, khi tăng hệ số lỗ rỗng e0, tải trọng tới hạn N giảm; tải trọng N của tấm với phân bố lỗ rỗng đều (dạng 1) và không đều bất đối xứng (dạng 3) giảm nhanh hơn so với tấm có các lỗ rỗng phân bố không đều đối xứng (dạng 2).

- Điều kiện biên CCCC cho kết quả tải trọng tới hạn N lớn nhất; trong khi điều kiện biên SSSS cho kết quả tải trọng tới hạn N nhỏ nhất.

- Khi điều kiện biên là SCSC, tấm dễ mất ổn định hơn khi nén theo phương tấm được ngàm (phương y).

Bảng 4.6. Tải trọng tới hạn N của tấm vuông dày vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng

e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 10, FSDT)

Điều kiện e0 Phân bố lỗ rỗng biên 0.1 0.3 0.5 0.9 SSSS, Phân bố đều 3.2696(1,1) 2.8053(1,1) 2.3126(1,1) 1.1142(1,1) 1  1, Phân bố đối xứng 3.3623(1,1) 3.0973(1,1) 2.8302 2.2825(1,1)  2  0 Phân bố bất đối xứng 3.2869(1,1) 2.8486(1,1) 2.3639(1,1) 1.0828(1,1) CCCC, Phân bố đều 7.9758(1,1) 6.8431(1,1) 5.6413(1,1) 2.7180(1,1) 1  1, Phân bố đối xứng 8.1825(1,1) 7.4943(1,1) 6.7949(1,1) 5.3274(1,1)  2  0 Phân bố bất đối xứng 8.0148(1,1) 6.9442(1,1) 5.7701(1,1) 2.7046(1,1) SCSC, Phân bố đều 5.8520(2,1) 5.0209(2,1) 4.1391(2,1) 1.9943(2,1)

1  1,  2  0 Phân bố đối xứng 6.0004(2,1) 5.4887(2,1) 4.9679(2,1) 3.8714(2,1) Phân bố bất đối xứng 5.8801(2,1) 5.0943(2,1) 4.2343(2,1) 1.9954(2,1) SCSC, 1  0,  2  1 Phân bố đều 5.1855(1,1) 4.4491(1,1) 3.6678(1,1) 1.7672(1,1) Phân bố đối xứng 5.3237(1,1) 4.8844(1,1) 4.4389(1,1) 3.5097(1,1) Phân bố bất đối xứng 5.2115(1,1) 4.5157(1,1) 3.7508(1,1) 1.7460(1,1)

a Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).

Bảng 4.7. Tải trọng tới hạn N của tấm vuông mỏng vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 50, CPT)

Điều kiện e0

Phân bố lỗ rỗng

a Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).

biên 0.1 0.3 0.5 0.9 SSSS, Phân bố đều 0.2771(1,1) 0.2377(1,1) 0.1960(1,1) 0.0944(1,1) 1  1, Phân bố đối xứng 0.2854(1,1) 0.2640(1,1) 0.2425(1,1) 0.1997(1,1)  2  0 Phân bố bất đối xứng 0.2786(1,1) 0.2415(1,1) 0.2002(1,1) 0.0903(1,1) CCCC, Phân bố đều 0.7388(1,1) 0.6339(1,1) 0.5226(1,1) 0.2518(1,1) 1  1, Phân bố đối xứng 0.7610(1,1) 0.7039(1,1) 0.6467(1,1) 0.5325(1,1)  2  0 Phân bố bất đối xứng 0.7429(1,1) 0.6440(1,1) 0.5339(1,1) 0.2408(1,1) SCSC, Phân bố đều 0.5541(2,1) 0.4754(2,1) 0.3919(2,1) 0.1888(2,1) 1  1, Phân bố đối xứng 0.5708(2,1) 0.5279(2,1) 0.4851(2,1) 0.3994(2,1)  2  0 Phân bố bất đối xứng 0.5572(2,1) 0.4830(2,1) 0.4004(2,1) 0.1806(2,1) SCSC, Phân bố đều 0.4675(1,1) 0.4011(1,1) 0.3307(1,1) 0.1593(1,1) 1  0, Phân bố đối xứng 0.4816(1,1) 0.4454(1,1) 0.4093(1,1) 0.3370(1,1)  2  1 Phân bố bất đối xứng 0.4701(1,1) 0.4075(1,1) 0.3379(1,1) 0.1524(1,1)

109

(a) (b)

(c) (d )

Hình 4.9. Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm vuông dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS,

110

Hình 4.10. Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm vuông mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS,

1  1, 2  0; (b) CCCC, 1  1, 2  0; (c) SCSC, 1  1, 2  0; (d) SCSC, 1  0, 2  1

c. Khảo sát ảnh hưởng của dạng tải trọng nén đến đường cong sau ổn định

(a) (b)

(c)

Hình 4.11. Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a) SSSS,

111

(a) (b)

(c)

Hình 4.12. Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a)

SSSS, (b) SCSC, (c) CCCC

Ảnh hưởng của dạng tải nén ( 1, 2 ) và điều kiện biên đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng: h = 0.1m, a/h = 10

(FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 2, e0 = 0.5, K0 = J0 = 0 được thể hiện trên Hình 4.11

và Hình 4.12 với ba dạng điều kiện biên: (a) SSSS, (b) SCSC, (c) CCCC. Từ các kết quả trên đồ thị, có thể thấy rằng:

- Đường cong tải - độ võng sau ổn định của tấm hoàn hảo xuất phát từ điểm rẽ nhánh (giá trị lực tới hạn trên trục tung), của tấm khơng hồn hảo xuất phát từ gốc tọa độ và đơn điệu tăng.

- Với cả hai trường hợp, tấm hoàn hảo và khơng hồn hảo: Đường cong tải - độ võng sau ổn định của tấm chịu nén đều theo hai phương thấp hơn đường cong

(a)

tải - độ võng của tấm chịu nén đều theo một phương. Điều đó có nghĩa là: với tấm chữ nhật, độ ổn định khi chịu nén đều theo hai phương sẽ bé hơn khi chịu nén đều theo một phương và đó là phương cạnh dài.

d. Khảo sát ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng và hệ số lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định

Ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng liên kết khớp bốn cạnh (SSSS): h = 0.1m, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 2, e0 = 0.5, K0 = J0 = 0, chịu nén đều theo 1 phương (phương x) được tính tốn và thể hiện trên Hình 4.13. Các kết quả trên đồ thị cho thấy: các đường cong sau ổn định của tấm hoàn hảo (   0 ) và tấm khơng hồn hảo (  0.1) với quy luật phân bố đối xứng luôn nằm trên cùng so với các đường cong

của tấm có phân bố đều và bất đối xứng. Điều này một lần nữa khẳng định khả năng chịu lực của tấm FGM rỗng quy luật phân bố các lỗ rỗng không đều đối xứng (dạng 2) là tốt hơn so với hai quy luật phân bố còn lại, khả năng chịu lực của tấm (dạng 1 và dạng 3) gần như nhau.

(b)

Hình 4.14. Ảnh hưởng của hệ số rỗng e0 đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng

Hình 4.14 phân tích ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng e0 đến đường cong sau ổn

định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng liên kết khớp bốn cạnh (SSSS): h = 0.1m, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 2, K0 = J0 = 0, chịu nén đều theo 1 phương (phương x). Từ các kết quả trên đồ thị, có thể thấy rằng: khi tăng

e0 các đường cong sau ổn định của tấm khơng hồn hảo (   0.1) dịch chuyển

xuống phía dưới, như vậy khả năng chịu nén của tấm giảm khi hệ số lỗ rỗng e0 tăng.

e. Khảo sát ảnh hưởng của tham số khơng hồn hảo và tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định

Hình 4.15 khảo sát ảnh hưởng của tham số khơng hồn hảo ξ đến đường

cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng liên kết khớp bốn cạnh (SSSS): h = 0.1m, a/h = 10, b/a = 2, K0 = J0 = 0, chịu nén đều theo 1 phương (phương x). Rõ ràng là các đường cong sau ổn định của các tấm khơng hồn hảo đều xuất phát từ gốc tọa độ và thấp hơn so với các tấm hoàn hảo khi biến dạng nhỏ (độ võng của tấm là nhỏ). Tuy nhiên, khi độ võng của tấm đủ lớn thì ngược lại, tấm có tham số khơng hồn hảo ξ lớn chịu được lực nén tốt nhất.

Ảnh hưởng của các tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng với quy luật phân bố đối xứng cho tấm hồn hảo (  0 ) và tấm khơng hồn hảo (  0.1) chịu nén một phương (phương x): h = 0.1m, a/h = 10, b/a = 2, e0 = 0.5 được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.16. Như vậy khi tăng độ

cứng của nền thì đường cong sau ổn định của tấm sẽ cao hơn; các đường cong (3), và (4) cao hơn nhiều so với các đường (1) và (2), do đó có thể thấy ảnh hưởng của hệ số nền Pasternak và lớn hơn so với hệ số nền Winkner.

Hình 4.15. Ảnh hưởng của độ khơng hồn hảo ξ đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng

Hình 4.16. Ảnh hưởng của tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng

f. Khảo sát ảnh hưởng của kích thước tấm đến đường cong sau ổn định

Ảnh hưởng của tỷ lệ kích tấm a/h và kích thước cạnh b/a đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng (h = 0.1m, e0 = 0.5, K0 = J0 = 0) được thể hiện tương ứng trong Hình 4.17 và Hình 4.18. Rõ ràng các đường

cong sau ổn định của tấm hoàn hảo (   0 ) và tấm khơng hồn hảo (   0.1) cùng dịch chuyển dần xuống dưới khi tăng tỷ số kích thước a/h, điều này phản ánh sự thật là tấm càng mỏng thì càng dễ mất ổn định.

Ngoài ra ta cịn quan sát thấy, khi tỷ số kích thước các cạnh b/a càng tăng thì đường cong sau ổn định của tấm càng thấp, chứng tỏ rằng khả năng chịu nén theo phương chịu lực càng giảm khi chiều dài cạnh tương ứng tăng, hoàn tồn phù hợp với thực tế kỹ thuật.

Hình 4.17. Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước tấm a/h đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng

Hình 4.18. Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước cạnh b/a đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng

4.6. Tóm tắt chương 4

Trong chương 4 của luận án, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển được sử dụng để phân tích ổn định và sau ổn định trong tấm vật liệu FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi Pasternak, chịu nén trong mặt phẳng trung hồ. Mơ hình tấm bằng vật liệu FGM rỗng với ba loại phân bố lỗ rỗng: đều, không đều đối xứng, và không đều bất đối xứng được sử dụng cho hai trường hợp tấm hoàn hảo và

khơng hồn hảo. Bằng việc sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin, biểu thức giải tích của lực tới hạn, quan hệ tải - độ võng theo tiếp cận ứng suất đã được thiết lập với các điều kiện biên khác nhau bao gồm: SSSS, CCCC và SCSC.

Ví dụ kiểm chứng đã được thực hiện qua so sánh với các công bố của các tác giả khác cho thấy độ tin cậy của mơ hình giải tích và chương trình máy tính được thiết lập.

Các khảo sát số đã được thực hiện cho phép đánh giá ảnh hưởng của các tham số hình học, vật liệu, nền đàn hồi và điều kiện biên đến lực tới hạn và đường cong sau ổn định trong tấm. Một số kết quả đáng chú ý:

- Đường cong tải - độ võng sau ổn định của tấm hoàn hảo xuất phát từ điểm rẽ nhánh, của tấm không hoàn hảo xuất phát từ gốc tọa độ và đơn điệu tăng. - Tấm FGM rỗng có quy luật phân bố lỗ rỗng khơng đều đối xứng có khả năng

chịu nén tốt nhất so với hai quy luật còn lại.

- Độ khơng hồn hảo, nền đàn hồi và điều kiện biên ảnh hưởng nhiều đến ứng xử ổn định và sau ổn định của tấm FGM rỗng.

Các kết quả chính của luận án được thể hiện ở các bài báo số 2 và 8 trong danh mục các cơng trình khoa học đã công bố của tác giả.