Giả thiết rằng:
- Nước sông và nước thải cùng chảy xi dịng và được trộn đều tại các mặt cắt ngang của dịng sơng.
- Khơng có sự khuếch tán chất thải theo hướng dòng chảy, nghĩa là dòng chảy thuần túy là dòng tải.
Độ thiếu hụt oxy được ký hiệu như sau : D=DObh – DO (8.1) Giả sử DObh là hằng số, lấy vi phân phương trình (8.1) ta được :
( )
0
d DO dD
dt + dt = suy ra d DO( ) dD
dt = − dt (8.2) Do tốc độ DO biến mất xảy ra đồng thời với tốc độ BOD bị phân hủy cho nên ta có phương trình:
( ) ( )
d DO dD d BOD
dt = − dt = − dt (8.3) Như đã biết BODt được xác định bởi:
BODt = Lo - Lt
và do Lo là một hằng số, nên khi lấy đạo hàm theo thời gian nó bằng khơng, từ đó suy ra:
t
dL d(BOD)
= -
dt dt
Giả thiết rằng tốc độ loại oxy tại bất kỳ vị trí nào trên sơng tỷ lệ với BOD cịn lại tại điểm đó: t 1 t dL = - k L dt (8.4) Từ (8.3), (8.4) suy ra 1 t dD = k L dt (8.5)
Trong đó các ký hiệu sau được sử dụng: L0 : BOD toàn phần tại thời điểm ban đầu (mg/L) – đặc trưng cho nước thải từ cống xả thải (Hình 5.1); Lt : BOD toàn phần tại thời
điểm t (mg/L); k1 : hệ số tốc độ loại oxy do quá trình phân hủy chất hữu cơ (ngày-1) - một số tài liệu khác gọi là hệ số tốc độ khử oxy; t : thời gian (ngày).
Mặt khác tốc độ thấm oxy từ khơng khí vào dung dịch là một phản ứng bậc nhất tỷ lệ với sự chênh lệch giữa DObh và nồng độ thực của DO:
2 2 ( ) ( bh ) d DO k DO DO k D dt = − = (8.6) Trong đó k2 : hệ số tốc độ hịa tan oxy qua mặt thống, gọi tắt là hệ số thấm oxy. Từ các phương trình (8.4), (8.5) và (8.6) có thể thấy rằng, độ thiếu hụt oxy là một hàm của sự cạnh tranh giữa sự sử dụng oxy và nạp từ khí quyển:
1 t 2
dD
= k L - k D
dt (8.7)
Trong đó:
- dD/dt = tốc độ thay đổi độ thiếu hụt oxy (D) trên đơn vị thời gian, mg/L. ngày. - k1 = hằng số tốc độ loại oxy có thứ nguyên là ngày-1, phụ thuộc vào loại chất thải
phân hủy.
- Lt = BOD cịn lại sau t ngày tính từ thời điểm chất thải đó thải vào sơng, có thứ nguyên là mg/L.
- k2 = có thứ nguyên là ngày-1
. - D = có thứ nguyên là mg/L.
Bằng cách lấy tích phân phương trình (8.7) với các điều kiện biên: ở thời điểm t = 0: D = D0 và L = L0, và thời điểm t, Dt= D và Lt = L, ta được phương trình diễn tiến DO:
( ) 1 0 -k t1 -k t2 -k t2 0 2 1 k L D t = (e - e ) + D e k - k (8.8) Trong đó:
D = độ thiếu hụt oxy trong nước sông sau khi sử dụng BOD theo thời gian, mg/L L0 = BOD toàn phần tại mặt cắt pha trộn đầu tiên khi nước sông và nước thải được xáo trộn, mg/L;
k2 = hằng số tốc độ nạp khí, ngày-1.
D0 = độ thiếu hụt ban đầu sau khi nước sông và nước thải được xáo trộn , mg/L Khi k1 = k2, phương trình (8.8) được viết lại thành:
( ) 1
1 0 0
k t
D= k tL +D e− (8.9) Hệ số tốc độ nạp oxy cũng bị ảnh hưởng bởi nhiệt độ và có thể điều chỉnh theo nhiệt độ thực tế của một con sông:
( ) 20 2( ) 20 T k T =k θ − (8.10) Trong đó - T – nhiệt độ xem xét, 0 C
- k2(T) – hệ số tốc độ nạp oxy ở nhiệt độ xem xét, ngày-1 - k2(200) – hệ số tốc độ nạp oxy ở nhiệt độ 200C, ngày-1
- Hệ số nhiệt độ, θ = 1,135 ở nhiệt độ trong khoảng từ 4 - 200C và θ = 1,056 ở nhiệt độ trong khoảng 20 – 30 0C.