Trong phương pháp bất biến xung, mục ựắch của ta là tổng hợp bộ lọc IIR có ựáp
ứng xung ựơn vị h(n) là phiên bản ựược lấy mẫu của ựáp ứng xung bộ lọc tương tự.
Nghĩa là
h(n)=h(nT) n=0 , 1, 2 , ...
được biểu diễn trong phạm vi của việc lấy mẫu ựáp ứng xung một bộ lọc tương tự với ựáp ứng tần số Ha(F), bộ lọc số với ựáp ứng xung ựơn vị h( n) = ha (nT) có ựáp ứng ần số Hoặc (6.5) (6.3) (6.6) (6.4) (6.7)
167
Rõ ràng, bộ lọc số với ựáp ứng tần số sẽ có ựặc tuyến ựáp ứng tần số của bộ lọc
tương tự tương ứng nếu khoảng lấy mẫu (hiện tượng alias). T ựược chọn ựủ nhỏ ựể
tránh hoàn toàn hoặc tối thiểu hoá ảnh hưởng của lẫn mẫu. điều rõ ràng là phương pháp bất biến xung không phù hợp ựối với bộ lọc thông cao vì sự lẫn phổ khi xử lý lấy mẫu.
Muốn tìm hiểu sự ánh xạ giữa mặt phẳng z và mặt phẳng s ựược biểu thị bởi quá trình lấy mẫu, ta dựa vào công thức tổng quát hoá (6.7) ựể có mối liên hệ giữa biến ựổi z của h( n) và biến ựổi Laplace của ha(t). Mối quan hệ này là
Ở ựây
Chú ý rằng, khi s = jΩ, (6.8) trở thành (6.7), ở ựây thừa số j trong Ha (ω) ựã bị bỏ
ựi trong ký hiệu của ta.
đặc tắnh chung của ánh xạ
z = esT
có thể ựạt ựược bằng cách thay s = σ + j Ω và biểu diễn biến phức z theo toạ
ựộ cực z= rejω . Với sự thay thế này (6.10) trở thành
Rõ ràng, ta phải có
Do ựó, σ<0 nói lên rằng 0<r<1 và σ >0 nói lên rằng r>1. Khi σ = 0, ta có r=1. Như vậy nửa trái mặt phẳng s ựược ánh xạ vào trong ựường tròn ựơn vị thuộc z và nửa phải mặt phẳng s ựược ánh xạ thành các ựiểm ngoài ựường tròn ựơn vị thuộc z. đây là một trong các tắnh chất có lợi của ánh xạ ựang xét.
Như ựã chỉ ở trên, trục Ωj cũng ựược ánh xạ lên ựường tròn ựơn vị trong z . Tuy
(6.8)
(6.9)
(6.10)
168
nhiên, sự ánh xạ này là không một-một. Vì ω là duy nhất trên khoảng (−π,π), nên sự
ánh xạ ω = ΩT hàm ý rằng khoảng − πT≤ Ω≤πT ánh xạ lên các giá trị tương ứng của
−π≤ω≤π. Ngoài ra, khoảng tần số πT≤Ω≤3πT cũng ánh xạ vào khoảng −π≤ω≤π và nói
chung, khoảng ( 2k−1 )πT≤ Ω ≤ (2k+1)πT ựều thế, khi k là số nguyên. Như vậy việc ánh xạ từ tần số tương tự Ω vào biến tần số ω trong miền tần số là nhiều lên một, nó là sự phản ánh ảnh hưởng sự chồng phổ khi lấy mẫu. Hình 6.1 mô tả sự ánh xạ từ mặt phẳng s lên mặt phẳng z.
Hình 6.1: Sự ánh xạ z=esTcủa khoảng 2πT (với σ<0) trong mặt phẳng s lên các ựiểm trong ựường tròn ựơn vị thuộc mặt phẳng z
để tìm hiểu tiếp ảnh hưởng của phương pháp bất biến xung ựến ựặc tuyến bộ lọc thu ựược, ta hãy biểu diễn hàm hệ thống của bộ lọc tương tự dưới dạng phân thức tối giản. Với giả thiết rằng các cực của bộ lọc tương tự là phân biệt, ta có thể viết:
ở ựây {Spk} là các cực của bộ lọc tương tự và {Ak}là các hệ số của khai triển phân (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thức. Bởi vậy
Nếu lấy mẫu ha (t)một cách tuần hoàn tại t=nT , ta có
Thay (6.14) vào, hàm hệ thống bộ lọc số IIR sẽ là Z = esT jΩ σ Mặt phẳng Z Mặt phẳng s π/T -π /T Vòng tròn ựơn vị (6.12) (6.13) (6.14)
169
Tổng phắa trong của (6.15) là hội tụ, vì s pk < 0 và có
Do ựó, hàm hệ thống bộ lọc số là
Ta nhận thấy rằng bộ lọc số có các cực trị
Với hàm hệ thống H(z) này, bộ lọc số IIR dễ ựược thực hiện nhờ một dãy các
bộ lọc ựơn cực song song.
Vắ dụ 6.1. Cho mạch ựiện tương tự như sau:
Hãy chuyển sang mạch ựiện số bằng phương pháp bất biến xung?
Giải:
(6.15)
(6.16)
(6.17)
170 điểm cực:
Biến ựổi:
Thay vào ta ựược:
Hay
Ta có sơ ựồ sau
6.3. Phương pháp biến ựổi song tuyến
Trong mục này ta sẽ trình bày sự ánh xạ mặt phẳng s vào mặt phẳng z, ựợc gọi là biến ựổi song tuyến tắnh. Biến ựổi song tuyến tắnh là phép ánh xạ biến ựổi trục Ωj
thành ựường tròn ựơn vị trong mặt phẳng z chỉ một lần, như vậy tránh ựược sự lẫn mẫu của các thành phần tần số. Hơn nữa, tất cả các ựiểm trong nửa trái mặt phẳng s, ựược ánh xạ vào phắa trong ựường tròn ựơn vị và tất cả các ựiểm cực ở nửa phải mặt s ựược ánh xạ vào các ựiểm tương ứng ngoài ựường tròn ựơn vị thuộc mặt phẳng z.
Biến ựổi song tuyến tắnh có thể liên kết với công thức hình thang ựể lấy tắch phân bằng số. Vắ dụ, ta hãy xét bộ lọc tương tự tuyến tắnh với hàm hệ thống:
171
Hệ thống này cũng ựược ựặc trưng bởi phương trình vi phân.
Tránh sự thay thế phép ựạo hàm bằng phép sai phân hữu hạn, giả sử rằng ta tắch phân ựạo hàm và lấy gần ựúng nó bằng công thức hình thang. Như vậy.
ở ựây y' (t)là ký hiệu của ựạo hàm y (t). Việc lấy gần ựúng tắch phân (6.21)
bằng công thức hình thang tại t= nT và t0 = nT − T (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
đánh giá phương trình vi phân (6.20) tại t=nT sẽ có:
y'(nT) = −ay(nT) + bx(nT).
Ta dùng (6.23) ựể thay cho ựạo hàm trong (8.2.40) và sẽ có ựược phương trình sai phân của hệ thống rời rạc tương ựương. Với y (n ) ≡ y ( nT ) và x (n) ≡ x ( nT ) , ta có kết quả:
Biến ựổi z của phương trình sai phân này là
Do ựó, hàm hệ thống của bộ lọc số tương ựương là:
hoặc tương ựương:
(6.20) [( '( ) '( )] ( ). 2 ) (nT T y nT y nT T y nT T y = + − + − (6.21) (6.22) (6.23) (6.24) = = ) ( ) ( ) ( Z X Z Y Z H (6.25)
172
Rõ ràng, ánh xạ từ mặt phẳng s vào mặt phẳng z là
đây ựược gọi là biến ựổi song tuyến tắnh.
Vắ dụ 6.2.
Cho mạch ựiện tương tự:
Hãy chuyển mạch ựiện này thành mạch số bằng phương pháp biến ựổi song tuyến?
Giải:
Ta có sơ ựồ mạch ựiện:
(6.26)
173
6.4. Phương pháp tương ựương vi phân
Một trong những phương pháp ựơn giản nhất ựể biến ựổi bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là lấy gần ựúng phương trình vi phân bằng một phương trình sai phân tương ựương. Phép gần ựúng này thường ựược dùng ựể giải phương trình vi phân tuyến tắnh hệ số hằng nhờ máy tắnh.
đối với ựạo hàm dy(t)/dt tại t=nT ta thay bằng phép sai phân lùi [ y ( nT ) − y ( nT − 1 ) ]T .
Như vậy:
Ở ựây T là khoảng lấy mẫu và y(n)= y(nT). Bộ vi phân tương tự với tắn hiệu ra
dy(t)/dt có hàm hệ thống H (s)= s, trong khi ựó hệ thống số tạo ra tắn hiệu ra [ y(
n)−y(n−1) ư] /T lại có hàm hệ thống là H (z) = ( 1 − z-1 )T . Do ựó:
Do ựó, hàm hệ thống của bộ lọc số IIR ựạt ựược nhờ lấy gần ựúng phép ựạo hàm bằng phép sai phân hữu hạn là:
Ha(s)là hàm hệ thống của bộ lọc tương tự.
Ta hãy khảo sát phép nội suy của ánh xạ từ mặt phẳng s vào mặt phẳng z với
Nếu thay s= jΩ trong (6.30), ta tìm thấy:
Khi Ω biến thiên từ −∞ ựến ∞, quỹ tắch tương ứng của các ựiểm trong mặt (6.28)
(6.29) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(6.30)
(6.31)
174
phẳng z là một ựường tròn bán kắnh 1/2 và có tâm tại z=1/2 , như minh hoạ ở Hình
6.2.
Vắ dụ 6.3.
Cho mạch ựiện tương tự:
Hãy chuyển sang mạch số bằng phương pháp tương ựương vi phân?
Giải:
Sơ ựồ hệ thống giống như vắ dụ 6.1.
Sau ựây chúng ta sẽ tổng hợp các bộ lọc tương tự theo các phương pháp sau. Mục
= + − = − 1 1 1 ) ( 1 T z RC Z H
175
ựắch là ựể xác ựịnh ựược hàm truyền ựạt tương tự Ha(s), người ta có 3 phương pháp tổng
hợp là: - Butterworth
- Chebyshev - Elip hay Cauer.
6.5. Bộ lọc tương tự Butterworth
định nghĩa bộ lọc Butterworth: Bộ lọc thông thấp Butterworth là loại toàn cực ựược ựặc trưng bởi ựáp ứng bình phương biên ựộ tần số.
ở ựây N là cấp bộ lọc và Ωc là tần số ứng với mức -3dB của nó (thường gọi là tần
số cắt).
Vì H (s)H(−s) ước lượng tại s = jΩ là ựúng bằng H(Ω)2, nên
Các cực của H(s)H(s) xuất hiện trên ựường tròn bán kắnh Ωctại các ựiểm cách ựều. Từ (6.33), ta tìm ựược
và từ ựó:
đặc tuyến ựáp ứng biên ựộ tần số của một lớp bộ lọc Butterworth ựược trình
bày ở Hình 6.3với một vài giá trị N . Ta lưu ý rằng H(Ω)2 là ựơn ựiệu trong cả
băng thông và băng chắn. Cấp bộ lọc, cần ựể ựạt suy giảm δ2 tại tần số ựã ựịnh Ωs,
ựược xác ựịnh một cách dễ dàng nhờ (6.35). Như vậy, tại Ω = Ωsta có
và vì thế (6.33) (6.34) = k s (6.35) (6.36)
176 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Như vậy các tham số N, δ2 và tỷ số Ωs/Ωc là ựặc trưng ựầy ựủ cho bộ lọc
Butterworth.
6.6. Bộ lọc tương tự Chebyshep
Có hai loại bộ lọc Chebyshev. Loại I là bộ lọc toàn cực, nó biểu lộ ựộ gợn sóng ựồng ựều trong băng thông và có ựặc tuyến ựơn ựiệu trong băng chắn. Ngược lại, bộ lọc Chebyshev loại II gồm cả cực không, thể hiện tắnh ựơn ựiệu trong băng thông và ựộ gợn sóng ựều nhau trong băng chắn. Các ựiểm không của loại bộ lọc này nằm trên trục ảo thuộc mặt phẳng s.
Bình phương ựặc tuyến ựáp ứng biên ựộ tần số của bộ lọc Chebyshev loại I là:
ở ựây ∈ là một tham số của bộ lọc, có liên quan ựến gợn sóng trong băng thông;
TN(x) là ựa thức Chebyshev bậc N và ựược ựịnh nghĩa như sau:
177
Có thể tổng quát hoá ựa thức Chebyshev bằng phương trình ựệ quy.
ở ựây T 0(x) = 1 và T1(x) = x. Ta có T2(x) = 2x2 − 1, T3(x) = 4x3 − 3x.
Các ựa thức này có một số tắnh chất sau: 1. TN (x) ≤ 1 với mọi x ≤1.
2. TN(1) =1 với mọi N
3. Tất cả các nghiệm của ựa thức TN(x) xuất hiện trong khoảng −1 ≤ x ≤ 1.
Tham số lọc ∈ liên quan tới ựộ gợn sóng trong băng thông
Bộ lọc Chebyshev loại II gồm cả các ựiểm không và các ựiểm cực. đáp ứng bình phương biên ựộ tần số của bộ lọc Chebyshev loại II là:
ở ựây TN(x) cũng là ựa thức Chebyshev bậc N và Ωs là tần số băng chắn.
6.7. Bộ lọc tương tự Elip (Cauer)
Bộ lọc elắp (hay Cauer) có gợn sóng ựồng ựều trong cả dải thông và dải chắn ựối với
cả N lẻ và chẵn. Loại bộ lọc này bao gồm cả ựiểm cực, ựiểm không và ựược ựặc trưng
bởi bình phương ựáp ứng biên ựộ tần số như sau:
ở ựây UN(x) là hàm elắp Jacobian bậc N, nó ựã ựược Zverev tắnh theo phương
pháp lập bảng năm 1967 và là tham số liên quan tới ựộ gợn sóng dải thông. Các
ựiểm không nằm trên trục Ωj.
Như ựã biết khi thảo luận về bộ lọc FIR, việc tổng hợp có hiệu quả nhất xuất hiện nếu ta trải ựều sai số gần ựúng suốt băng thông và băng chắn. Bộ lọc elắp thực hiện ựược mục tiêu này và chắnh vì thế là hiệu quả nhất theo quan ựiểm lấy bộ lọc cấp nhỏ nhất của tập chỉ tiêu ựã cho. Nói khác ựi, với một cấp và một tập chỉ tiêu ựã cho, bộ lọc elắp có ựộ rộng băng chuyển tiếp nhỏ nhất.
(6.38) [ ]. ) / ( / ) / ( 1 1 | ) ( | 2 2 2 2 Ω Ω Ω Ω + = Ω S N C S N T T H ε (6.39) (6.40) (6.41)
178
Lưu ý: Vì biến ựổi tần số có thể ựược thực hiện trong miền tương tự hoặc trong miền số, nên khi tổng hợp bộ lọc số IIR ta phải chọn phương án hợp lý và cân nhắc ựến loại bộ lọc cần tổng hợp. Cụ thể, phương pháp bất biến xung và ánh xạ ựạo hàm là không thắch hợp trong việc tổng hợp bộ lọc thông cao và nhiều bộ lọc thông dải, vì vấn ựề lẫn mẫu. Thay vào ựó, cần phải thực hiện ánh xạ từ bộ lọc tương tự vào bộ lọc số thông thấp bằng một trong hai phép ánh xạ này và sau ựó thực hiện biến ựổi tần số trong miền số. Làm như thế sẽ tránh ựược sự lẫn mẫu. Khi dùng biến ựổi song tuyến tắnh, việc lẫn mẫu là không thành vấn ựề và do ựó việc thực hiện phép biến ựổi tần số trong miền tương tự hay miền số là không quan trọng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tắn hiệu và lọc số-Tập 1, tập 2, Nhà xuất bản Khoa học
và Kỹ thuật, Hà nội, 2001. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2. Nguyễn Lâm đông, Nhập môn xử lý tắn hiệu số, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ
thuật, Hà nội, 2004.
3. Jonh G.Proakis and Dimitris G. Manolakis, Introduction to Digital Signal
Processing, Maxwell Macmillan International Editions, New York 1989.
4. Jonh G.Proakis and Dimitris G. Manolakis, Digital Signal Processin:
Principles Algorithms, and Applications, Macmillan Publishing Company, printed the republic of Singapore, 1992.
5. Leland B.Jackson, Signal, Systems and Transforms, Addision-Wesley