1.Định nghĩa
Cho hàm f(x) trên đoạn [a.b]. Chia đoạn [a.b] một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm a = xo < x1 < Ầ Ầ < xn = b. Đặt xi = xi Ờ xi-1 và trên
[ xi-1, xi ] lấy một điểm ti tùy ý, i = 1, 2 , Ầ , n. Lập tổng
Và gọi Sn là tổng tắch phân của hàm f(x) trên đoạn [a,b] . Nếu Sn có giới hạn hữu hạn I khi n sao cho max{ xi } 0 và I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn các ti, thì I đýợc gọi là tắch phân xác định của f(x) trên đoạn [a,b] và
đýợc ký hiệu là:
Vậy:
Khi đó ta nói f(x) là khả tắch trên [a,b]; [a,b] là khoảng lấy tắch phân, a là cận dýới, b là cận trên , f là hàm dýới dấu tắch phân và x là biến tắch phân.
Chú ý :
(i) chỉ phụ thuộc f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến tắch phân, tức là:
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1
(iii) Trýờng hợp a = b, định nghĩa
(iv) Từ định nghĩa, ta thấy ngay hàm f(x) bị chặn trên [a,b] nếu f(x) khả tắch trên [a,b].
Ý nghĩa hình học:
Nếu f(x) 0 trên [a,b] và f(x) khả tắch trên [a,b] thì chắnh là diện tắch S của hình thang cong giới hạn bởi các đýờng :
x = a; x = b; y = f(x) và trục hoành y=0. 2.Các tắnh chất (1) (2) (3) Nếu Hệ quả: (4) Với c [a,b] ta có:
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1
nếu f(x) là hàm số chẵn
nếu f (x) là hàm số lẻ
3.Tổng Darboux & điều kiện khả tắch
Do hàm khả tắch thì bị chặn nên ta chỉ xét các hàm bị chặn trên [a, b]. Mỗi phép chia nhỏ đoạn [a,b] bởi các điểm a = xo < x1 < Ầ Ầ < xn đýợc gọi là một phân hoạch của[a,b] , ký hiệu P = { xo, x1Ầ Ầ. xn }. Đặt:
(cận trên đúng cuả f(x) trên [ xi-1, xi ] )
(cận dýới đúng cuả f(x) trên [ xi-1, xi ] )
Ta gọi U(f,P) và L(f,P) là các tổng (Darboux) trên và dýới của f ứng với phân hoạch P. Ngýời ta đã chứng minh đýợc một điều kiện khả tắch đýợc phát biểu trong định lý sau đây :
Định lý 1:Điều kiện cần và đủ để f khả tắch là:
Từ định lý này ta có thể chứng minh một số lớp hàm khả tắch đýợc phát biểu trong các định lý dýới đây.
Định lý 2: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tắch trên [a,b]. Định nghĩa:
Nếu hàm số f(x) xác định tại xo và không liên tục tại xo nhýng có giới hạn 2 phắa tại xo
thì ta nói xo là điểm gián đoạn loại 1 tại xo.
Định lý 3:
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1
Định lý 4: Hàm bị chặn và đõn điệu trên [a,b] thì khả tắch trên [a,b].