Phần 1 : CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
3.1. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRèNH
PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM
3.1.1. Cỏc khỏi niệm
3.1.1.1. Chất điểm
Cũn được gọi là vật điểm, là một điểm hỡnh học cú mang khối lượng. Chất điểm là mơ hỡnh của cỏc vật thể mà kớch thước của nú cú thể bỏ qua được do nhỏ so với cỏc vật thể khỏc hoặc khơng đúng vai trị gỡ trong quỏ trỡnh khảo sỏt chuyển động, vớ dụ khi xỏc định tầm xa của viờn đạn hoặc khi khảo sỏt chuyển động của cỏc vật tịnh tiến cú thể xem chỳng là chất điểm.
3.1.1.2. Lực
Khỏi niệm về lực đó được định nghĩa trong tĩnh học. Đú là tỏc dụng tương hỗ cơ học giữa cỏc vật thể. Như đó biết, cỏc đặc trưng của lực là đường tỏc dụng, điểm đặt và cường độ của lực. Lực được biểu diễn nhờ vộc tơ lực. Trong tĩnh học chỉ liờn quan với cỏc lực hằng, trong động lực học, lực núi chung là đại lượng biến đổi (biến đổi cả về hướng và độ lớn). Lực biến đổi cú thể phụ thuộc vào thời gian, vị trớ và vận tốc của chất điểm và cú thể phụ thuộc đồng thời vào cỏc đại lượng vừa nờụ Trong trường hợp tổng quỏt, biểu thức lực cú dạng: ) , , (t r v F F (3.1)
3.1.1.3. Hệ quy chiếu quỏn tớnh
Muốn khảo sỏt chuyển động của cỏc vật thể trước hết phải chọn hệ quy chiếụ Trong động lực học hệ quy chiếu được chọn là hệ quy chiếu qn tớnh, đú là hệ quy chiếu mà trong đú định luật quỏn tớnh của Galilờ được nghiệm đỳng. Trong thực tế, tuỳ thuộc vào yờu cầu của độ chớnh xỏc của bài toỏn khảo sỏt, người ta chọn cỏc hệ quy chiếu quỏn tớnh gần đỳng. Trong thiờn văn hệ quy chiếu quỏn tớnh được chọn là hệ trục toạ độ cú gốc ở tõm mặt trời và ba trục hướng đến ba ngụi sao cố định. Trong kỹ thuật hệ quy chiếu quỏn tớnh được chọn thường là hệ trục toạ độ gắn liền với trỏi đất.
3.1.2. Cỏc định luật cơ bản của động lực học
3.1.2.1. Định luật 1 (Định luật quỏn tớnh)
Chất điểm khụng chịu tỏc dụng của lực nào sẽ đứng yờn hoặc chuyển động thẳng đềụ
Trạng thỏi đứng yờn hoặc chuyển động thẳng đều của chất điểm gọi là trạng thỏi quỏn tớnh của nú.
85
điểm như vậy gọi là chất điểm cụ lập) thỡ nú cú trạng thỏi qn tớnh. Núi khỏc đi, chất điểm cụ lập sẽ bảo toàn trạng thỏi quỏn tớnh của mỡnh cho đến khi chưa cú lực tỏc dụng buộc nú thay đổi trạng thỏi chuyển động. Bằng cỏch như vậy định luật qn tớnh khơng những cho một tiờu chuẩn về hệ quy chiếu qn tớnh mà cịn phỏt hiện và khẳng định lực là nguyờn nhõn duy nhất làm biến đổi trạng thỏi chuyển động của chất điểm. Do đú, định luật quỏn tớnh là một trong những phỏt minh vĩ đại của con ngườị
3.1.2.2. Định luật 2 (Định luật cơ bản của động lực học)
Trong hệ quy chiếu quỏn tớnh, dưới tỏc dụng của lực chất điểm chuyển động với gia tốc cú cựng hướng với lực và cú giỏ trị tỷ lệ với cường độ của lực (Hỡnh 3.1)
Như vậy định luật thứ hai được biểu thị bằng hệ thức:
F ma (3.2)
Trong đú hệ số tỷ lệ m cú giỏ trị khụng đổi, là số đo quỏn tớnh của chuyển động, được gọi là khối lượng của chuyển động. Định luật thứ hai thiết lập mối quan hệ về số lượng giữa lực tỏc dụng và gia tốc mà chất điểm thu được dưới tỏc dụng của lực đú.
Đẳng thức (3.2) cũn được gọi là phương trỡnh cơ bản của động lực học. Từ (3.2) khi F 0
ta cú a0 tức v hằng vộc tơ (bao gồm cả trường hợp 0
v ), tức chất điểm cụ lập sẽ cú trạng thỏi quỏn tớnh. Tuy nhiờn từ đú khơng thể núi rằng định luật thứ nhất là hệ quả của định luật thứ hai, bởi vỡ như trờn đó nờu, định luật thứ nhất cho một tiờu chuẩn về hệ quy chiếu quỏn tớnh mà trong đú định luật thứ hai được thiết lập.
Khi viết (3.2) cho chất điểm rơi tự do trong trọng trường, ta cú:
P = mg (3.3)
Đẳng thức (3.3) thiết lập mối quan hệ giữa trọng lượng và khối lượng của chất điểm.
3.1.2.3. Định luật 3 (Định luật tỏc dụng và phản tỏc dụng)
Cỏc lực tỏc dụng tương hỗ giữa hai chất điểm cú cựng đường tỏc dụng, ngược chiều và cựng cường độ.
Cần lưu ý rằng hai lực tỏc dụng tương hỗ giữa hai chất điểm khụng phải là cặp lực cõn bằng vỡ chỳng đặt vào hai chất điểm khỏc nhaụ Định luật thứ 3 khụng liờn quan đến cỏc yếu tố động học nờn nú đỳng với hệ quy chiếu bất kỳ.
Giỏ trị đặc biệt của định luật 3 cũn ở chỗ nú mơ tả tương tỏc giữa hai điểm và do đú cho khả năng khảo sỏt động lực học cơ hệ.
Theo định luật 3, hệ nội lực sẽ gồm cỏc lực từng đụi một trực đối nhau. Do đú, suy ra tớnh chất của hệ nội lực: Vộc tơ chớnh và mơ men chớnh của hệ nội lực đối với một điểm bất kỳ luụn luụn triệt tiờu, tức là:
a F v
M
86 ' i 0 k i F R và ( ) 0 i k O i O m F m (3.4)
Tuy nhiờn, như đó lưu ý ở trờn, hệ nội lực khụng phải là hệ lực cõn bằng.
3.1.2.4. Định luật 4 (Định luật về tớnh độc lập tỏc dụng của cỏc lực)
Dưới tỏc dụng đồng thời của một số lực, chất điểm cú gia tốc bằng tổng hỡnh học cỏc gia tốc mà chất điểm cú được khi mỗi lực tỏc dụng riờng biệt.
Giả sử chất điểm cú khối lượng m chịu tỏc dụng cỏc lực F F Fn
,..., , 2
1 . Theo định luật thứ 4 và ỏp dụng định luật thứ 2, chất điểm chuyển động với gia tốc a được tớnh theo cơng thức: n k k m F a 1 Do đú: n k k F a m 1 (3.5)
Điều đú cú nghĩa là dưới tỏc dụng của cỏc lực F F Fn
,..., , 2
1 chất điểm sẽ chuyển động với gia tốc thoả món định luật thứ 2, trong đú lực tỏc dụng lờn chất điểm là hợp lực của hệ lực F F Fn
,..., , 2
1 . Núi khỏc đi, trong động lực học chất điểm cho phộp sử dụng quy tắc hỡnh bỡnh hành lực đó nờu trong tĩnh học.
3.1.2.5. Định luật 5 (Định luật giải phúng liờn kết)
Chất điểm khụng tự do (tức chất điểm chịu liờn kết) cú thể được xem như chất điểm tự do bằng cỏch giải phúng nú khỏi liờn kết và thay thế liờn kết đú bằng phản lực liờn kết.
Định luật thứ 5 cho phộp ỏp dụng bốn định luật đó nờu trờn, chỳng được phỏt biểu đối với chất điểm tự do, cho động lực học chất điểm khụng tự dọ
3.1.3. Phương trỡnh vi phõn chuyển động của chất điểm
3.1.3.1. Phương trỡnh vi phõn chuyển động của chất điểm trong dạng vộc tơ
Khảo sỏt chuyển động của chất điểm cú khối lượng m chịu tỏc dụng của lực F
(trong trường hợp chất điểm tự do, chịu tỏc dụng của nhiều lực thỡ F
là hợp lực của những lực đú, cịn trong trường hợp chất điểm khụng tự do thỡ F
là hợp lực của lực hoạt động và lực liờn kết).
Chọn một hệ quy chiếu quỏn tớnh. Trong hệ quy chiếu này chất điểm sẽ chuyển động với gia tốc a, được xỏc định dựa vào định luật thứ 2 (phương trỡnh cơ bản của động lực học).
F a m
Gọi r là vộc tơ định vị của chất điểm trong hệ quy chiếu đó chọn. Như đó biết từ phần động học:
r a
87
Do đú, phương trỡnh cơ bản của động lực học chất điểm cú thể viết dưới dạng: ) , , (t r r F r m (3.6)
Phương trỡnh (1.6) được gọi là phương trỡnh vi phõn chuyển động của chất điểm trong dạng vộc tơ.
3.1.3.2. Phương trỡnh vi phõn chuyển động của chất điểm trong dạng toạ độ Đề cỏc
Chọn hệ trục toạ độ Đề cỏc Oxyz gắn vào hệ quy chiếu quỏn tớnh. Khi chiếu hai vế của đẳng thức vộc tơ (1.6) lờn cỏc trục toạđộ ta được:
) , , , , , , (t x y z x y z F x m x ) , , , , , , (t x y z x y z F y m y (3.7) ) , , , , , , (t x y z x y z F z m z
Hệ phương trỡnh (3.7) được gọi là phương trỡnh vi phõn chuyển động của chất điểm trong dạng toạ độ Đề cỏc.
Khi chất điểm chuyển động trong mặt phẳng hoặc dọc theo đường thẳng thỡ số phương trỡnh giảm xuống cũn tương ứng hai hoặc một.
3.1.3.3. Phương trỡnh vi phõn chuyển động của chất điểm trong dạng toạ độ tự nhiờn
Khi chiếu hai vế của đẳng thức vộc tơ (3.6) lờn cỏc trục toạ độ tự nhiờn (Hỡnh 3.2) và dựa vào kết quả trong phần động học, ta nhận được: F s m n F v m 2 (3.8) b F 0
Trong đú s và v tương ứng là toạ độ cong và giỏ trị của vận tốc v của chất điểm; là bỏn kớnh cong của quỹ đạo, cũn Ft, Fn, Fb lần lượt là cỏc hỡnh chiếu của lực
F
lờn cỏc trục tiếp tuyến, phỏp tuyến chớnh và trựng phỏp tuyến.
Hệ phương trỡnh (3.8) được gọi là cỏc phương trỡnh vi phõn chuyển động của chất điểm trong dạng toạ độ tự nhiờn.
Cỏc phương trỡnh trờn ỏp dụng thuận lợi khi biết quỹ đạo tuyệt đối của chất điểm, đặc biệt đối với cỏc bài toỏn của động lực học chất điểm khụng tự dọ
3.1.4. Hai bài toỏn cơ bản của động lực học
Bài toỏn thuận:
Cho biết chuyển động của vật thể, hóy xỏc định lực đó gõy ra chuyển động đú. Trong trường hợp biết chuyển động của chất điểm qua gia tốc ỏp dụng trực tiếp phương trỡnh cơ bản của động lực học.
Trong trường hợp biết chuyển động của chất điểm khụng phải qua gia tốc mà
M n0 n b0 b t t0 F Hỡnh 3.2
88
qua luật chuyển động hoặc vận tốc của nú thỡ đầu tiờn ta phải tỡm gia tốc của chất điểm nhờ cỏc cụng thức đó thiết lập ở phần động học, sau đú ỏp dụng phương trỡnh cơ bản của động lực học.
Bài toỏn ngược:
Cho biết cỏc lực tỏc dụng lờn vật thể và những điều kiện đầu của chuyển động, hóy xỏc định chuyển động của vật thể ấỵ
Như đó biết từ phương trỡnh cơ bản của động lực học chất điểm, gia tốc cú thể được xỏc định từ phương trỡnh vi phõn chuyển động của chất điểm. Do đú để tỡm chuyển động của chất điểm cần phải tớch phõn phương trỡnh vi phõn chuyển động. Nếu tỡm được cỏc tớch phõn, chỳng sẽ chứa cỏc hằng số tớch phõn, thỡ chỉ biết lớp chuyển động chứ chưa biết dạng chuyển động cụ thể. Muốn tỡm dạng chuyển động cụ thể cần phải xỏc định cỏc hằng số tớch phõn nhờ cỏc điều kiện đầu (vị trớ ban đầu và vận tốc ban đầu).
Vớ dụ 3.1
Một vật nặng trọng lượng P được kộo lờn với gia tốc a theo phương thẳng đứng. Tỡm sức căng T của dõỵ (Hỡnh 3.3).
Bài giải
Vật khảo sỏt: Vật nặng được coi như một chất điểm. Cỏc lực tỏc dụng lờn chất điểm gồm: P T
,
Khi viết phương trỡnh (1.2) cho chất điểm khảo sỏt, ta cú; ma P T
Chọn trục toạ độ Oz hướng thẳng đứng từ dưới lờn trờn. Chiếu phương trỡnh vận tốc trờn lờn trục Oz:
ma = -P + T
Từ đõy rỳt ra sức căng dõy T là; T = m(g + a)
Nhận xột: Nếu gia tốc a hướng xuống thỡ sức căng T của dõy sẽ là: T = m(g - a)
Như vậy: khi vật được kộo lờn nhanh dần hoặc hạ xuống nhanh
dần với gia tốc cú trị số a thỡ sức căng của dõy sẽ bằng trọng lượng của vật cộng thờm hoặc trừ đi đại lượng mạ
T = P ma
Nếu a = 0 tức là vật được kộo lờn hạ xuống khơng cú gia tốc thỡ T = P. Ta gọi đú là sức căng tĩnh của dõỵ
Sức căng của dõy trong điều kiện chuyển động cú gia tốc của vật nặng bằng sức P a T z O Hỡnh 3.3
89
căng tĩnh cộng thờm hoặc trừ bớt một lực (phụ thuộc vào gia tốc của vật) được gọi là phản lực động lực.