II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRI TUYỆT ĐỚ
Phần I: Tứ Diện lăng trụ
Bai 2: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuơng gĩc với
mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chĩp A.BCNM.
Bai 3: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 2; SA = a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC.
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuơng gĩc với mặt phẳng (SMB). 2. Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 50: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, cạnh SA vuơng gĩc với đáy,
. Gọi M là trung điểm của SB. 1. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng (SBC). 2. Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 49: Cho tứ diện OABC cĩ OA = OB = OC = a và
a. Tính độ dài các cạnh cịn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuơng. b. Chứng minh
Bài 47: Cho hình chĩp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh cịn lại đều bằng 1.
1. Tính thể tích hình chĩp theo x, y.
2. Với x, y nào thì thể tích hình chĩp lớn nhất?
Bài 45: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật .
Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao cho . 1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số .
Bai 4: Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a. Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường trịn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB.
Bai 5: Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuơng gĩc nhau. Cĩ AB là đường vuơng
gĩc chung, AB = a. Ta lấy các điểm M trên Ax, N trên By với AM = x, BN = y. 1. Chứng minh rằng các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuơng.
2. Tính thể tích và diện tích tồn phần của tứ diện ABMN theo x, y.
Bai 6: Cho hình lăng trụ đứng cĩ đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, gĩc .Gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuơng.
Bai 8: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành, gĩc nhọn tạo bởi hai đường chéo
AC và BD là , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chĩp theo a.
Bai 9: Cho ABC là tam giác vuơng tại C. Trên đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với mặt phẳng
(ABC) lấy điểm S (khác với A). Chứng minh rằng các mặt của thiết diện S.ABC đều là tam giác vuơng .
Bai 10 : Cho hình nĩn cĩ đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nĩn tạo với mặt đáy hình nĩn một gĩc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nĩn và cắt mặt đáy của hình nĩn theo dây cung AB, cung AB cĩ số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB.
Bai 15 : Cho tứ diện ABCD cĩ cạnh AD vuơng gĩc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB
= 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD).
Bai 16 : Cho hình chĩp đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung
điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuơng gĩc với mặt phẳng (SBC).
Bai 18 : Cho tứ diện ABCD cĩ: AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m , CD = 2n.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a. Chứng minh rằng IK là đoạn thẳng vuơng gĩc chung của 2 cạnh đối nhau AB và CD. b. Tính IK theo a, m và n.
Bai 19 : Cho hình lập phương cạnh . Gọi là tâm của hình vuơng .
Bai 20 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cĩ cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A'B'.
1. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'
2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB')
Bai 21 : Cho khối lăng trụ đứng cĩ đáy là một tam giác vuơng tại
. Đường chéo của mặt bên tạo với mặt phẳng một gĩc .
a. Tính độ dài đoạn .
b. Tính thể tích của khối lăng trụ .
Bai 22 : Cho hình chĩp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuơng tại B, cạnh SA vuơng gĩc với đáy,
gĩc ACB = , BC = a , SA = . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bai 23 : Cho hình chĩp S.ABC đáy là tam giác ABC vuơng tại A , gĩc
vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một gĩc . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC.
a. Tính thể tích của hình chĩp S.ABC
b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đĩ.
Bai 24 : Cho hình chĩp cĩ đáy là tam giác vuơng tại
. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
Bai 25 : Cho tứ diện . Một mặt phẳng song song với và , cắt các cạnh tương ứng tại các điểm .
1.Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành.
2.Xác định vị trí của để cho diện tích của tứ giác đạt giá trị lớn nhất.
Bai 27 : Cho hình chĩp cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB,
SD sao cho: .
1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số .
2. Tính thể tích hình chĩp theo thể tích V của hình chĩp .
Bai 28 : Cho gĩc tam diện vuơng Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C cĩ
.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tởng bình phương diện tích các mặt cịn lại của tứ diện .
Bai 30 : Cho khối lăng trụ tam giác mà mặt bên cĩ diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh và mặt bằng 7.
Tính thể tích khối lăng trụ .
Bai 31: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, cạnh SB vuơng gĩc với đáy
(ABC). Qua B kẻ BH vuơng gĩc với SA, BK vuơng gĩc với SC. Chứng minh SC vuơng gĩc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng và .
Bai 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.
1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a.
2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.
Bai 33: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
1. Giả sử I là một điểm thay đởi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất.
2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất.
Bai 34: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với: . Các cạnh bên của hình chĩp bằng nhau và bằng .
a) Tính thể tích của hình chĩp S.ABCD.
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuơng gĩc với mặt phẳng (MEF).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bai 35: Cho tứ diện O.ABC cĩ cạnh OA, OB, OC đơi một vuơng gĩc với nhau và
. Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh rằng: CE vuơng gĩc với mặt phẳng (OMN). b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Bai 36: cho hình chĩp S.ABCD, đáy là hình vuơng cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều;
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuơng (SCD), SJ vuơng (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH vuơng AC.
c) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuơng SA. Tính AM theo a.
Bai 37: Cho hình chĩp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng cạnh a; và vuơng gĩc với đáy.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bai 38: Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân với BA = BC = a , SA = a và
vuơng gĩc với đáy. Gọi M.N là trung điểm AB và AC. a) Tính cosin gĩc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) . b) Tính cosin gĩc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC) .
Bai 39: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành với AB = a ; AD = 2a . Tam
giác SAB vuơng cân tại A . M điểm trên cạnh AD ( M khác A và B ) . Mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD lần lượt tại N;P;Q .
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuơng .
b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x
Bai 40: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, tâm O , SA = a và vuơng
gĩc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB. a) Tính khoảng cách từ I đến CM.
b) Tính khoảng cách từ S đến CM.
Bài 41: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a. SC vuơng gĩc với mặt phẳng
(ABCD) ; SC = 2a. Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho . Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P .
Tính thể tích hình chĩp S.MANP theo a
Bài 42: Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. S là một điểm bất kì
nằm trên đường thẳng At vuơng gĩc với mặt phẳng (P) tại A.
Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một gĩc .
1. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'. 2. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM / MD = 3. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( AB'C). 3. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'.
Bài 44: Cho hình nĩn đỉnh S, đáy là đường trịn C bán kính a, chiều cao ; và cho hình chĩp đỉnh S, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp C.
1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chĩp ( mặt cầu ở bên trong hình chĩp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên của hình chĩp ).
2. Biết thể tích khối chĩp bằng 4 lần thể tích khối nĩn, hãy tính diện tích tồn phần của hình chĩp.
Bài 46: Cho gĩc tam diện vuơng Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C cĩ OA = a,
OB = b, OC = c ( a, b, c > 0).
1. Chứng minh rằng tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
3. Chứng minh rằng bình phương diện tích tam giác ABC bằng tởng bình phương diện tích các mặt cịn lại của tứ diện O.ABC
Bài 48: Trong khơng gian với hệ tọa độ Đềcác vuơng gĩc Oxyz, cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy
ABCD là hình vuơng cạnh a với A (0 ; 0; 0) , B (a; 0 ; 0) , D (0 ; a; 0) và đỉnh S (0; 0; a). Gọi M là trung điểm của đoạn SA, hãy tính :
1. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (CDM). 2. Gĩc giữa đường thẳng SB và DM.