VI. PHÂN BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN BỐ BÌNH THƯỜNG
6.2. PHÂN BỐ F
Chúng ta quan tâm ở đây tới một phân bố quan trọng khác, được đặt theo tên nhà thống kê nổi tiếng Ronald A. Fisher - đó là phân bố F.
4 Một chứng minh không thật chặt chẽ như sau: Thêm và bớt μ ở tử, sau đó khai triển và rút gọn ta được
Hay có thể viết lại là:
/
Vế trái có phân bố Chi bình phương với n df, số hạng cuối của vế phải có phân bố Chi bình phương với 1df nên biều thức đang quan tâm có phân bố Chi bình phương với n - 1 df
29 ĐỊNH NGHĨA:
Nếu U và V là với hai biến độc lập phân bố chi-bình phương có bậc tự do tương ứng m và n, thì tỉ số
/
/
sẽ theo phân bố F với m và n bậc tự do.
Về mặt khái niệm, một phân bố F với m và n bậc tự do sẽ hình thành nếu chúng ta có thể thực hiện các quy trình sau đây:
(a) Lấy một quan sát (gọi là ui) từ biến U và một quan sát (vi) từ biến V;
(b) Tính tốn để cho ra một quan sát theo phân bố F với m và n bậc tự do: / / (c) Lặp lại các bước (a) và (b) cho vô số mẫu i , ,..., ∞
(d) Tìm phân bố xác suất của wi. Kết quả nàysẽ là phân bố xác suất của W, một phân bố F với m và n bậc tư do.
Nếu X theo phân bố F với m và n bậc tự do, ta kí hiệu là: X ~ Fm, n.
Từ định nghĩa, dễ dàng suy được rằng nếu ~ , thì ~ , .
Trong phần trước chúng ta nói rằng nếu U và V là hai biến độc lập phân bố Chi bình phương với số bậc tự do tương ứng là n1-1 và n2-1 thì:
~
~
Từ đó, theo định nghĩa phân bố F, ta có:
/ / / / ~ , với m = n1-1 và n = n2-1
30
Sắp xếp lại các số hạng vế phải và thay thế các giá trị mẫu của hai mẫu nhất định chúng ta được cơng thức để tính một giá trị quan sát của chỉ số thống kê trên, tức là:
/ /
trong đó và là các ước lượng khách quan của các phương sai của quần thể 1 và 2. Do đó, [6] là một hàm của và (các phương sai chưa biết). Tuy vậy phân bố vẫn giữ nguyên bất chấp các giá trị thật của và . Vì vậy trong điều kiện duy nhất sau đây (và chỉ với điều kiện này), đó là thì [6] có thể viết thành:
Kết quả này thường được dùng để kiểm nghiệm sự bằng nhau của hai phương sai.
Ví dụ 9: Một mẫu gồm 10 đối tượng cho thấy rằng phương sai của BMD cột sống thắt lưng
và cổ xương đùi là 0,19 g2/cm4 và 0,12 g2/cm4 . Có bằng chứng rằng hai phương sai là khác nhau hay không?
Chúng ta sử dụng thống kê F: F = 0,19 / 0,12 = 1,58, bây giờ thống kê này có phân bố F với 9 bậc tự do cho tử và mẫu. Giá trị tới hạn ở mức 5% cho F9, 9 = 3,18 (sử dụng bảng phân phối F).
Vì giá trị F quan sát được thấp hơn giá trị mong đợi (là 3,18), chúng ta kết luận rằng có bằng chứng cho thấy sự bằng nhau của hai phương sai.