Nguyễn Việt Hải, Tạp chí THTT
Trong bài này các chữ đều biểu thị số nguyên, nếu không là số nguyên sẽ ghi chú riêng.
Chuyên đề 1. Một số bài toán về sự chia hết và sự chia có dư
I. Kiến thức cơ bản
1. Các dấu hiệu chia hết cho 2, 4, 5, 3, 9, 11, 7. 2. Các tính chất của phép chia hết. Lưu ý :
a) Nếu a và b đều chia hết cho m ( m6= 0) thì a + b và a - b đều chia hết cho n.
b) Nếu a chia hết cho n và b không chia hết cho m (m 6= 0) thì a + b và a - b đều không chia
hết cho m.
3. Các tính chất cơ bản của ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN ) của hai số trong SGK .
4. Các tính chất cơ bản của những số nguyên tố và hợp số trong SGK . 5. Các tính chất cơ bản của những số nguyên tố cùng nhau.
6. Các hằng đẳng thức đáng nhớ dạng (a+b)2, (a−b)2, . . . 7. Sự chia hết của đa thức
8. Điều kiện có nghiệm nguyên của tam thức bậc hai 9. Sự chia hết của tích các số nguyên liên tiếp
II. Các bài tốn về sự chia hết và chia có dư
A. Các bài toán về sự chia hết B. Các bài tốn về sự chia có dư
Chuyên đề 2. Một số bài tốn về số chính phương và số lũy thừa
I.Tính chất của số chính phương
II. Một số dạng tốn về số chính phương và số lũy thừa A. Bài tốn chứng minh một số khơng là số chính phương B. Bài tốn chứng minh một số là số chính phương
C. Bài tốn xác định giá trị của biến để một biểu thức số là số chính phương
Chun đề 3. Một số bài tốn về dãy số
A. Tính chất của phép chia và của các số nguyên tố cùng nhau B. Phương pháp phản chứng
C. Nguyên tắc Dirichlet trong Số học D. Phương pháp cực hạn
E.Bài toán chọn số trong dãy số
Bài toán 3.7. a) Chứng minh rằng trong 100 số nguyên dương có thể chọn được một hay nhiều số mà tổng của chúng chia hết cho 100.
b) Chứng minh rằng trong 100 số nguyên dương có thể chọn được một hay nhiều số mà tổng các bình phương của chúng chia hết cho 100.
Bài tốn 3.8. a) Trong 2n số nguyên từ 1 đến 2n chọn n + 1 số nào đó. Chứng minh rằng trong các số được chọn có ít nhất một số bằng tổng hai số cũng được chọn ( hai số này có thể bằng nhau hoặc khác nhau).
b) Có thể lấy nhiều nhất bao nhiêu số trong 2n số nguyên dương đầu tiên để một số bất kì được chọn khơng bằng tổng của của hai số cũng được chọn ( hai số này có thể bằng nhau hoặc khác nhau ).