Trong trờng phổ thông có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học đối với học sinh. Các bài toán là một phơng tiện không thể thay thế đợc trong quá trình giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết các bài toán thực tế. Hoạt động giải các bài toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục tiêu dạy Toán ở trờng phổ thông. Vì vậy, việc tổ chức giải các bài toán có hiệu quả sẽ góp phần quan trọng đối với chất lợng dạy học Toán.
Trong thực tiễn dạy học, các bài toán đợc sử dụng với những dụng ý khác nhau. Tất nhiên, các bài toán thờng không chỉ nhằm vào một mục đích đơn nhất nào đó mà thờng bao hàm nhiều dụng ý khác nhau.
Mỗi bài toán cụ thể đợc đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tờng minh hay ẩn tàng những chức năng khác
nhau. Những chức năng này đều hớng đến việc thực hiện các mục đích dạy học.
Trong thực tiễn dạy học, bài toán mang các chức năng sau:
Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành củng cố ôn tập hệ thống các kiến thức lý thuyết, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trong chừng mực có thể, làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những lý thuyết đã học. Qua bài toán, học sinh có thể phải đào sâu một khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phân tích, tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để giải. Tất cả những thao tác t duy đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu và mở rộng kiến thức cho học sinh. Đây là phơng tiện tốt để học sinh phát triển năng lực t duy sáng tạo, xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển t duy của học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành và phát triển những phẩm chất của t duy. Bồi dỡng cho học sinh phơng pháp nghiên cứu khoa học, bởi vì thông qua việc giải bài tập sẽ rèn luyện cho học sinh thói quen và khả năng độc lập phát hiện và giải quyết các vấn đề có liên quan. Trong môi trờng đó, t duy lôgic, t duy sáng tạo của các em sẽ từng bớc đợc phát triển, năng lực các em đợc nâng cao.
Bài tập toán cũng là phơng tiện nghiên cứu tài liệu mới, nhằm đảm bảo cho học sinh lĩnh hội kiến thức một cách toàn diện, sâu sắc và vững chắc hơn. Là phơng tiện trong việc phát triển năng lực t duy của học sinh, ta có thể sử dụng kiến thức trung gian để nâng cao chất lợng học tập của học sinh.
Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải các bài tập, sẽ tạo môi trờng để rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ nh: tính sáng tạo, tính độc lập, tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính phê phán,... Việc giải các bài tập sẽ giúp học sinh làm quen với nhiều tình huống mới lạ. Những tình huống đó cùng với phơng pháp dạy học thích hợp của giáo viên sẽ giúp học sinh rèn luyện tính linh hoạt, tính mềm dẻo của t duy - một yếu tố quan trọng của t duy sáng tạo.
38
Chức năng kiểm tra đánh giá: Bài tập toán học là một phơng tiện có hiệu quả để kiểm tra kiến thức, kiểm tra năng lực t duy, sáng tạo của học sinh.
Thông qua bài tập có thể kiểm tra đợc sự hiểu biết của học sinh phần lý thuyết cơ bản, lý thuyết mở rộng (hoặc kiến thức sâu hơn). Khả năng vận dụng lý thuyết vào bài tập.
Thông qua động thái của học sinh khi giải bài tập, bộc lộ đợc khả năng về trí tuệ, tính nhanh, tính nhẩm, tính sáng tạo v.v.... Cũng thông qua hoạt động này, phát hiện những khuyết điểm, những sai lầm và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh để kịp thời uốn nắn. Từ đó đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Kiến thức trung gian mà chúng ta xây dựng cũng mang những chức năng trên, ngoài ra nó còn đóng vai trò là “cầu nối” giữa những kiến thức mà học sinh đợc học với những bài toán nâng cao, bài toán khó. Để có thể giải đợc những bài toán, đòi hỏi học sinh phải có khả năng liên tởng, huy động kiến thức đã biết để vận dụng. Việc vận dụng kiến thức trung gian để giải bài tập sẽ làm cho học sinh phát huy khả năng dự đoán các vấn đề đặc biệt hóa, khái quát hóa, tơng tự. Trong quá trình đó sẽ rèn cho học sinh tinh thần hoài nghi khoa học, tính độc lập, tính phê phán của t duy, góp phần rèn luyện tính sáng tạo cho học sinh.
Tóm lại, nếu giáo viên có phơng pháp huy động và thiết kế các kiến thức trung gian một cách thích hợp thì sẽ tạo đợc điều kiện thuận lợi cho việc phát triển các phẩm chất trí tuệ ở học sinh - điều này có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống của các em.
1.3.2. Hoạt động giải toán của học sinh
Công trình nghiên cứu của G. Pôlia cũng đã khẳng định: "Giải Toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con ngời; vì vậy giải toán có thể xem nh một trong những biểu hiện đặc trng nhất trong hoạt động của con ngời" [38, tr.5], do đó: “Ngời giải toán phải hiểu đợc trí tuệ của mình nh
ngời lực sĩ hiểu thân thể anh ta..." và "Khát vọng và quyết tâm giải đợc bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài tập" [38, tr. 305].
Theo Pôlia, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trong khi giải toán. Ngay sau khi đọc kỹ một đầu bài toán, ngời giải cố gắng dự đoán phạm vi đi tìm lời giải, phạm vi này có thể còn mơ hồ, thậm chí có thể phần nào không đúng, mặc dầu thực ra không phải lúc nào cũng quá sai lầm. Trên cơ sở dự đoán ta có đợc cái toàn thể ban đầu (cái tổng hợp I) [19, tr.110].
- Tổ chức và động viên kiến thức.
Khi giải toán, thoạt đầu ngời giải chỉ thấy bài toán nh một cái tờng tách biệt với vốn kiến thức của mình (giữa kiến thức loại 1 và loại 2 cha thiết lập đợc mối liên hệ qua lại) khi đã giải đợc bài toán rồi thì khác hẳn; ngời giải thấy nhiều chi tiết nhiều hình vẽ của bài toán mà lúc đầu không thể tin đợc rằng những chi tiết, những hình vẽ đó của bài toán lại có liên quan đến bài toán. Thoạt đầu hình vẽ của bài toán còn thiếu cụ thể; mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán còn bị che giấu, ngời giải vận dụng đến nhiều kiến thứcđã có (những định lí, những tính chất có liên quan đến các yếu tố hình vẽ) để vẽ thêm đờng phụ, để đa vào ẩn số phụ, hình vẽ ban đầu với sự xuất hiện thêm một số yếu tố phụ mới hoặc cũng cố dự đoán ban đầu của ngời giải, vì kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu đợc nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II). Quá trình cứ nh vậy mà tiếp diễn.
Trong t duy, đã diễn ra hai hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổ chức kiến thức. “Động viên kiến thức là lấy ra, là tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liên quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố ấy lại với nhau. Giải bài toán nh là xây dựng ngôi nhà; thoạt đầu phải thu nhận những vật liệu cần thiết, sau đó phải cấu kết những vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể" [19, tr. 111].
Có thể xem vai trò của hoạt động này thông qua bài toán sau:
Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: