Định lí 2.1. ([4]- Tr.21) Cho ξ = (E, p, B) là một phân thớ tầm thường với thớ F, và (B, A) là một quan hệ CW− phức. Khi đó tất cả các nhát cắt s của ξ|A có thể kéo dài (thác triển) đến một nhát cắt s∗ của ξ theo một trong các giả thiết sau:
(H1) Không gian F là (m−1)− liên thông với mỗi m ≤ dimB.
(H2) Có một quan hệ CW− phức (Y, X) thỏa mãn B = Y ì I và
A = (X ìI)∩(Yì)), với I = [0,1].
Chứng minh. ([4]- Tr.21,22) Trước tiên ta chứng minh định lí với giả thiết (H1). Giả sử định lí đúng với mọi B mà dimB < n.
Nếu n= 0 ta có A = B nên định lí hiển nhiên đúng.
Với n6= 0, từ giả thiết quy nạp ta có một nhát cắt s0 của ξ|Bn−1 thỏa mãn
s0|A= s. Giả sử C là một n− khoang của B với ánh xạ gán uc : In −→ B. Phân thớ u∗c(ξ) trên In là tầm thường địa phương.Do In là compact, nên ta có thể chia In thành các hình khối K có độ dài 1/k thỏa mãn u∗c(ξ)|K là tầm thường. Theo Mệnh đề 2.9 ta có từ nhát cắt s0 ta xác định được một
nhát cắt σ0 của u∗c(ξ)|∂In. áp dụng các giả thiết quy nạp với σ0, ta có thể giả sử rằng σ0 được xác định trên (n−1)− sườn của In, nhát cắt σ0 bây giờ được xác định trên ∂K cho bởi một ánh xạ ∂K −→ F. Sử dụng đồng cấu tự nhiên u∗c −→ ξ trên uc và theo Mệnh đề 2.9 ta có một nhát cắt sc của
ξ|(C ∩Bn−1) = s0|(C ∩Bn−1). Do đó ta xác định được một nhát cắt s∗ của
ξ theo yêu cầu s∗|Bn−1 = s0 và s∗|C = sc, và theo tính chất của tôpô yếu thì
s∗ liên tục.
Nếu dimB = ∞, thì F là một n−liên thông với mỗi n, khi đó ta xây dựng các nhát cắt sn của ξ|Bn thỏa mãn Sn|Bn−1 = Sn−1 và s−1 = s, từ đó ta xác định được một nhát cắt của ξ thỏa mãn s∗|Bn = sn.
kết luận
Luận văn đã trình bày vắn tắt một số khái niệm cơ sở để phát biểu và chứng minh các nội dung chính đó là:
1. Trình bày khái niệm không gian tôpô, ánh xạ liên tục trên không gian tôpô, và chỉ ra một số ví dụ có giải thích tường minh.
2. Trình bày vắn tắt khái niệm phạm trù, CW-phức.
3. Trình bày định nghĩa đa tạp khả vi chỉ ra một số ví dụ cụ thể để minh họa.
4. Nội dung chính của luận văn trình bày khái niệm không gian phân thớ, và các tính chất của nó. Tôi đã trình bày cụ thể một số ví dụ như Ví dụ 2.3, Ví dụ 2.4. Ngoài ra, tôi còn trình bày chi tiết chứng minh các tính chất như: Mệnh đề 2.2, Mệnh đề 2.3, Mệnh đề 2.6, Mệnh đề 2.7, Mệnh đề 2.10, Hệ quả 2.4, Hệ quả 2.5.
Hướng tiếp tục chúng tôi sẽ trình bày các tính chất của không gian phân thớ của hình cầu trên không gian xạ ảnh.
Vì thời gian và năng lực bản thân có hạn nên mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn.
[1] Nông Quốc Chinh. (2003), Tôpô đại cương, NXB ĐH Sư phạm Hà Nội. [2] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn.(2011), Lý thuyết liên thông và hình
học Riemann, NXB ĐH Sư phạm.
[3] Brayton Gray.(1975), An Introduction to Algebraic Topolopy, Academic Press.
[4] Dale Husemoller. (1993), Fibre Bundles (Third Edition), Springer Ver- lag.
[5] Joseph J. Rotman.(2009), An Introduction to Homological Algebra (Sec- ond Edition), Springer Verlag.
[6] Norman Steenrod.(1951), The topology of fibre bundles, Princeion Uni- versity.
[7] Valter Moretti.(2003), Notes on Tensor Analysis in Differentiable Man- ifolds with applications to Relativistic Theories, University of Trento.