Nếu như khái niệm dãy đối chính quy dẫn tới khái niệm độ rộng của môđun Artin thì từ khái niệm A-dãy đối chính quy với chiều > s và Định lý 2.2.7 cho phép ta đưa ra khái niệm độ rộng với chiều > s như sau.
Định nghĩa 3.1.1. Nếu dimR(0 :A I) > s thì độ dài của một A-dãy đối
trong I ứng với A và được ký hiệu bởi Width>s(I, A). Trong trường hợp
dimR(0 :A I) 6 s ta đặt Width>s(I, A) = ∞.
Chú ý 3.1.2. Nếu s = −1thì Width>−1(I, A) = Width(I, A), chính là độ
rộng của A trong I theo nghĩa của A. Ooshi [15].
Sau đây ta nhắc lại một kết quả đã được chứng minh trong [14].
Bổ đề 3.1.3. [14, Hệ quả 2.6] Nếu x1, . . . , xk là A-dãy đối chính quy với chiều > s thì xn1
1 , . . . , xnk
k cũng là A-dãy đối chính quy với chiều > s với
mọi số nguyên dương n1, . . . , nk.
Chứng minh. Cho (x1, . . . , xk) là A-dãy đối chính quy với chiều > s và
n1, . . . , nklà các số nguyên. Theo Bổ đề 2.2.4 ta có(x1, . . . , xk) là(D(A))
b p-
dãy chính quy nghèo với mọi iđêan bp ∈ Var(Ann
b RA) thoả mãn tính chất dim(R/bp∩R)) > s.Do đó(xn1 1 , . . . , xnk k ) là (D(A)) b
p-dãy chính quy nghèo
với mọibp ∈ Var(Ann
b
RA)thoả mãndim(R/bp∩R)) > stheo Chú ý 1.5.2. Vì vậy xn1
1 , . . . , xnk
k là A-dãy đối chính quy với chiều > s theo Bổ đề 2.2.4. Từ kết quả trên, nếu (a1, . . . , ak) là các phần tử sinh của I thì với mọi bộ các số nguyên dương n, n1, . . . , nk ta có
Width>s(I, A) = Width>s(In, A) = Width>s((an1
1 , . . . , ank
k )R, A).
Ta có nhận xét rằng với mỗi số nguyên i, R-môđun TorRi (R/I, A) = 0
nếu và chỉ nếu nó cũng là Rb-môđun 0. Hơn nữa,dimR(TorRi (R/I, A)) > 0
nếu và chỉ nếu dim
b
R(TorRi (R/I, A)) > 0. Do đó ta có hệ quả sau.
Hệ quả 3.1.4. Với mỗi iđêan I của R ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(i) Width(I, A) = Width(IR, Ab ).
(ii) Width>0(I, A) = Width>0(IR, Ab ).
Chứng minh. Theo Định lý 2.2.7, Width>s(I, A) chính là số nguyên i nhỏ nhất để dim(TorRi (R/I, A)) > s.
(i) Giả sử Width(I, A) = n. Khi đó n chính là độ dài của A-dãy đối chính
quy tối đại trong I theo nghĩa của A. Ooishi [15] trong trường hợp s = −1.
Vì thế, theo Định lý 2.1.6, ta có TorRi (R/I, A) = 0 với mọi i < n. Theo nhận xét trên, điều này xảy ra khi và chỉ khi TorRb
i (R/Ib R, Ab ) = 0 với mọi
i < n, khi và chỉ khi Width(IR, Ab ) =n.
(ii) Cho x1, . . . , xn là A-dãy đối chính quy với chiều > 0 trong I, theo định nghĩa ta có xi ∈/ p, với mọi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) thoả mãn dimR/p > 0, nghĩa là xi tránh tất cả các iđêan nguyên tố gắn kết p trong tập AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) trừ iđêan cực đại m. Do đó n chính là số nguyên dương nhỏ nhất để dim(TorRn(R/I, A)) > 0. Theo nhận xét
trên, khi và chỉ khi n cũng chính là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
dim(TorRb
n(R/Ib R, Ab )) > 0, khi và chỉ khi n= Width>0(IR, Ab ).
(iii) Giả sử x1, . . . , xn là A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I. Ta cần chứng minh rằngx1, . . . , xncũng làA-dãy đối chính quy với chiều> strong
IRb. Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 1. Vì x1 là
phần tử A-đối chính quy với chiều> s trong I nên theo định nghĩa, x1 ∈/ p,
với mọi p ∈ AttRA thoả mãn dimR/p > s. Giả sử x1 không là phần tử
A-đối chính quy với chiều > s trong IRb. Khi đó tồn tạibq ∈ Att
b
RA sao cho
x1 ∈ bq và dim(R/b bq) > s. Theo Mệnh đề 1.2.4, ta có bq∩ R = q ∈ AttRA. Suy ra x1 ∈ q và
s < dim(R/b bq) 6 dim(R/b qRb) = dimR/bq∩R = dimR/q.
Điều này mâu thuẫn với giả thiếtx1 là phần tửA-đối chính quy với chiều> s
trong I. Do đó x1 là phần tử A-đối chính quy với chiều > s trong IRb. Theo hệ quả trên, ta có bất đẳng thức Width>s(I, A) 6 Width>s(IR, Ab )
và dấu đẳng thức chỉ xảy ra trong trường hợps 6 0. Tuy nhiên, trong trường hợp s > 0, dấu đẳng thức không còn đúng nữa. Lý do là nhìn chung ta có
{p ∈ AttRA| dim(R/p) > s} 6⊆ {bp ∩R |bp ∈ AttRA,dim(R/b bp) > s}.
Vì thế, có thể có những dãy(x1, . . . , xk)các phần tử trong I là dãy đối chính
quy với chiều > s của Rb-môđun A nhưng không là dãy đối chính quy với
chiều > scủa R-môđun A, dẫn tới Width>s(I, A) < Width>s(IR, Ab ). Vì vậy, cần phải cẩn thận khi chuyển qua đầy đủ và dùng đối ngẫu Matlis. Ví dụ sau minh họa cho điều này.
Ví dụ 3.1.5. Tồn tại một vành Noether địa phương (S,n), iđêan I của S và
S-môđun Artin A sao cho dimSA = 3, dim (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b
S A = 2và
Width>1(I, A) < Width>1(IS, Ab ),
trong đó Sblà n-adic đầy đủ của S.
Chứng minh. Cho(R,m) là miền địa phương Noether chiều2được xây dựng
bởi D. Ferrand và M. Raynaud [5] sao cho tồn tại những iđêan nguyên tố nhúng bp ∈ AssRb thỏa mãn dim(R/b bp) = 1. Vì Hm1(R) ∼= H1
mRb(Rb) như b
R-môđun, theo [1, Định lý 11.3.3] ta có
{bp ∈ AssRb | dim(R/b bp) = i} = Att
b
RHi
mRb(Rb)
nên suy rabp ∈ Att
b RHm1(R). Vì thế dim b R(Hm1(R)) = dimR/b Ann b R(Hm1(R)) = max{dimR/b bp,bp ∈ Att
b
R(Hm1(R))} ≥ dim(R/b bp) = 1
theo Bổ đề 1.3.2. Mặt khác, ta luôn có dim
b
R(Hm1(R)) 6 1 theo [17, Mệnh đề 3.8]. Vì thếdim
b
R(Hm1(R)) = 1.Vìbp ∈ AssRb, nênbp∩R ∈ AssR. DoR
là miền nguyên nên AnnR = 0, dẫn đến AssR = 0. Suy ra bp ∩R = 0. Vì
bp ∈ Att
b
R(Hm1(R)), nên theo Mệnh đề 1.2.4 ta cóbp∩R = 0 ∈ AttR(Hm1(R)).
Bây giờ, choR[[x]]là vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biếnxvới hệ số trongR.Khi đó theo Định lý cơ sở Hilbert,R[[x]]là miền nguyên Noether
chiều 3, depthR[[x]] = 2 vì R là miền nguyên và m ∈/ AssR, iđêan cực
đại duy nhất của R[[x]] là (m, x)R[[x]] và Rb[[x]] là vành đầy đủ theo tô pô
(m, x)R[[x]]-adic của R[[x]].Vìbp ∈ AssRb, nên theo định nghĩa tồn tại phần tử a ∈ Rb sao chobp = Ann
b Ra. Đặt bp[[x]] = n ∞ X i=0 aixi ∈ Rb[[x]]| ai ∈ bp,∀io. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khi đó ta có thể kiểm tra được rằng bp[[x]] là iđêan nguyên tố của Rb[[x]] và
Ann b R[[x]]a = n ∞ X i=0 aixi ∈ Rb[[x]]| ∞ X i=0 (aai)xi = 0 o =bp[[x]]. Do đó bp[[x]] ∈ Ass(Rb[[x]]) và dim(Rb[[x]]/bp[[x]]) = dim(R/b bp)[[x]]) = 2. Theo [1, Định lý 11.3.3] suy ra bp[[x]] ∈ Att b R[[x]] H(2 m,x)Rb[[x]](Rb[[x]])= Att b R[[x]] H(2m,x)R[[x]](R[[x]]).
Vậy, lại theo [17, Mệnh đề 3.8] và Bổ đề 1.3.2 ta có
dim b R[[x]] H(2m,x)R[[x]](R[[x]]) = 2. Vì bp[[x]] ∈ Ass(Rb[[x]])∩ Att b R[[x]] H(2m,x)R[[x]](R[[x]]), nên ta có b p[[x]]∩R[[x]] ∈ Ass(R[[x]])∩AttR[[x]] H(2m,x)R[[x]](R[[x]]). Vì thế bp[[x]]∩R[[x]] = 0 và dimR[[x]] H(2m,x)R[[x]](R[[x]]) = 3 theo Bổ đề 1.3.2. Vì depthR[[x]] = 2 và dimR[[x]] = 3 nên H(im,x)R[[x]](R[[x]]) = 0
với i < 2và i > 3. Do đó, từ dãy khớp ngắn
ta có dãy khớp dài
. . . −→0 −→ H(1m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) −→ H(2m,x)R[[x]](R[[x]])
x
−→H(2m,x)R[[x]](R[[x]]) −→H(2m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]])
−→0. . .
Vì thế ta có đẳng cấu giữa các R[[x]]-môđun
H(1m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) ∼= (0 :
H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) x).
Chú ý rằng H(1m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) có cấu trúc tự nhiên là R-môđun và nó đẳng cấu với Hm1(R). Do đó dimR[[x]] 0 :H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) x = 2
và dim
b
R[[x]] 0 :H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) x = 1. Bây giờ, ta chọn S = R[[x]], I = xR[[x]] và A = H(2m,x)R[[x]](R[[x]]). Khi đó A là S-môđun Artin,
dimSA = 3, dim b SA = 2, dimS(0 :A I) = 2, dim b S(0 :A I) = 1. Theo Định lý 2.2.7 ta có: 1. Vì dim b
S(0 :A I) = 1 nên với mỗi số nguyên n, đều tồn tại A-dãy đối chính quy với chiều > 1 trong IRb nên Width>1(IS, Ab ) =∞.
2. Vì dimS(0 :A I) = 2 > 1, nên luôn tồn tại A-dãy đối chính quy với chiều > 1trong I. Do dim
b
S A= 2 = N-dimRA nên theo [15] ta có
0< Width>1(I, A) < N-dimA = 2
nên suy ra Width>1(I, A) = 1.
Vậy ta có Width>1(I, A) < Width>1(IR, Ab ). 3.2 Kết quả hữu hạn
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây bằng kỹ thuật tương tự như chứng
minh các kết quả của chương 2. Đó là chuyển lên vành đầy đủ, sử dụng đối (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ngẫu Matlis, đẳng cấu giữa các môđun Ext, Tor trên vành đầy đủ và tính
chất giao hoán của hàm tử địa phương hóa với các hàm tử Ext, Tor. Kết quả
Bổ đề 3.2.1. Cho t là một số nguyên. Đặt
Pt =
t−1
[
i=0
Var(AnnR TorRi (R/I, A).
Khi đó
AttR TorRt (R/In, A)∪Pt = AttR TorRt (R/(an1
1 , . . . , ank
k ), A)∪Pt
= AttR TorRt (R/I, A)∪Pt
với mỗi hệ sinh (a1, . . . , ak) của I và mọi số nguyên dương n, n1, . . . , nk. Chứng minh. Cho p ∈ AttR TorRt (R/In, A)∪ Pt sao cho p ∈/ Pt. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.4, tồn tại iđêan nguyên tốbp ∈ Att
b
R TorRt (R/In, A) sao cho bp∩ R = p. Vì p ∈/ Pt, nên theo cách xác định Pt ta có
b
p ∈/ Var Ann
b
R TorRi (R/I, A))= Var Ann
b
R TorRb
i (R/Ib R, Ab ))
với mọii < t. Do đó theo Mệnh đề 1.4.5 ta cóbp ∈/ Supp
b R Exti b R(R/Ib R, Db (A)) với mọi i < t. Vì thế Mệnh đề 1.4.5 Exti b R b p b R b p/IRb b p, D(A) bp ∼= Exti b R(R/Ib R, Db (A)) bp = 0
với mọi i < t. Do đó depth(IRb
b
p, D(A)
b
p) ≥ t theo Mệnh đề 1.5.4. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Điều này suy ra depth(InRb
bp, D(A) b p) ≥ t theo Chú ý 1.5.2. Nếu depth(InRb bp, D(A) b
p) > t thì lại áp dụng Mệnh đề 1.5.4 ta suy ra được
Extt b R b p(Rb b p/InRb b p, D(A) b p) = 0 hay bp ∈/ Supp b R Extt b R(R/Ib R, Db (A)). Vì vậy, bp ∈/ Var Ann b R(Extt b
R(R/Ib nR, Db (A)))= Var Ann
b
R TorRb
t (R/Ib nR, Ab )).
Vì thế bp ∈/ Att
b
R TorRt (R/In, A) theo Mệnh đề 1.2.3, điều này mâu thuẫn với cách chọn bp. Do đó, depth(InRb bp, D(A) bp) =t = depth(IRb b p, D(A) b p).
Vì vậy, từ rad(I) = rad(In) và theo Mệnh đề 1.5.4 ta có Ass b R b p Extt b R bp (Rb bp/InRb b p, D(A) bp) = Ass b R b p HItn b R b p (D(A) bp) = Ass b R b p Ht IRb b p (D(A) bp) = Ass b R b p Extt b R b p (Rb b p/IRb b p, D(A) bp). Vìbp ∈ Att b
R TorRt (R/In, A), nên suy rabp ∈ Ass
b R Extt b R(R/Ib nR, Db (A)), và vì vậybpRb b p ∈ Ass b R b p Extt b R b p (Rb bp/InRb b p, D(A) b
p).Theo kết quả trên ta suy ra bpRb bp ∈ Ass b R b p Extt b R bp (Rb bp/IRb b p, D(A) b p). Vì vậy b p ∈ Ass b R Extt b R(R/Ib R, Db (A)) = Att b R TorRt (R/I, A). Suy ra ta có
AttR TorRt (R/In, A)∪Pt ⊆AttR TorRt (R/I, A)∪Pt.
Chú ý rằng ta luôn có các đẳng thức depth(IRb bp, D(A) b p) = depth(InRb bp, D(A) b p) = depth((an1 1 , . . . , ank k )Rb b p, D(A) b p).
nên các bao hàm thức còn lại của bổ đề cũng được chứng minh tương tự. Với việc đưa ra định nghĩa độ rộng với chiều > svà chứng minh được tính
chất ổn định của hợp các tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun xoắn Tor
trong Bổ đề trên đã giúp ta chứng minh được kết quả quan trọng và cũng là kết quả chính của luận văn, đó là tính chất hữu hạn của tập các iđêan nguyên
tố gắn kết của môđun xoắn Tor khi nđủ lớn. Để tiện cho việc theo dõi ta kí
hiệu
(AttRA)≥s = {p ∈ AttRA | dim(R/p) ≥ s}.
Định lý 3.2.2. Cho Width>s(I, A) = r. Khi đó
(i) Tập S
n∈N
AttR(TorRt (R/In, A))
(ii) Tập S
n1,...,nk∈N
AttR(TorRt (R/(an1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 , . . . , ank
k )R, A
≥s là hữu hạn với mọi
t 6 r, trong đó (a1, . . . , ak) là hệ sinh của I. Chứng minh. Đặt
Pt =
t−1
[
i=0
Var AnnR(TorRi (R/I, A))
với mỗi số nguyên t sao cho t 6 r. Cho n ≥ 0 là một số nguyên và
p ∈ S
n
AttR(TorRt (R/In, A))≥s. Vì t 6 r = Width>s(I, A), nên theo Định lý 2.2.7 suy ra dimR(TorRi (R/In, A)) 6 s với mọi i < t.
Nếu dim(R/p) > s thì áp dụng Bổ đề 1.3.2 ta có p ∈/ Pt. Do đó, p ∈ AttR(TorRt (R/I, A)) theo Bổ đề 3.2.1.
Nếu dim(R/p) = s thì p ∈ AttR(TorRt (R/I, A)) ∪ Pt theo Bổ đề 3.2.1. Giả sử rằng p ∈/ AttR(TorRt (R/I, A)). Khi đó p ∈ Pt. Vì vậy p ∈ Var(AnnR(TorRh(R/I, A))) với h < t. Vì h < Width>s(I, A), nên ta códim(TorRh(R/In, A)) 6 s theo Định lý 2.2.7. Do đóp là phần tử tối thiểu của tập Var(AnnR(TorRh(R/I, A))), và vì vậy p ∈ AttR(TorRh(R/I, A))
theo Bổ đề 1.2.3. Vì vậy, ta đã chứng minh được [
n
AttRTorRt (R/In, A)≥s ⊆
t
[
i=0
AttR TorRi (R/I, A),
và vì thế S
n
AttRTorRt (R/In, A)≥s là tập hữu hạn. Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được
[ n1,...,nk (AttRTorRt (R/(an1 1 , . . . , ank k )R, A)≥s ⊆ t [ i=0
AttR(TorRi (R/I, A)),
và định lý được chứng minh.
Hệ quả 3.2.3. Giả sử rằng s 6 1. Cho Width>s(I, A) = r. Khi đó tập S
n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
AttRTorRt (R/In, A)và tập S
n1,...,nk
AttRTorRt (R/(an1
1 , . . . , ank
k )R, A)
Kết luận
Tóm lại, trong luận văn này chúng tôi đã trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo: "A finiteness result for attached primes of certain Tor-modules" của L. T. Nhan và N. T. Dung (2010). Kết quả chính của luận văn gồm các nội dung sau.
1. Hệ thống một số tính chất của môđun Artin có liên quan đến nội dung của luận văn: cấu trúc của môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, dãy đối chính quy và độ rộng của môđun Artin. Trình bày khái niệm và một số tính chất của hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn, khái niệm và một số tính chất của dãy chính quy và độ sâu của môđun.
2. Nghiên cứu về dãy đối chính quy với chiều > s: định nghĩa, tính chất, điều kiện luôn tồn tại của dãy đối chính quy với chiều > s và đặc trưng độ
dài tối đại của dãy đối chính quy với chiều > s thông qua chiều Krull của
môđun con xoắn Tor.
3. Đưa ra khái niệm độ rộng với chiều > s và từ đó chứng minh kết quả
Tài liệu tham khảo
[1] M. Brodmann, and R. Y. Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge.
[2] M. Brodmann, Asymptotic stability of Ass(M/InM), Proc., America
Math. Soc., (1) 74 (1979), 16-18.
[3] M. Brodmann and L.T. Nhan, A finiteness result for associated primes, J. Al., (4) 87 (2008), 596-600.
[4] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), "On Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J. Math., 30, pp. 121-130.
[5] Ferrand D. and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d'un anneau local Noetherian," Ann. Sci. E'cole Norm. Sup., 3 (4), pp. 295-311.
[6] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of local cohomology module, J. Alg., 252 (2002), 161-166.
[7] Kirby D. (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart. J. Math. Oxford (Ser. 2) 24 (2), pp. 47-57.
[8] Kirby, D. (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 41 (2), pp. 419-429.
[9] Macdonald, I. G. (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica. 11, pp. 23-43.
[10] Matsumura, H. (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univer- sity press.
[11] L. Melkersson and P. Schenzel Asymptotic prime ideals related to drived funtors Proc. Ame. Math. Soc. 4 117 (1993), 935-938.
[12] Nagata M., (1962), Local ring, Interscience, New York.
[13] L. T. Nhan and N. T. Dung, "A finiteness property for attached primes of certain Tor-modules", Algebra Colloquium, to appear, (2010).
[14] L. T. Nhan and N. V. Hoang, A finiteness result for attached primes of local cohomology, Submit in Commutative Algebra, (2008).
[15] A. Ooishi, Matlis duallity and the width of a module, Hiroshima Math. J. 6 (1976), 573-587.
[16] Roberts, R. N. (1975), "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 26, pp. 269-273. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[17] R. Y. Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime