Vành tựa nội xạ

3.2.1.định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành tựa nội xạ phải ( hay tự nội xạ ) nếu

RR là một môđun R- nội xạ.

3.2.2.Định nghĩa. Cho vành R, có đơn vị.

a). Phần tử e R∈ đợc gọi là luỹ đẳng nếu e2 =e.

b). Hệ các phần tử e ,e ,...,e1 2 n∈Rđợc gọi là hệ luỹ đẳng trực giao

nếu: ei.ei = ei

và ei.ej = 0 nếu i j≠ .

3.2.2.Mệnh đề. Cho vành R và A là ideal phải của R, (A R . Khi đó, A là∆ R)

nội xạ thì A = eR, với e là luỹ đẳng. Chứng minh:

Nếu A là nội xạ thì ta suy ra A là R - nội xạ. ⇔f :Α →R là chẻ ra

⇒ phép nhúng i :A→RR là chẻ ra ⇒ A là hạng tử trực tiếp của R

⇒ A= eR với e luỹ đẳng. W

3.2.3.Mệnh đề. R là vành tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu R là aR-nội xạ,

∀ ∈a R . Chứng minh:

R là vành tự nội xạ phải ⇒ R là R nội xạ.

Mặt khác, aR là một idean phải của R.

Ta suy ra R là aR nội xạ. Ngợc lại, R là aR nội xạ, ∀ ∈a R.

Vì R là vành có đơn vị nên chọn a = 1 ⇒ R là R nội xạ. W Ngoài ra, từ kiến thức của môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ có thể chuyển đợc một số kết quả sau sang vành tựa nội xạ:

3.2.4.Mệnh đề. R là vành tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu R là ( )

∈∧ ⊕ i i R - nội xạ. trong đó: Ri ≅ R. 3.2.5.Mệnh đề. ∈ ∏ i

i I R nội xạ ⇔ R là vành tựa nội xạ phải.

3.2.6.Mệnh đề. R là tựa nội xạ phải ⇔R(A) là tựa nội xạ với = ⊕∈ i

i A

R R và

≅

i

R R .

3.2.7.Mệnh đề. (xem [9], định lý 1.35.]) Cho R là một vành. Các điều kiện sau

là tơng đơng:

i). R là vành tựa nội xạ phải. ii). (R⊕R)R là liên tục. iii). (R⊕R)R là tựa nội xạ.

iv). Mn(R) là tựa nội xạ phải , với ∀ ≥n 1.

3.2.8.Mệnh đề: Nếu R là vành chính và Rlà rựa nội xạ phải thì R I là tựa nội xạ với I ∆ R .

Chứng minh: Ta xét ánh xạ: f :I→R ara ar

Vì R là vành chính nên Kerf = {0}, suy ra f là đơn cấu.

3.2.9.định nghĩa. a). Cho R - môđun phải M, ta gọi bao xạ ảnh của M là một

R - môđun phải xạ ảnh P và toàn cấu f :Ρ →Μ sao cho Kerf P. Bao xạ ảnh của môđun M không nhất thiết tồn tại .

b). Một môđun M đợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi ảnh đồng cấu của M đều có bao xạ ảnh.

c). Vành R đợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi R- môđun phải hữu hạn sinh đều có bao xạ ảnh.

d). Một môđun M đợc gọi là bé nếu M là môđun con bé trong bao nội xạ E(M). Một môđun M không là môđun bé đợc gọi là môđun không bé.

3.1.10.Định lý. Cho vành nửa hoàn chỉnh R, các khẳng địnhk sau là tơng đ- ơng:

i). R là tựa nội xạ phải.

ii). Cho n∈Ơ*, mọi môđun con đóng của ( )n = ⊕1 2 ⊕ ⊕...

R n

R R R R là môđun

không bé , trong đó Ri ≅ R .

iii). Mọi môđun con đóng của (R⊕R)R là môđun không bé.

Chứng minh: Ta chứng minh (i) ⇒ (ii). Thật vậy, từ (i) ta có R( )Rn là nội xạ do đó nếu C là một môđun con đóng của ( )n

R

R thì C ( )n R

R , ( vì R( )Rn là CS ) dẫn đến C là nội xạ. Vậy C là môđun không bé.

Từ (ii) ⇒ (iii) là hiển nhiên.

Ta chứng minh (iii) ⇒ (i). Viết ( )n

R 1 2 n

R =R ⊕R ⊕ ⊕... R , ở đây Ri là các iđêan địa phơng, (bởi vì R là vành nửa hoàn chỉnh). Khi đó, ta có:

(R R⊕ )R =R1⊕ ⊕... Rk⊕ R01⊕ R02⊕ ⊕... R0k. ở đây, R0 i =Ri, với mọi i =1,...,k. Ta thấy, mỗi môđun con đóng của Ri là đóng trong (R⊕R)R

↪⊕

Xét U là một môđun con đóng đều của Ri suy ra U đóng đều trong (R⊕R)R.

Bởi giả thiết (iii) chúng ta có U là môđun không bé trong Ri.

Ta sẽ chứng minh U=Ri. Thật vậy, nếu U R≠ i thì U↪J(Ri) ( do Ri là địa phơng ) ⇒ J(Ri) là môđun không bé trong Ri. Điều này mâu thuẫn với tính chất địa phơng của Ri, (nếu Ri địa phơng thì J(Ri) là môđun bé trong Ri) dẫn đến U=Ri. Do đó Ri là đều, suy ra R0i cũng đều.

Chúng ta chứng minh (R⊕R)R là (1- C1), tức là mỗi môđun con đóng đều của (R⊕R)R là hạng tử trực tiếp.

Xét U là một môđun con đóng đều của (R⊕R)R và {1,2,...k,01,02,...,0k}

α ∈ và p : Rα ( ⊕R)R →Rα là phép chiếu thì có {1,2,...k,01,02,...,0k}

β ∈ sao cho: U ker p∩ ( )β =0. Do đó U p U≅ β( ) ⊆eR. Từ (iii) U là môđun không bé, dẫn đến p Uβ( ) cũng là môđun không bé, ( theo bổ đề 4.2 mục 3- [2]: A bé trong M thì ϕ Α( ) bé trongϕ Μ( ) ). Suy ra U là bé trong E(U), mâu thuẫn.

Từ e Rβ là địa phơng, nếu p Uβ( ) ≠e Rβ , p Uβ( ) là một môđun con bé của e Rβ . Từ đó nó không là môđun con không bé của E(e R)β . ⇒p Uβ( ) =e Rβ ⇒

(R⊕R)R = ⊕U ker p( )β , (do tính chất địa phơng có một môđun con tối đại bé trong nó) ⇒ (R⊕R)R là (1- C1).

Mặt khác, do (R⊕R)R có chiều Uniform hữu hạn nên (R⊕R)R là (CS) (theo Hệ quả 7.8-[3]).

cùng với viêc mỗi idean phải của R trong J(Ri) là môđun bé. Khi đó, Ri không nhúng đợc trong J(Ri) . Từ đó ta có R là tựa nội xạ phải theo hệ quả 1.2. [2].

W

kết luận

Luận văn đã đạt đợc một số kết quả chính nh sau:

• Nghiên cứu về môđun A- nội xạ, môđun nội xạ và trình bày chứng minh một số tính chất của nó.

• Nghiên cứu về môđun tựa nội xạ và chuyển đợc một số tính chất từ môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ sang vành tựa nội xạ.

Trong quá trình hoàn thành luận văn, chúng tôi nhận thấy Vành tựa nội xạ là một lớp vành rất đẹp và còn rất nhiều tính chất khác nữa. Chúng tôi cho rằng, lớp vành này có thể dùng để đặc trng cho các lớp vành nh nửa đơn, nửa hoàn chỉnh, chính quy, QF,… Đây là vấn đề sẽ hấp dẫn chúng tôi nghiên cứu trong thời gian tới.

Một lần nữa tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoa Đào tạo sau đại học và tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tác giả để luận văn hoàn thành đúng kế hoạch.

Luận văn chắc chắn còn có nhiều vấn đề tồn tại. Kính mong đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn.

Tài liệu tham khảo

[1]. Anderson.F.W and Fuller.K.R, (1994), Rings and Categories of Modules,

Graduate Texs in Math. N013, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin.

[2]. Hai Quang Dinh and Dinh Van Huynh, Some results on Self-injective

Rings and ∑−CS Rings, Canm.Algebra. (to appear).

[3]. Dung.N.V, Huynh.D.V, Smith.P.F and Wisbauer.R, (1994), Extending

Modules, Pitman, London.

[4]. C.Faith, (1976), Algebra II: Ring theory, Springer Verlag.

[5]. Faith.C and Huynh.D.V,(2002), When self-injective rings are QF:

A report on a problem, Jounal of Algebra and Its Applications, Vol 1, No 1.

[6].Huynh. D.V, (2002), Some remarks on CS modules and SI rings, Bull. Austral. Math. Soc. Vol 65 .

[7].Huynh.D.V and Tung.N.S, (1996), A note on quasi-Frobenius rings, Proc Amer Math. Soc. 124N02, 371-375.

[8]. Mohamed S.H and Muller B.J, (1990), Continuous and Discrete Modules,

the University Press.

[10]. R.Wisbauer, (1991), Foundations of Module and Ring theory, Gordon