PHÂN TÍCH KỲ DỊ ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG
2.1 Mở đầu
Phân tích kỳ dị động học là một trong những việc cần làm trong chuỗi chu trình thiết kế các dạng robot song song. Vấn đề động học của robot song song bao gồm hai bài toán động học thuận và động học ngược. Động học thuận là bài toán xác định trạng thái động học của khâu thao tác khi biết quy luật chuyển động của các khâu dẫn động. Động học ngược là bài toán xác định trạng thái động học các khớp chủ động khi biết quy luật chuyển động khâu thao tác. Khi tiến vào vùng kì dị, bộ điều khiển robot khơng thể giải chính xác được các bài tốn động học thuận và ngược, điều này dẫn tới giảm khả năng kiểm soát hoạt động của robot. Về mặt vật lý, hiện tượng kỳ dị làm robot phát động lực/mô men nhưng khơng tạo ra được chuyển động [13][78], nó có thể gây ra biến dạng hoặc phá hủy cấu trúc khi lực/mô men tăng cục bộ [13]. Vì vậy quỹ tích các điểm kỳ dị trong không gian làm việc của robot song song có vai trị quan trọng trong lập trình quỹ đạo và điều khiển chuyển động. Chúng ta cần biết các quỹ tích này để thiết kế quỹ đạo làm việc tránh hoặc tìm cách vượt qua nó để chuyển động của robot được trơn tru [25][26]. Phần sau đây sẽ trình bày về các bài tốn động học và phân tích kỳ dị robot song song.
2.2 Hệ phương trình liên kết của robot song song
Để tính tốn động học cho robot song song mỗi chân của robot song song sẽ được coi như là một tay máy dạng chuỗi (Hình 2.1).
Bàn máy động Chân Chân 1 O0 y0 x0 Giá cố định
Các phương trình ràng buộc trong bài tốn động học robot song song nhận được có dạng sau:
fi (q ai , bi ) l i (x) (2.1)
Trong đó: li , fi mi là các véc tơ hàm, x m là véc tơ chứa vị trí và hướng của khâu tác động cuối (bàn máy động), qai n
i là véc tơ chứa các biến khớp chủ động và bi f
in
i là véc tơ chứa các biến phụ (các biến khớp bị động, khơng có dẫn
động) của chân thứ ith , fi là số bậc tự do của chân thứ i và ni là số khớp chủ động, ( fi
mi ). Trong phương trình liên kết này các biến được phân chia thành ba tập: tập
chứa biến khớp chủ động, tập chứa biến khớp bị động và tập chứa vị trí và hướng của khâu tác động cuối. Cách phân chia này nhằm phục vụ việc diễn đạt các bài toán động học thuận/ngược ở các phần tiếp theo.
Với robot
q [θ ,θ
2
1 3
x = [ xP , y P , ]T . Vì robot song song phẳng 3RRR có ba chân giữ vai trị ngang nhau nên chúng ta có thể xây dựng các phương trình liên kết như sau:
xOi l1, i cos i l 2,i
y Oi l1, i sin i l 2,i sin( i i ) y OP b sin(i )
với i 1, 2, 3 .
Các phương trình liên kết này được sử dụng cho phân tích động học thuận/ngược và tính tốn động lực học ở các phần tiếp theo.
2.3 Phân tích động học thuận robot song song
Bài tốn phân tích động học thuận của robot song song cho trước biến khớp chủ động q ai ,q ai ,qai cần xác định chuyển động của bàn máy động x,x , x . Với robot song song, các phương trình liên kết có thể biến đổi về dạng:
f(q,x) 0 ,x , f m,q n (2.3)
Trong đó, q n là véc tơ chứa các biến khớp. x m là véc tơ thể hiện vị trí và hướng của khâu tác động cuối trong không gian thao tác, f m là hệ phương trình liên kết của robot ( m 6 ).
x [x1 x2 ... xm ]T , q [q1 q2 ... qn ]T
Bài toán động học thuận với robot song song phức tạp hơn so với robot chuỗi. Q trình giải bài tốn thuận này có thể dựa trên đặc điểm hình học của robot hoặc sử dụng các thuật toán số.
2.4 Phân tích động học ngược robot song song
Bài tốn động học ngược robot đóng vai trị quan trọng trong việc lập trình quỹ đạo và điều khiển chuyển động của robot theo chương trình. Bài tốn này địi hỏi cần phải giải với độ chính xác và ổn định cao nhất có thể. Bài toán động học thuận tay máy chuỗi đã được giải quyết một cách hiệu quả bằng một số phương pháp như phép biến đổi tọa độ thuần nhất Denavit-Hartenberg và cho kết quả là các biểu thức giải tích [60]–[62][73][80][81]. Trái lại, hiện chưa có một phương pháp giải tích tổng qt để giải quyết bài toán động học ngược cho robot song song. Phương pháp này chỉ có thể nhận được đối với một số trường hợp đơn giản. Trong các trường hợp khác, các phương pháp số là một cơng cụ hữu ích. Thơng thường, phương pháp ma trận Jacobi thường được sử dụng vì nó cho các mối quan hệ giữa vận tốc của khâu tác động cuối và véc tơ vận tốc suy rộng [31][76][77]. Các tọa độ suy rộng có thể thu được bằng cách tích phân các vận tốc suy rộng. Phương pháp này có ưu điểm là đơn giản vì chỉ phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
Bài tốn động học ngược cho trước chuyển động của bàn máy động x,x , x cần xác định ra quy luật chuyển động của các biến khớp chủ động q ai , q ai ,qai . Quá trình này thường được thực hiện bằng biện pháp giải hệ phương trình (2.3) bằng các phương pháp giải tích hoặc phương pháp số.
2.4.1 Giải bài tốn động học ngược bằng phương pháp ma trận Jacobi
Đạo hàm hai vế của (2.3) theo thời gian, ta nhận được
f
x f
x q
trong đó các ma trận Jacobi như sau
J x (q,x) f1 xm ... , fm x m J q (q,x) f q f1 f1 q 1 q 2 ... ... f m f m qq 12 ... ... ... f1 q n ... . fm n
q J q 1 (q,x )J x (q,x )x 28
Gia tốc khớp q được xác định bằng cách đạo hàm (2.5) theo thời gian:
q = J q 1J x x J q 1J x x J q 1J x x
Từ các phương trình (2.5) và (2.6), với giá trị đã cho x (t ), x (t ), x(t ) và nếu có được đại lượng q tại thời điểm t ta sẽ xác định được véc tơ vận tốc và gia tốc suy rộng
q(t ) và q(t ) .
Sơ đồ giải bài toán động học ngược robot chuỗi được thể hiện như trên Hình
2.2. Theo sơ đồ này ta cần phải xác định giá trị q(0) ứng với vị trí ban đầu của khâu
thao tác x(0) .
PT (2.6) Tìm q0
Tính
Hình 2.2: Sơ đồ giải bài toán động học ngược cấp độ vận tốc
Sở đồ giải bài toán động học ngược này là cơ sở cho việc nghiên cứu tính tốn về robot song song trong các phần sau của luận án.
2.4.1.1 Vấn đề sai số sau khi tích phân
Các giá trị q tính theo (2.5) chỉ thỏa mãn (2.4), sau khi tích phân theo thời gian có thể có những sai số tính tốn, tích lũy nên giá trị q thu được có thể sẽ khơng cịn thỏa mãn (2.1). Để khắc phục nhược điểm này, ta xét hàm sai số
e f(q,x)
trong trường hợp lý tưởng e 0. Đao hàm theo thời gian ta thu được.
e J x (q,x )x J q (q,x )q
Đưa vào hệ thức
e Ke
với K là ma trận xác định dương [84]. Ngoài ra, trong nghiên cứu này K còn được
chọn là ma trận đường chéo, kii i 0. Nghiệm của phương trình vi phân (2.8) có dạng
ei (t ) ei (0) exp( it)
Như thế, nếu ban đầu ei (0) 0 ei (t ) 0 , còn nếu ei (0) 0 ei (t ) 0 khi thời gian
t đủ lớn.
Kết hợp (2.7) và (2.8) ta được
e J x (q,x )x J q (q,x )q Ke
Sử dụng ma trận nghịch đảo Jq 1 ta giải được véc tơ vận tốc suy rộng
q J q 1 (q,x ) J x (q,x )x Ke J q 1 (q,x ) J x (q,x )x K f(q,x)
Để tính véc tơ gia tốc suy rộng, ta chỉ việc đạo hàm biểu thức (2.10) theo thời gian. Theo cách này, ta sẽ thay phương trình (2.5) bằng phương trình (2.10) trong sơ đồ khối Hình 2.2.
2.4.1.2 Điều kiện đầu trong bài toán động học ngược của robot song song
Để nhận được q(t ) khi tích phân hàm q , ta cần phải có giá trị đầu ứng với vị trí ban đầu của khâu tác động cuối q 0 q( t0 ) . Phương pháp lặp Newton-Raphson có thể được sử dụng để tìm giá trị ban đầu này. Tuy nhiên, khi áp dụng phương pháp lặp này việc chọn giá trị xấp xỉ ban đầu là rất quan trọng. Nếu lựa chọn không tốt nghiệm sẽ hội tụ về một giá trị khơng mong muốn và có thể nằm ra ngoài giới hạn khớp. Trong luận án, thuật giải di truyền được sử dụng để giải quyết vấn đề này. Bài tốn tối ưu được đặt ra như sau:
Tìm biến q0 thỏa mãn phương trình
và hàm bình phương khoảng cách sau đây đạt giá trị nhỏ nhất
S (q0 )
với ci 0 là các trọng số, qiM , qim
q
1
( q q ) là giá trị giữa của các biến khớp.
2
i iM im
Để giải bài toán trên bằng thuật giải di truyền, ta đưa bài tốn về dạng, tìm giá trị cực tiểu của hàm L(q0 ) với các trọng số dương 1 , 2 .
L (q
0
Thuật toán di truyền (GA - Genetic algorithm) là một thuật toán tối ưu hiệu quả đã được phát minh bởi John Holland trong những năm 1960 và được ơng cùng với các học trị và đồng nghiệp tại Đại học Michigan phát triển ở giai đoạn sau đó để giải quyết các bài tốn tối ưu. Thuật toán di truyền thuộc lớp các thuật tốn tiến hóa,
trong đó các nghiệm của bài tốn tối ưu được tìm bằng cách sử dụng các kỹ thuật lấy cảm hứng từ sự tiến hóa tự nhiên, chẳng hạn như sinh sản, di truyền, đột biến, và chọn lọc [85]–[88]. Phương pháp này có khả năng giải quyết được một lớp lớn các bài toán tối ưu. Khi áp dụng thuật giải di truyền vào xác định giá trị tối ưu của hàm f (
x) với biến x X , các bước sau được thực hiện:
1. Tạo ngẫu nhiên một quần thể với 4n cá thể thuộc tập X , x i X,
i1, 2,..., 4n .
2. Đánh giá các cá thể thơng qua hàm giá trị của nó, f (xi ) .
3. Thực hiện quá trình chọn lọc, chọn ra một nửa số cá thể tốt nhất;
4. Thực hiện quá trình sinh sản, ta cho mỗi cặp bố-mẹ sinh ra hai con, trong quá trình sinh sản này thế hệ con được kế thừa từ các gen từ bố mẹ, đồng thời sự đột biến sẽ xảy ra ở đây với một xác suất cho trước. 5. Sau quá trình sinh sản ta nhận được một quần thể mới với 4n .
6. Lặp lại bước (2) đến khi nhận được giá trị tối ưu chấp nhận được. Các bước trên được thể hiện dưới dạng sơ đồ khối như Hình 2.3
BẮT ĐẦU
Đặt số thế hệ lớn nhất;
Khởi tạo ngẫu nhiên một quần thể; k = 1.
Đánh giá hàm mục tiêu đối với mỗi có thể
Kiểm tra điều kiện dừng? Chọn lọc / Sinh sản Di truyền / Biến dị (Thế hệ mới) k = k + 1 es Đưa ra kết quả: cá thể tốt nhất và giá trị tốt nhất của hàm. KẾT THÚC
Hình 2.3: Sơ đồ khối thuật tốn GA
Trường hợp nếu nghiệm tìm được của bài tốn trên chưa đạt độ chính xác cần thiết, phương pháp lặp Newton-Raphson được sử dụng để thu được nghiệm chính xác hơn [5][89][90]. Q trình lặp giải hệ phương trình (2.11) được thực hiện như sau:
Bước 1: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính
J q (q 0 , x 0 ) q 0 f(q 0 , x0 )
cho ta
q 0 J q 1 (q 0 , x 0 )f(q 0 , x0 ) . Bước 2: Lấy
q 0 : q 0 q0 .
Bước 3: Kiểm tra điều kiện dừng
Nếu f(q 0 , x0 ) , với là sai số cho phép, thì chuyển sang bước 4, trái lại lấy q 0 :
q0 và chuyển về bước 1.
Bước 4: Lấy nghiệm chính xác hơn q 0 : q0 .
Trên đây là phương pháp giải bài toán động học ngược cho robot song song bằng phương pháp số. Đối với robot song song phẳng 3RRR, có thể sử dụng các đặc trưng hình học của robot để xây dựng lời giải bằng giải tích cho bài tốn này.
2.4.2 Giải bài toán động học ngược cho robot song song 3RRR bằng phương pháp giải tích
Bài tốn động học robot đóng vai trị quan trọng trong việc lập trình quỹ đạo và điều khiển chuyển động của robot theo chương trình. Bài tốn này địi hỏi cần được giải với độ chính xác và ổn định cao nhất có thể, đây cũng chính là mục tiêu hướng tới của rất nhiều cơng trình nghiên cứu [91]–[93]. Thơng thường với các robot song song, các bài toán động học được giải dựa trên việc giải trực tiếp hệ phương trình liên kết [23] [87]– [89]. Tuy nhiên, với robot song song phẳng ba bậc tự do 3RRR bài tốn động học ngược có thể được giải ngắn gọn dựa trên quy trình chung như sau:
Khảo sát robot song song 3RRR (Hình 2.5) có các đặc điểm sau:
- Gốc ba chân của robot nằm trên ba đỉnh của một tam giác đều có chiều dài cạnh L0 .
- Bàn máy động có dạng tam giác đều, chiều dài cạnh . - Gốc tọa độ toàn cục của robot đặt tại gốc của chân thứ nhất.
- Các chân của robot có hình dáng và kích thước giống nhau với chiều dài các khâu lần lượt là l1 , l2 .
Bước 1: Tính tốn tọa độ của gốc và đỉnh của từng chân robot. Bước 2: Tính tốn góc nghiêng và độ dài của đường nối gốc và đỉnh
mỗi chân.
Bước 3: Tính tốn các biến phụ.
Bước 4: Đưa ra công thức xác định tọa độ suy rộng.
Với các giả thiết trên, ta có thể tính tốn được các thơng số cho nhóm robot bao gồm: tọa độ gốc và đỉnh của mỗi chân. Đây cũng là thông tin chung để thực hiện tính tốn số và mơ phỏng số cho các loại robot song song phẳng ba bậc tự do trong các phần sau.
Tọa độ gốc của từng chân robot:
xO1 0 , yO1 0 , xO2 L0 , yO 2 0 , xO3 L0 / 2 , yO3 3 L0 / 2
Tọa độ đỉnh của các chân được tính tốn dựa theo tọa độ tâm ( xP , yP ) và góc nghiêng của bàn máy động (Hình 2.4):
x Bi x P l Pi cos( i ); y Bi y P l Pi sin( i ) ,i = 1,2,3 (2.18) Robot song song phẳng 3RRR có biến khớp dẫn động q [ 1 , 2 , 3 ]T , các biến khớp phụ trợ b [ 1 , 2 , 3 ]T (Hình 2.4). Với các thông số tọa gốc và đỉnh của mỗi chân đã biết theo cơng thức (2.17), (2.18), góc nghiêng và khoảng cách giữa đỉnh và gốc của chân robot được xác định dựa theo công thức sau:
ˆ
xOBi atan2( x Bi xOi , y Bi yOi ) , lOBi
Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ta có:
ˆ Nếu Nếu (2.19) (2.20) (2.21)
Như thế, ứng với một vị trí của điểm Bi ta có hai nghiệm ứng với hai cấu hình của chân robot. Với robot phẳng ba chân ta có tổng số 2 3 8 cấu hình ứng với 8 bộ
nghiệm của bài tốn động học ngược. Vì vậy, ứng với một vị trí của bàn máy động xác định nằm trong không gian làm việc, ta có tám cấu hình khác nhau của robot.
Các cấu hình của robot được ký hiệu bằng chỉ số j 1 , 2 , 3 , trong đó
j 1,..,8 , i 1 tương ứng với vị trí của chân robot ở bên trái hoặc bên phải so với
đường nối gốc và đỉnh của chân. Hướng quan sát từ đỉnh của trục zi (Hình 2.5). Mỗi cấu hình của robot có quỹ đạo kỳ dị động học thuận khác nhau. Các công thức giải động học ngược (2.19), (2.20) và (2.21) là cơ sở cho việc phân tích kỳ dị của robot 3RRR ở phần sau.
Oi
x
Hình 2.4: Sơ đồ một chân tổng quát
của robot 3RRR
O1
Hình 2.5: Sơ đồ các cấu hình c ủa robot 3RRR. Cấu hình thể hiện 8 1, 1, 1
2.4.3 Ước lượng động học cho robot song song
Trong luật điều khiển robot song song được trình bày ở các chương sau yêu cầu không chỉ các thông tin bao gồm không chỉ biến khớp chủ động q a , qa mà nó cịn
yêu cầu cả các biến phụ y , y , với q [ q1 , q2 ,..., qm ]T [q a T , yT ] . Để có các biến này cho phản hồi, địi hỏi phải trang bị thêm cho robot nhiều cảm biến khác nữa ngoài các encoder đo biến khớp chủ động. Để tránh sự tốn kém này, trong luận án đề xuất phương án ước lượng các biến cần đo này từ các phương trình liên kết động học. Phần này trình bày việc xây dựng bộ ước lượng đáp ứng yêu cầu trên.
Các phương trình liên kết động học ở mức vị trí được viết lại như sau
f (q ) f(q a , y) 0 .
Từ đây nhận được các phương trình liên kết ở mức vận tốc
Xét trường hợp khơng kỳ dị, từ phương trình trên ta giải được
y J y 1 (q )J qa (q )q aJ y 1 (q )J qa (q )qa (2.24) Tích phân phương trình (2.24) với điều kiện đầu y(0) cho ta giá trị của đại
lượng. Các giá trị y(t ) nhận được sau khi tích phân phương trình (2.24) có thể sẽ
khơng cịn thỏa mãn phương trình liên kết (2.22) do những sai số tích lũy khi tính tốn. Do sai số của phương trình liên kết nên hồn tồn có thể dẫn đến sự trơi dạt vị