Trong một nút lá hoặc nút trong có thể có 2-3-4 khóa đại diện cho mục dữ liệu. Các khóa trong mỗi nút được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tất nhiên các nút lá không có con.
Còn với các nút không phải là lá, trong từng trường hợp nó có số nút con như sau:
Một nút chứa một khóa luôn luôn có đúng 2 nút con. Gọi là 2-nút. Một nút chứa hai khóa luôn luôn có đúng 3 nút con. Gọi là 3-nút. Một nút chứa ba mục khóa luôn luôn có đúng 4 nút con. Gọi là 4-nút. Như vậy, một nút không phải là lá phải luôn luôn có số nút con nhiều hơn 1, so với số khóa của nó. Nói cách khác, đối với mọi nút trong có số con là l và số khóa là d, thì: l = d+ 1.
Các khóa nằm trong các nút khác nhau
Một đặc tính quan trọng của cấu trúc cây tìm kiếm nhị phân là mối liên hệ giữa các liên kết với giá trị khoá của cây con bên trái, có khoá nhỏ hơn khoá của nút đang xét và tất cả nút của cây con bên phải, có khoá lớn hơn hoặc bằng khoá của nút đang xét.
Trong cây 2-3-4 thì một cấu trúc tương tự như trên, thể hiện trong các tính chất sau:
Tất cả các nút con của cây con thứ 1 của nút cha có các khoá nhỏ hơn khoá thứ nhất của nút cha.
Tất cả các nút con của cây con thứ 2 của nút cha có các khoá lớn hơn khoá thứ nhất và nhỏ hơn khóa thứ hai của nút cha (nếu nút cha có khóa thứ
hai).
Tất cả các nút con của cây con thứ 3 (nếu có) của nút cha có các khoá lớn hơn khoá thứ hai và nhỏ hơn khóa thứ ba của nút cha (nếu nút cha khóa có khóa thứ ba).
Tất cả các nút con của cây con thứ 4 (nếu có) của nút cha có các khoá lớn hơn khoá thứ ba của nút cha.
Trong cây 2-3-4, tất cả các lá đều nằm trên cùng một mức. Các nút ở
mức trên thường không đầy đủ, nghĩa là chúng có thể chứa chỉ 1 hoặc 2 khóa thay vì 3 khóa.
Lưu ý rằng: cây 2-3-4 là cây cân bằng. Nó vẫn giữ được sự cân bằng ngay ca khi ta chèn các phần tử theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
Khóa tiền nhiệm và khóa kế vị
Cũng như trong cây tìm kiếm nhị phân, trong cây 2-3-4 khóa tiền nhiệm của một khóa k là khóa lớn nhất trong các khóa nhỏ hơn k, khóa kế vị là khóa nhỏ nhất trong các khóa lớn hơn k. Theo cấu trúc của cây 2-3-4, để tìm khóa tiền nhiệm và khóa kế vị của khóa k trước hết tìm nút u chứa khóa k.
Nếu u là nút trong, giả sử k là khóa thứ m của u, khi đó khóa tiền nhiệm là khóa cuối cùng của nút cực phải trong cây thứ m của nút u, còn khóa kế vị
là khóa đầu tiên trong nút cực trái của cây con thứ m+1 của nút u. Nếu khóa k nằm trong nút lá u, việc tìm khóa tiền nhiệm và kế vị có khó khăn hơn, tuy nhiên, trong các ứng dụng của cây 2-3-4 không cần đến trường hợp này.
Tìm một khóa trên cây 2-3-4
Để tìm một khóa k trên cây 2-3-4, trước hết ta tìm nó trong dãy khóa của nút gốc. Tại mỗi nút, nếu tìm thấy một khóa của nút bằng k thì trả về true và dừng quá trình tìm kiếm. Nếu không tìm thấy và nút đó là lá thì trả về false, còn nếu nút đó là nút trong và k nằm giữa khóa thứ m và m+1 thì tiếp tục tìm kiếm trong con thứ k của nút đó.
Chèn một khóa mới vào cây 2-3-4
Để chèn một khóa vào một cây 2-3-4 , trước hết tìm giá trịđó trong cây, nếu không thấy thì chèn khóa đó vào nút lá gặp tại cuối quá trình tìm kiếm. Nếu nút này có ít hơn 3 khóa thì việc thêm khóa đó vào nút đơn giản là việc sắp xếp nó cùng với các khóa đã có theo thứ tự tăng. Nếu nút là muốn chèn thêm là 4-nút thì trước khi chèn ta tách nút đó ra. Điều phức tạp xảy ra khi nút cha của nút định tách cũng là 4-nút. Khi đó trước khi tách nút này phải tách nút cha của nó.
Xóa một khóa khỏi cây 2-3-4
Nếu phép chèn một khóa vào một nút phải giải quyết trường hợp tràn với nút đầy đẫn tới thao tác tách, nghĩa là thêm một nút, thì phép xóa phải giải quyết trường hợp cạn đối với 2-nút, khi đó việc giải phóng khóa đó dẫn tới một nút rỗng, nghĩa là phải giải phóng nút này.
Phép xóa một khóa k khỏi cây 2-3-4 đòi hỏi những phân tích phức tạp hơn. Trước hết tìm nút chứa nó. Các trường hợp sau có thể xảy ra:
Trường hợp 1
Khóa k nằm trong nút lá u và u có nhiều hơn một khóa: giải phóng khóa k khỏi u .
Trường hợp 2
Khóa k nằm trong nút lá u và u chỉ có một khóa và tồn tại nút anh em v của u có nhiều hơn một khóa thì bằng phép dịch chuyển dần có thể dịch chuyển một khóa của v đến u khiến u trở thành 3-nút và quay về trường hợp 1.
Trường hợp 3
Khóa k nằm trong nút lá u và u chỉ có một khóa và tất cả các nút anh em của u chỉ có một khóa thì bằng phép gộp u với nút anh em kề nó sẽ khiến u trở (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thành 3-nút và quay về trường hợp 1.
Trường hợp 4
Khóa k nằm trong nút trong u: Khi đó tìm khóa tiền nhiệm hoặc khóa kế
vị của k (khóa này luôn nằm trong nút lá). Thay k bởi khóa đó, và giải phóng khóa đó tkhỏi nút chứa nó (quay về trường hợp 1). Tuy việc dùng khóa tiền nhiệm hay kế vị đều được, nhưng nên chọn khóa nào trong chúng nằm trong nút có hai khóa trở lên, nếu cả hai đều nằm trong các 2-nút thì chọn khóa nào cũng được.