Chương 3 Không gian véctơ
4 Trị riêng và véctơ riêng
4.3 Chéo hoá ma trận
Đặt bài tốn:
Bài tốn 1: Cho V là một khơng gian véctơ hữu hạn chiều, T : V → V là một tốn tử tuyến tính. Ta đã biết rằng ma trận củaT phụ thuộc vào cơ sở đã chọn trongV. Hỏi
có tồn tại một cơ sở trongV trongVsao cho ma trận củaTđối với cơ sở đó là ma trận chéo.
Bài tốn 2: (Dạng ma trận). ChoA là một ma trận vng. Hỏi có tồn tại hay khơng một ma trậnPkhả đảo sao cho P−1APlà một ma trận chéo.
Định nghĩa 4.25 (Ma trận chéo hố được). Cho ma trận vngA. Nếu tồn tại ma trận
khả đảo P sao cho P−1APlà một ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hố được và ma trậnP làm chéo hoá ma trậnA.
Định lý 4.26. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để Achéo hố được là nó cónvéctơ riêng độc lập tuyến tính.
Định lý 4.27 (Điều kiện cần và đủ cho sự chéo hoá). Tự đồng cấu f của khơng gian véctơnchiều V chéo hố được nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i) Đa thức đặc trưng của f có đủ nghiệm trongR:
Pf(X) = (−1)n(X−λ1)s1(X−λ2)s2. . .(X−λm)sm
(ii) rank(f −λiidV) = n−si (vớii = 1, 2, . . . ,m), ở đây si là bội của λi xem như nghiệm của đa thức đặc trưng.
Quy trình chéo hố một ma trận
1. Tìmnvéctơ riêng độc lập của A:
p1,p2, . . . ,pn
2. Lập ma trậnP có p1,p2, . . . ,pn là các cột.
3. Khi đó ma trận Psẽ làm chéo hoá ma trận A, hơn nữa P−1AP=diag[λ1,λ2, . . . ,λn]
trong đóλi(i=1, 2, . . . ,n)là các trị riêng ứng với véctơ riêng pi.
Bổ đề 4.29. Nếu A,B là các ma trận đồng dạng thìrank(A) =rank(B).
Chứng minh. Thật vậy, giả sử B=P−1APvới Plà một ma trận khả nghịch. Khi đó,
rank(B) = rank(P−1AP) ≤rank(A).
Mặt khác, A =PBP−1 nên
rank(A) = rank(PBP−1) ≤rankB.
Do đó,rank(A) =rank(B).
Ví dụ 4.2 (Olympic Tốn học Sinh viên Toàn quốc 2018 - Bảng A). Cho ma trận
A= 2 4 −3 4 6 −5 8 12 −10 .
Tìm số nguyên dươngN nhỏ nhất sao chorank(Ak) = rank(Ak+1)với mọi k≥ N.
[Lời giải] Chéo hóa ma trận Ata được
A∼B = 0 1 0 0 0 0 0 0 −2 . Do đó, Ak ∼ Bk = 0 0 0 0 0 0 0 0 (−2)k
Ví dụ 4.3 (Olympic Tốn học Sinh viên Tồn quốc 2018 - Bảng A). a) Giả sửX,A
là các ma trận vuông với hệ số thực thỏa mãnX2 =A. Chứng minh rằng AX =XA.
b) Tìm số các ma trận vngX với hệ số thực thỏa mãnX2 = A= 1 0 1 0 4 2 0 0 16 . [Lời giải] a) Ta có XA=X3= AX.
b) Ta códet(A−λI) = −(λ−1)(λ−4)(λ−16).Như vậy Acó ba trị riêng phân biệt là
λ1 =1,λ2 =4,λ3 =16nên có thể chéo hóa Abằng ma trận Pkhả nghịch,
A =P−1DP, ở đó D= 1 0 0 0 4 0 0 0 16 ⇒ PX2P−1 =PAP−1 =D.
ĐặtY= PXP−1thì phương trình ban đầu trở thành
Y2 =D. (4.5)
Theo câu a) ta có DY = YD ⇒ Y phải là một ma trận đường chéo. Gọi y1,y2,y3 lần lượt là các hệ số trên đường chéo củaY. Ta có
(4.5) ⇔y21 =1,y22 =4,y23=16⇔(y1,y2,y3) = (±1,±2,±4).
Phương trình (4.5) có đúng 8 nghiệm nên phương trình ban đầu cũng có đúng 8
nghiệm.
Bài tập 4.14. [Cuối kì, K61] Cho ma trận vng Athỏa mãn A2 = I. Chứng minh rằng Achéo hóa được.
Ma trận có tính chất A2 =I được gọi là ma trận đối hợp. Xem thêm về ma trận đối hợp và chứng minh của Bài tập 4.14 ở Phụ lục A3.
Bài tập 4.15. Cho ma trận vuông A thỏa mãn A2 = A. Chứng minh rằng A chéo hóa được.
Ma trận có tính chấtA2 = Ađược gọi là ma trận lũy đẳng. Xem thêm về ma trận lũy đẳng và chứng minh của Bài tập 4.15 ở Phụ lục A2.