C t [ Z n >
không gian phức
Nội dung của mục này trình bày kết quả mở rộng của định lý Forelli đối VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC (XEM [SJ).
Đ ị n h l ý 2 . 9 . Giả sử M là không gian phức và Bn ỉà hình cầu đơn vị trong c n . Giả sử f ■. Bn —> M là ánh xạ sao cho f chỉnh hình trên phần
giao của B n với mọi đường thẳng phức l qua gốc, và f là ỉớp c°° trong một lăn cận của gốc. Khi đó, tồn tại một tập con đa cực của pn~1(C ) sao cho f chỉnh hình trong một ỉân cận của Mn \ | J la.
a€S C H Ứ N G M I N H . Theo Định lý
2/7 tồn tại 0 < r0 < 1 sao cho / chỉnh hình trong B" . Đặt B" = Bn\ {zn = 0}. Xét ánh xạ chỉnh hình
< FN : B™ —» Cn CHO BỞI ( PN( ZU . . . , ZN) = ( Z X / Z N , ZN_XỊ ZN, ZN) . Đặt = T. Thế thì < FN là song ánh chỉnh hỉnh từ B" lên T. Đặt g = f о ( f i -1 : т —» M và tập hợp TR,h = { t = ự , zn) G T : ||í'|| < R và 0 < \ zn\2 < h / ( 1 + R2) } trong đ ó Â > 0 v à 0 < / i < l . Ta thấy rằng { TR /г} là một họ các tập mở tăng khi H tăng và
T = и{Тдд : R > 0} = и{Тдд : R E ọ;}. и{Тдд : R E ọ;}.
Vì 4 > -X( TRÌ R Ị ) С В" , nên chúng ta suy ra G là chỉnh hình trong
TR r2 = -So-1 X A*(0, .
r
° _ ) với moi R > 0.
R’r° R v Vl + R2
Với mỗi A > 0, chúng ta kí hiệu A(0, A ) = { Z G с : \ Z \ < Qí}. Đặt S R
= { W ' € Вд-1 : G không thác triển chỉnh hình lên bất kì một lân cận của
К X Д(0,—L=)) n
Dễ thấy S R là tập đóng. Bây giờ, chúng ta chứng minh S R là tập đa cực. Thật vậy, với mỗi W ' G Вд-1, ta xét ánh xạ
9w'(w n ) = g{w',w n ) = f(w n w',w n )
Ta có, tồn tại một tập đa cực đóng S 'R с Вд-1 sao cho G thác triển tới một ánh xạ chỉnh hình
g : (ВТ1 \ S ’R) X Д(0, ^ = ) —► м .
Rõ ràng, S R с S 'R, và do đó S R là tập đa cực.
Đặt SR = SR X Д(0, ) và S = ỊJ SR. Vì SR là tập đa cực VI + R2 Re q; nên S cũng là tập con đa cực của T, do đó
S là tập con đa cực của T. Lấy bất kì điểm г = ( Z1, ZN) £ T \ S . Do T = И TR Í nên tồn tại
Re Q ;
R ẽ sao cho г € TRỊ . Mặt khác, theo định nghĩa của SR và SR, chúng ta có Z ' Ệ S R . Vì vậy G thác triển chỉnh hình trên lân cận của [ Z ' X A(0, =)) ПТ. Điều này có nghĩa là G chỉnh hình trên lân cận mở của Z . Cũng từ điều này chúng ta suy ra G chỉnh hình trên lân cận mở của T \ S . Xét ánh xạ P : CN —» Cn_1 cho bởi ( Z I , . . . , ZN) I—» ( Z I, . . . , ZN- I ) và đặt T * = { Z : Z £ T và P ( Z) Ệ ỊJ (Siỉ}. Từ T * с T \ S chúng ta suy ra ÄeQ; G chỉnh hình trên một lân cận mở của T * . Do Bn = |J (Bn \ { Z J = 0})и B" nên / chỉnh hình trên một lân cận J=1
mở của Bn \ ỊJ LA Ì Ồ đó S là tập đa cực
trong Pn-1(C). □
Bây giờ, chúng tôi trình bày một số định nghĩa sau.
Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 6 . Không gian phức X được gọi là không gian có tính chất thác triển Hartogs (X có (HEP)) nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ miền Riemann r i trên một đa tạp Stein vào X đều thác triển chỉnh hình được lên bao chỉnh hình í ĩ của í ĩ .
B. Shiftman (xem [ỊSj) đã chứng minh rằng.
Đ ị n h l ý 2 . 1 0 . Không gian phức M có tính chất ( HEP) khi và chỉ khi mọi ánh xạ chỉnh hình H2(r) — > M đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình trên A 2 , ở đó
Ỉ Ỉ2 ( T) = {(21 ,22 ) € A2 S A O C H O \ Z I \ < R, H O Ặ C \ Z2\ > 1 — r}(0 < r < 1).
Lớp các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs là rất rộng. Vào năm
1971, B.Shiffman đã chỉ ra một lớp các không gian phức có tính chất (H E P), đó là lớp các đa tạp phức Hermit đầy với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương. Sau đó, năm 1972 H. Fujimoto đã chứng minh rằng mọi không gian phức taut đều có có tính chất (H E P). K.Adachi, M. Suzuki và M. Yoshida cũng đưa ra một lớp các không gian phức có tính chất (H E P) đó là lớp các nhóm Lie phức. Đặc biệt, s. Ivashkovich đã chứng minh rằng đa tạp Kãhler lồi chỉnh hình M có tính chất (H E P) khi và chỉ khi MỌI ÁNH xạ chỉnh HÌNH / : P^C) —> M ĐỀU là hằng. Kết quả này được mở rộng lên không gian Kăhler phức lồi chỉnh hình bởi Đỗ Đức Thái. Cụ thể ta có định lý sau.
Đ ị n h l ý 2 . 1 1 . Giả sử M là không gian Kẵhler phức lồi chình hình. Khi đó M có tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu M không chứa các đường cong hữu tỷ.
Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 7 . i) Giả sử M là không gian phức. Một tập con mở
A của M gọi ỉà có kiểu (H) nếu tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình từ A lên một tập con giải tích của không gian phức có tính chất (HEP).
ỉỉ) Không gian phức M gọi ỉà có kiểu Hartogs nếu với mỗi p G M tồn tại một lân cận Wp của p, rp > 0 và một lân cận Sp của p kiểu (H) sao cho, với mỗi f e Hoỉ(A , M ) , nếu / ( 0 ) e Wp thì / ( A r ) c Sp. ở đây Ar = A(0,r) = {|z| < r} và Ai = A.
Rõ ràng, mỗi không gian phức có tính chất (HEP) và mỗi không gian Hyperbolic đều là không gian phức kiểu Hartogs.
Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 8 . Không gian phức M được gọi là có tính chất Forelli (M có tính chất (FP)) nếu mỗi ánh xạ f : M n —> M sao cho f chỉnh hình trên giao của B n với
mỗi đường thẳng phức ỉ qua gốc, và f là lớp c°° trong một ỉân cận mở của điểm gốc, thì f ỉà chỉnh hình trong Bn.
Rõ ràng mặt phẳng phức c có tính chất Forelli và mỗi không gian kiểu Stein cũng có tính chất Forelli. Sau đây chúng tôi trình bày thêm một lớp không gian phức có tính chất Forelli.
Đ ị n h l ý 2 . 1 2 . Giả sử M là không gian phức kiểu Hartogs. Khi đó M có tính chất Forelli.
C H Ứ N G M I N H . Giả sử ánh xạ / : Bn— ¥ M sao cho / chỉnh hình trên giao của Bn
với mỗi đường thẳng phức L đi qua gốc tọa độ, và / là lớp C ° ° trong một lân cận mở của điểm gốc. Chúng cần chứng tỏ rằng / chỉnh
hình trong
BN. Do / liên tục tại gốc 0 nên theo Định lý 2/7 tồn tại 0 < r0 < 1 sao cho / chỉnh hình trong B” .
Đặt R * — sup{r e
Khi đó / chỉnh hình trên B"„. Giả sử R * < 1. Bước 1: Lấy P Q e ỠB?.. Với điểm /(p0)