Ta xét bài toán Cauchy tổng quát trong không gian Hilbert thực H như sau: u00(t) +Au(t) +Au0(t) = 0, t∈(0,∞), (2.1)
u(0) =u0, u0(0) =u1. (2.2) Trong đó A : D(A) ⊂ H → H là một toán tử tự liên hợp không âm trong (H,k.k) với miền xác định D(A)trù mật trong H. Trong trường hợp này, toán tử căn bậc hai A1/2 : V → H của A được hoàn toàn xác định trên miền xác định của nó: D A1/2 và A1/2 cũng trở thành một toán tử tự liên hợp không âm. Hơn nữa V cũng là không gian Hilbert với chuẩn: kukV := kuk2+A1/2u
21/2
. Miền ảnh của toán tử A1/2
được định nghĩa bởiR A1/2:=A1/2w:w∈V và năng lượng toàn phầnEu(t)của nghiệmu được định nghĩa là:
Eu(t) := 1 2 ku0(t)k2+A1/2u(t) 2 .
Sau đây, ta xét mô hình cụ thể của bài toán tổng quát (2.1)- (2.2): Cho Ω⊂Rn là một miền ngoài có biên trơn ∂Ω. Xét bài toán sau đây cho phương trình sóng tắt dần mạnh với hệ số biến thiên trong miền ngoài.
utt(t, x)− ∇.(b(x)∇u)− ∇.(b(x)∇ut) = 0, (t, x)∈(0,∞)×Ω, (2.3) u(0, x) = u0(x), ut(0, x) = u1(x), x∈Ω, (2.4) u|∂Ω = 0, t >0, (2.5) ở đâyb(x) = (bij(x)) (1≤i, j ≤N)là một ma trận đối xứng cấpN ×N với các phần tửbij ∈C(Ω).
Các lập luận cổ điển có thể được sử dụng nếu b(x) là hằng số và Ω = Rn hoặc nếu các hệ số b là biến thiên ổn định ở mức Laplace đủ nhanh ở vô cực để đảm bảo
sự tồn tại của biến đổi Fourier tổng quát. Ta suy ra sự suy giảm của nghiệm của bài toán (2.3)- (2.5) dưới giả thiết tương đối tổng quát của b.