OM OH
∆ : ∆ = = ⇒ = ⇒ =
c) Trong ∆OPM OPM(ã =90 ;0 OK ⊥OM)⇒OK OM. =OP2 =R2
Mặt khỏc: OI OH OK OM. . OI OH R. 2 OI R2 OH = ⇒ = ⇒ = Do O, H cố định => I cố định. d) Kẻ OH∩( )O ={ }L Ta cú AB OB OA OH OL LH R OL AB LO + ≥ ≥ = + = + ⇒ ≥ Vậy AB đạt GTNN nếu AB = LO khi A H B L≡ ; ≡ L H d O A B
Bài 3: Cho gúc xAy vuụng.Trờn tia Ax lấy một điểm B cố định, trờn tia Ay lấy
điểm C di động. Vẽ đường trũn (O) nội tiếp tam giỏc ABC,tiếp xỳc với cạnh ,BC, CA, AB lần lượt tại D,E,F. Hai đường thẳng cắt nhau tại G.
11 1 1 1 G x y O H A E C B D F
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đờng tròn tâm O, đờng kính
AI. Gọi E là trung điểm của AB và K là trung điểm của OI. Chứng minh rằng tứ giác AEKC nội tiếp đợc đờng tròn.
Bài 5 : Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với đường
a/ Chứng minh tứ giỏc EFCG là hỡnh bỡnh hành. b/ Chứng minh ã 0
90
BEG= .
c/ Cho BH = h; BACã =α . Tớnh diện tớch hỡnh chữ nhật ABCD theo h và α . Tớnh đường chộo AC theo h và α.
Giải:
a) Ta cú ∆ABE: ABD DBE AD DC BD ACã = ã (ằ = ằ ); ⊥ (vỡ ãADB=900, gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)⇒ ∆ABE cõn tại B.
b)Ta cú, trong tam giỏc∆AEBcú:
ã ã { } 0 0 ( 90 ), ( 90 ), BD AE ADB AC BE AEB BD AC K ⊥ = ⊥ = ∩ = ⇒K là trực tõm. ⇒BA⊥KE α G F E A D C B H
c) Ta cú: ∆AKFcõn tại A, vỡ AD vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao :
,
AD FK FD DK
⇒ ⊥ = (1)
+ Tương tự:∆ABEcõn tại B, vỡ BD vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao :
,
BD AE ED DA
⇒ ⊥ = (2)
Tử (1) và (2) => tứ giỏc AKEF là hỡnh thoi.
d) Ta cú gúc BAC =300 ⇒EBAã =600 ⇒ ∆ABE đều⇒K là trực tõm vừa là trọng tõm. ⇒AK = 2KC
Dạng bài tớnh số đo gúc, tớnh diện tớch.
Bài 1: : Cho ABCD(AB//CD) biết rằng đường trũn đường kớnh CD đi qua trung
điểm hai cạnh bờn AD, BC và tiếp xỳc với AB. Tỡm số đo cỏc gúc của hỡnh thang. Giải: Ta cú: AC = BD vỡ 1 1 2BD ON= = =R OM = 2AC Nờn ABCD là hỡnh thang cõn + Ta cú 1 1 2 2 OH =HE= R= OM OHM
⇒ ∆ cúOHMã =60 ;0 HMOã =300 ⇒MODã =300
+Tam giỏc MOD cõn tại O, nờn:
ã ã ã à à à à 0 0 0 0 0 1 (180 ) 2 75 180 75 115
ODM OMD DOM
D CB A B A = = − ⇒ = = ⇒ = = − = H D A E B M N
Bài 2: Cho ∆ABC cú diện tớch bằng 1, trờn đường trung tuyến BK lầy điểm M sao cho MK = 1/4 BK, đường thẳng AM cắt BC tại L. Tớnh diện tớch ∆ALC
NH H M L A C B K
Bài 6 (Đề thi HSG Toỏn 9 huyện Văn Bàn năm học 2010 - 2011)Cho nửa đường trũn (O) AB = 2R vẽ cỏc tiếp tuyến Ax; By(Ax; By và nửa đường trũn cựng nằm trờn nửa mặt phẳng bờ BA). Gọi M là điểm bất kỡ thuộc nửa đường trũn, tiếp tuyến tại M cắt Ax; By theo thứ tự tại C và. Kẻ AH (H nằm giữa O và C) sao choHAC 45ã = 0
a) Chứng minh rằng: AC.OH = OA.HC
b/ Tỡm vị trớ của điểm M để hỡnh thang ACDB cú chu vi nhỏ nhất.
c/ Tỡm vị trớ của điểm C; D để hỡnh thang ACDB cú chu vi bằng 14 biết AB = 4cm
Chứng minh:
a) Do AH là tia phõn giỏc gúc CAB(vỡ
ã 1ã CAH= CAB
2 ; BAC 90ã = 0(gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và bỏn kớnh) . . CA OA CA OH CH OA CH OH ⇒ = ⇒ = b) + Kẻ CE ⊥BD, khi đú ta cú: ∆CED vuụng tại E: ⇒CE CD≤ (1) + Mặt khỏc: tứ giỏc CEBA là hỡnh chữ nhật, ta cú: CE = AB (2) => Từ (1) và (2) suy ra CE đạt giỏ trị nhỏ nhất khi CE = AB, tức là: M ≡F Q P F M y x H O A B D C E
Tử đú ta cú chu vi CDBA đạt giỏ trị nhỏ nhất khi :M ≡F
c) + Ta cú chu vi tứ giỏc CABD là: PABDC = AB BD DC CA+ + +
+ Mặt khỏc: CM = CA; DM = DP => CD = CM + MD = CA + BD. + Đặt AC = x; BD = y => 4 + 2x + 2y = 10 => x + y = 5 => (x; y) = (1; 4) = (2; 3) Vậy AC = 1cm và BD = 4cm; AC = 2 cm và BD = 3cm.
Bài tập 7(Đề thi HSG Toỏn 9 huyện Văn Bàn năm học 2010 - 2011) Chứng minh
rằng trong tan giỏc vuụng ta cú: 0, 4 r 0,5
h
< < Trong đú r là bỏn kớnh của đường trũn nội tiếp tam giỏc; h là đường cao hạ từ cạnh huyền.
Bài 1: Cho đường trũn (O) và dõy cung BC cố định.Gọi A là điểm di động trờn
cung lớn BC của đường trũn (O), (A khỏc B, C). Tia phõn giỏc của gúc ACB cắt đường trũn (O) tại điểm D khỏc C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường trong (O) tại điểm K khỏc điểm B.
1. CMR: Tam giỏc KAC cõn.
2. CMR: Đường thẳng AI luụn đi qua điểm cố định J.Từ đú tỡm vị trớ của A sao cho AI cú độ dài lớn nhất.
3. Trờn tia đối AB lấy điểm M sao cho AM = AC.Tỡm tập hợp cỏc điểm M khi A di động trờn cung lớn BC của (O).
Giải: J K I C B O A D
1.Ta cú: ∆DBI cõn tại D nờn:∠DBI=∠DIB. Mà: ∠DIB = ∠IBC + ∠ICB (1). Và: ∠DBI = ∠KCI = ∠KCA + ∠ACD = ∠KBA + ∠ICB (2).
Từ (1) và (2) suy ra ∠ABI = ∠CBI. Suy ra I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC
⇒BI là phõn giỏc gúc B của tam giỏc ABC⇒K là trung điểm cung AC. ⇒ Tam giỏc KAC cõn.
2.Vỡ I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC nờn AI luụn đi qua trung điểm J của cung nhỏ BC.
Ta dễ dàng chứng minh được tam giỏc BIJ cõn ở J⇒JI = JB = const.
Suy ra AI = AJ - IJ = AJ - const lớn nhất khi và chỉ khi AJ lớn nhất tức là AJ là đường kớnh của (O) ⇒A phải nằm tại trung điểm của cung lớn BC.
3.Ta dễ dàng tớnh được: ∠BMC = 2 1 .∠BAC = 4 1
số đo cung nhỏ BC = const.
Suy ra quĩ tớch điểm M là cung chứa gúc nhỡn BC dưới một gúc bằng
41 1
số đo cung nhỏ BC.
Bài 2: Trờn đường trũn tõm O bàn kớnh R lầy điểm A cố định và điểm B thay
đổi. Đường vuụng gúc với AB vẽ từ A cắt đường trũn ở C. 1. Chứng minh rằng BC đi qua một điểm cố định.
2. Gọi AH là đường vuụng gúc vẽ từ A của tam giỏc ABC. Tỡm tập hợp cỏc điểm H 3. Hóy dựng tam giỏc vuụng ABC cú đỉnh A cho trước trờn đường trũn BC là đường kớnh và chiều cao AH = h cho trước.
OH H
C B
A
D
1. Dễ thấy BC luụn đi qua điểm O cố định.
2. Nhận thấy ∠AHO vuụng. Từ đú dễ dàng chứng minh được quĩ tớch của H là đường trũn đường kớnh AO.
3 .Đường thẳng d // với BC cỏch BC một khoảng h cắt (O) tại hai điểm A và A' thỏa món yờu cầu của bài toỏn. Cú 4 vị trớ của A thỏa món bài ra (Vỡ cú hai đường thẳng d//BC thảo món:Cỏch BC một khoảng h).
Bài 3: Cho đường trũn tõm O cố định. Một đường thẳng d cố định cắt (O) tại A,
B; M là điểm chuyển động trờn d (ở ngoài đoạn AB). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MN với đường trũn.
1. CMR: Đường trũn đi qua ba điểm M, N, P luụn đi qua một điểm cố định khỏc O. 2. Tỡm tập hợp cỏc tõm I của đường trũn đi qua M, N, P.
3. Tỡm trờn d một điểm M sao cho tam giỏc MNP là tam giỏc đều.
Giải: A N Y J I K X O B P M
1. Gọi K là trung điểm của AB. Dễ thấy M, N, P, O, K đều nằm trờn đường trũn đường kớnh OM. Vậy K là điểm cố định cần tỡm.
2. Tõm I của đường trũn đi qua M,N, P là trung điểm của OM. Từ I hạ IJ vuụng gúc với AB. Dễ thấy IJ = (1/2).OK=const.
Vậy cú thể phỏn đoỏn quĩ tớch của I là đường thẳng song song với AB cỏch AB một khoảng bằng một nửa đoạn OK trừ đoạn XY với X,Y lần lượt là trung điểm của OA và OB.
3.Giả sử tam giỏc MNP đều thế thỡ: OM = 2.OP = 2R: MK2 = MO2 - OK2
= 4R2 - OK2 = const. Từ đú cú hai điểm M thảo món bài ra.
Bài 4: Cho hỡnh vuụng EFGH. Một gúc vuụng xEy quay xung quanh điểm E.
Đường thẳng Ex cắt đường thẳng FG và GH tại M, N; cũn đường thẳng Ey cắt cỏc đường trờn theo thứ tự tại P, Q.
1. CMR: Hai tam giỏc ENP và EMQ là cỏc tam giỏc vuụng cõn.
2. Gọi R là giao của PN và QM; cũn I, K lần lượt là trung điểm của PN và QM. Tứ giỏc EKRI là hỡnh gỡ? Giải thớch?
3. CMR: F, K, H, I thẳng hàng. Từ đú cú nhận xột gỡ về đường thẳng IK khi gúc vuụng xEy quay quanh E?
Giải:
1. Dễ dàng chứng minh được: ∆EHQ = ∆EFM (cgc). Suy ra dễ dàng tam giỏc EMQ vuụng cõn.
∠PEF = ∠PQN (đồng vị) mà ∠FEM = ∠QEH.
Suy ra: ∠PEN = ∠PEF + ∠FEM = ∠EQH + ∠QEH = 900. Vậy tam giỏc PEN vuụng (1).
Thấy: ∆NEQ = ∆PEM (g.c.g) nờn suy ra EN = EP (2). Từ (1) và (2) suy ra:Tam giỏc PEN vuụng cõn.
2.Cú: EI⊥PN và EK⊥QM.
Vậy tứ giỏc EKRI cú gúc I và gúc K vuụng (4).
Lại cú:∠PQR = ∠RPQ = 450 suy ra: ∠PRQ = 900 (3). Từ (3) và (4) suy ra tứ giỏc ẺIK là hỡnh chữ nhật. 3.Dễ thấy QEKH và EFMK là cỏc tứ giỏc nội tiếp. Ta cú: ∠EKH = 1800 - ∠EQH (5).
Và: ∠EKF = ∠EMF = ∠ EQH (6).
Từ (5) và (6) suy ra: ∠EKH + ∠EKF = 1800. Suy ra H, K, F thẳng hàng. Lại cú: Tứ giỏc FEPI nội tiếp nờn ∠EFI = 1800- ∠EPI = 1800 - 450 = 1350. Suy ra: ∠EFK +∠EFI = 450 + 1350 =1800.
Suy ra K, F, I thẳng hàng. Vậy ta cú đpcm.
Bài 5: Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB.Gọi C là điểm cố định trờn OA; M là
điểm di động trờn đường trũn.Qua M kẻ đường vuụng gúc với MC cắt cỏc tiếp tuyến kẻ từ A và B ở D và E.
a) CMR: Tam giỏc DCE vuụng. b) CMR: Tớch AD.BE khụng đổi.
c) CMR: Khi M chạy trờn đường trũn thỡ trung điểm I của DE chạy trờn một đường thẳng cố định.
Giải:
a)Nhận thấy cỏc tứ giỏc ADMC và MABE là cỏc tứ giỏc nội tiếp.Do đú: ∠DCM = ∠DAM và ∠MCE = ∠MBE = ∠MAB.Vậy:
∠DCE = ∠DCM + ∠MCE = ∠DAM + ∠MAB = 900. Ta cú đpcm.
b)Vỡ tam giỏc DCE vuụng ở C nờn ta cú thể nhận thấy ngay: ∠DCA = 900 -∠ECB =∠CEB.
Vậy hai tam giỏc vuụng ADC và BCE đồng dạng với nhau.Nờn:
.. . .BE BC AC const AD BE AC BC AD = ⇒ = =
c)Nhận thấy OI luụn là đường trung bỡnh của hỡnh thang DABE hay núi cỏch khỏc, ta luụn cú OI⊥AB.
Vậy khi M chuyển động trờn (O) thỡ I luụn nằm trờn đường thẳng qua O vuụng gúc với AB.
Bài 6: Cho tam giỏc ABC cõn (AB = AC) nội tiếp đường trũn tõm O. M là điểm
bất kỳ chạy trờn đỏy BC. Qua M vẽ đường trũn tõm D tiếp xỳc với AB tại B. Vẽ đường trũn tõm E qua M tiếp xỳc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường trũn đú. CMR
a) MN luụn đi qua A và tớch AM.AN khụng đổi.
c) Tổng hai bỏn kớnh của hai đường trũn tõm D và E cú giỏ trị khụng đổi. d) Tỡm tập hợp cỏc trung điểm H của DE.
Giải:
a) Ta cú: gúc BNM = gúc ABC =gúc ACB =gúc BNA, vậy tia NM đi qua A. Chứng minh tam giỏc ABN đồng dạng với tam giỏc AMB suy ra AM.AN = AB2 khụng đổi
c)Gọi K là điểm chớnh giữa của cung BC ( khụng chứa A).
Dễ thấy D,E lần lượt nằm trờn BK và CK. Từ K,D,E lần lượt hạ cỏc đường vuụng gúc với BC tại I.J,L. Ta cú:
1 1 1 . . . 1 2 2 2 1 BD CE BJ CL BM CM BM CM BK CK BI CI BI CI BI BD CE BD CE CK CK CK + + = + = + = = ⇒ + = ⇒ + = = khoõng ủoồi d) Hạ HQ vuụng gúc với BC.Cú: HQ = 1.( ) . . 2 2 2 2 KI DJ EL KI BD CE KI DJ EL KI BK CK + + = = + ữ= . Nờn H nằm trờn đ ường thẳng song song với BC cỏch BC một khoảng bằng nửa khoảng cỏch KI , Vỡ D , E thuộc BK và CK do đú
quĩ tớch cỏc điểm H là đường trung bỡnh của tam giỏc BKC (song song với đỏy BC).
CHUYấN ĐỀ 6: Cỏc bài toỏn hỡnh học phẳng cú nội dung chứng minh, tớnh toỏn.
Bài 1: Cho tam giỏc OAB cõn đỉnh O và đường trũn tõm O cú bỏn kớnh R thay đổi
(R<OA).Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với đường trũn .Hai tiếp tuyến này khụng đối xứng với nhau qua trục đối xứng của tam giỏc và chỳng cắt nhau ở M. a)Chứng minh rằng bốn điểm O,A,M,B cựng thuộc đường trũn.Tỡm tập hợp cỏc điểm M.
b)Trờn tia đối của tia MA lấy MP = BM.Tỡm tập hợp cỏc điểm P. c)CMR: MA.MB = |OA2 - OM2|.
Giải:
a)Gọi I,T lần lượt là cỏc điểm tiếp xỳc của tiếp tuyến kẻ từ A và B. Dễ thấy:∆OIA = ∆OTB (cạnh huyền-cạnh gúc vuụng).
Do đú: ∠IAO = ∠OBT.Suy ra tứ giỏc OAMB nội tiếp được. b) Cú:∠APB = 2 1 .∠AMB = 2 1 .(1800-∠AOB)= const.
Vậy cú thể chứng minh được rằng quĩ tớch cỏc điểm P là cung chứa gúc nhỡn AB một gúc khụng đổi là
21 1
.(1800-∠AOB).
c)Xột vị trớ của M mà OM > OA(trường hợp ngược lại hoàn toàn tương tự). Ta cú: |OA2 - OM2| = OM2 -OA2 = MI2 - IA2 = (MI - IA).(MI + IA)
= AM.(MT + TB = MA.MB (đpcm).
Bài 2: Cho điểm P nằm ngoài đường trũn (O); Một cỏt tuyến qua P cắt (O) ở A và
B. Cỏc tiếp tuyến kẻ từ A và B cắt nhau ở M. Dựng MH vuụng gúc với OP. a) CMR: 5 điểm O, A, B, M, H nằm trờn 1 đường trũn.
b) CMR: H cố định khi cỏt tuyến PAB quay quanh P. Từ đú suy ra tập hợp điểm M. c) Gọi I là trung điểm của AB và N là giao điểm của PA với MH. Chứng minh rằng PA. PB = PI. PN và IP.IN = IA2.
Giải: O N M P B A H I
a) Nhận thấy 5 điểm O, A, B, M, H nằm trờn đường trũn đường kớnh OM (đpcm). b) Phương tớch của điểm P đối với đường trũn đường kớnh OM là:
PH.PO = PA.PB = const (1). Suy ra H cố định nằm trờn đoạn PO.
Từ đú dễ dàng suy ra được rằng quĩ tớch điểm M là đường thẳng d qua H vuụng gúc với PO trừ đi đoạn TV với T,V là giao điểm của d với (O).
c)Phương tớch của điểm P đối với đường trũn đường kớnh ON là: PN.PI = PH.PO (2)
Từ (2) và (1) suy ra: PA.PB = PI.PN (đpcm). Lại cú: IP.IN = (NI + NP).IN = IN2 + NI.NP (3)
Phương tớch của điểm N đối với đường trũn đường kớnh PM là: NP.NI = NH.NM Phương tớch của điểm N đối với đường trũn đường kớnhOM là: NH.NM = NA.NB Suy ra: NI.NP = NA.NB (4)
Từ (3) và (4) suy ra: IP.IN = IN2 + NA.NB
Ta sẽ chứng minh: IN2 + NA.NB = IA2 (5).Thật vậy:
(5)⇔NA.NB = IA2- IN2⇔NA.NB = (IA - IN).(IA + IN)⇔NA.NB = NA.(IB +IN) ⇔NA.NB = NA.NB (luụn đỳng) ⇔NA.NB = NA.NB (luụn đỳng)
Vậy ta cú đpcm.
Bài 3: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp trong đường trũn bỏn kớnh
a)Chứng minh BC = 2R.SinA
b)Chứng minh:SinA + SinB + SinC < 2.(cosA + cosB + cosC) trong đú A,B,C là ba gúc của tam giỏc.
Giải:
a)Kộo dài BO cắt (O) tại điểm thứ hai là D.
Tam giỏc vuụng BCD cú:BC = BD.Sin(∠BDC) = 2R.SinA (đpcm) b)Kộo dài AO cắt (O) tại điểm thứ hai là E.
Hoàn toàn tương tự phần a) ta cú:AC=2R.SinB. Ta cú: