1. Bài 1:
Cho ∆ABC cú BC = a, AB = b, AC = c, phõn giỏc AD a) Tớnh độ dài BD, CD
b) Tia phõn giỏc BI của gúc B cắt AD ở I; tớnh tỉ số: AI ID Giải D' B C A D C B A c b I A N M C B A
a) AD laứ phãn giaực cuỷa BACã nẽn BDCD= ABAC=bc
⇒ BD c BD c BD = ac
CD + BD= b + c⇒ a =b + c⇒ b + c
Do ủoự CD = a - b + cac = b + cab
b) BI laứ phãn giaực cuỷa ABCã nẽn AI AB c : ac b + c ID =BD= b + c = a
2. Baứi 2:
Cho ∆ABC, coự Bà < 600 phãn giaực AD a) Chửựng minh AD < AB
b) Gĩi AM laứ phãn giaực cuỷa ∆ADC. Chửựng minh raống BC > 4 DM
Giaỷi
a)Ta coự ADB = C + ã à Aà
2 > A + Cà à 2 = 180 - B0 à 0 60 2 = ⇒ ADBã > Bà ⇒ AD < AB b) Gói BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong ∆ADC, AM laứ phãn giaực ta coự
DM AD
=
CM AC ⇒ DM = AD DM = AD
CM + DM AD + AC⇒ CD AD + AC
⇒ DM = AD + ACCD.AD =CD. db + d ; CD = b + cab ( Vaọn dúng baứi 1) ⇒ DM = (b + c)(b + d)abd ẹeồ c/m BC > 4 DM ta c/m a > (b + c)(b + d)4abd hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)
Thaọt vaọy : do c > d ⇒ (b + d)(b + c) > (b + d)2 ≥ 4bd . Baỏt ủaỳng thửực (1) ủửụùc c/m
Baứi 3:
Cho ∆ABC, trung tuyeỏn AM, caực tia phãn giaực cuỷa caực goực AMB , AMC caột AB, AC theo thửự tửù ụỷ D vaứ E
a) Chửựng minh DE // BC
b) Cho BC = a, AM = m. Tớnh ủoọ daứi DE
c) Tỡm taọp hụùp caực giao dieồm I cuỷa AM vaứ DE neỏu ∆ABC coự BC coỏ ủũnh, AM = m khõng ủoồi
d) ∆ABC coự ủiều kieọn gỡ thỡ DE laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa noự Giaỷi
a) MD laứ phãn giaực cuỷa AMBã nẽn DADB = MBMA (1) ME laứ phãn giaực cuỷa AMCã nẽn EAEC = MCMA (2)
Tửứ (1), (2) vaứ giaỷ thieỏt MB = MC ta suy ra DADB = EAEC ⇒ DE // BC b) DE // BC ⇒ DE AD AI BC = AB= AM. ẹaởt DE = x ⇒ x m - x2 2a.m x = a = m ⇒ a + 2m E D M I C B A M D B C A
c) Ta coự: MI = 12 DE = a + 2ma.m khõng ủoồi ⇒ I luõn caựch M moọt ủốn khõng ủoồi nẽn taọp hụùp caực ủieồm I laứ ủửụứng troứn tãm M, baựn kớnh MI = a + 2ma.m (Trửứ giao ủieồm cuỷa noự vụựi BC
d) DE laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa ∆ABC⇔ DA = DB ⇔ MA = MB ⇔ ∆ABC vuõng ụỷ A
4. Baứi 4: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho ∆ABC ( AB < AC) caực phãn giaực BD, CE a) ẹửụứng thaỳng qua D vaứ song song vụựi BC caột AB ụỷ K, chửựng minh E naốm giửừa B vaứ K
b) Chửựng minh: CD > DE > BE Giaỷi a) BD laứ phãn giaực nẽn AD AB AC AE AD AE = < = DC BC BC EB⇒ DC< EB (1) Maởt khaực KD // BC nẽn ADDC = AKKB (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra AKKB <AEEB⇒AK + KBKB <AE + EBEB ⇒ AB AB KB > EB KB< EB ⇒
⇒ E naốm giửừa K vaứ B
b) Gói M laứ giao ủieồm cuỷa DE vaứ CB. Ta coự CBD = KDBã ã (so le trong)⇒KBD = KDBã ã
maứ E naốm giửừa K vaứ B nẽn KDBã > EDBã ⇒KBDã > EDBã ⇒ EBDã > EDBã ⇒ EB < DE
Ta lái coự CBD + ECB = EDB + DEC ã ã ã ã ⇒DECã >ECBã ⇒DECã >DCEã (Vỡ DCEã = ECBã ) Suy ra: CD > ED ⇒ CD > ED > BE