Ký hiệu: Y(t) = {Ytj|j = 1,2, . . . , nt} là tập các giá trị quan sát được tại thời điểm t, nt là số lượng các kết quả quan sát được tại thời điểm t.
Ký hiệu: Y(0 : t) = t [ s=0 Y(s)
Yêu cầu của bài toán MTT là từ các kết quả quan sát được, xác định số mục tiêu và các quỹ đạo của chúng. Lưu ý rằng tập hợp các giá trị quan sát được tại thời điểm t, tập Y(t), chứa các giá trị quan sát hoặc của mục tiêu
này, hoặc của mục tiêu khác hoặc của mục tiêu giả FA chưa phân định được và mỗi giá trị quan sát đó đại diện cho bao nhiêu mục tiêu bị che khuất cũng chưa rõ.
Phương pháp liên kết dữ liệu đệ quy trình bày dưới đây được đưa ra trong hồn cảnh đó và cho phép khắc phục được các khó khăn do mục tiêu bị che khuất gây nên.
Chúng ta đưa ra một số định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3.1. Một quỹ đạo của mục tiêu thứ k xuất hiện (bắt đầu) tại thời điểm tk
i, tk
i ∈ [0, T], và biến mất (kết thúc) tại thời điểm tk f, tk f ∈ [0, T] là: X[ktk i,tkf] = {X k t | tki 6 t 6tkf;tki ∈ [0, T] ;tkf ∈ [0, T]}.
Với As là các tập hợp, ta sử dụng ký hiệu tích trực tiếp: n
O
s=1
As = {(a1, a2, . . . , an) |as ∈ As, s = 1, n},
trong đó quy ước gọi ak với k = 1,2, . . . , n là thành phần thứ k của phần tử (a1, a2, . . . , an).
Định nghĩa 2.3.2. Một dây chuyền liên kết dữ liệu với thời điểm bắt đầu ti và thời điểm cuối tf và được ký hiệu là L[ti,tf] là đường gấp khúc nối các thành phần liên tiếp Ytjs với Yt+1js+1 , t = ti, ti+1, . . . , tf−1 ; s = 1,2, . . . của một phần tử
Ytij1, Yti+1, . . . , Yj2 tjs, . . . , Ytjftf−ti+1
nào đấy của tập tích trực tiếp
tf
O
t=ti
Y(t),
và ký hiệu L[ti,tf] = Ytij1, Yti+1j2 , . . . , Ytjs, . . . , Ytjftf−ti+1
với Ytj ∈ Y(t), ti 6 t6 tf, và Ytj được gọi là đỉnh tại thời điểm t của dây chuyền L[ti,t
f]. Chúng ta ký hiệu tập đỉnh của L[ti,tf] là DL[ti,tf], nghĩa là:
DL[ti,tf] = {Yj1
ti , Yti+1, . . . , Yj2 tjftf−ti+1}.
Định nghĩa 2.3.3. Dây chuyền L[ti,tf] được gọi là ảnh của quỹ đạo Xk
[tk i,tk
f]
của mục tiêu thứ k nếu: ti = tk
i, tf = tk
f và giá trị đỉnh Ytj là giá trị quan sát của Xk
t tại thời điểm t qua mơ hình quan sát (2.2) (hoặc cụ thể hơn là (2.3)) với mọi t = ti, ti+1, . . . , tf.
Nhận xét 2.3.1. a) Nếu xác định được dây chuyền ảnh L[ti,tf] thì việc ước lượng quỹ đạo Xk
[tk i,tk
f] là việc làm đã có nhiều cơng trình giải quyết đã được công bố, chẳng hạn đơn giản nhất là người ta có thể dùng lọc Kalman để ước lượng quỹ đạo đó (xem [20], [41], [42]).
b) Nếu tại thời điểm t, t ∈ [0, T], có m dây chuyền ảnh cùng nhận Ytj là đỉnh, thì giá trị Ytj là số đo của m mục tiêu (đây là trường hợp có m mục tiêu che khuất lẫn nhau tại thời điểm t, m ∈ N+).
c) Nếu giá trị Ys
t chỉ là đỉnh duy nhất của mọi dây chuyền đi qua nó, thì giá trị Ys
t là báo động giả (FA) tại thời điểm t.
Để thuận tiện cho trình bày, chúng ta dùng ký hiệu quy ước sau: – Giả sử a là một phần tử nào đó, ta ký hiệu:
{a}⊗k = {a, a, . . . , a
| {z }
k+1lần
– Giả sử A là một tập hợp,
Card(A) = lực lượng (số phần tử) của tập A. – Với tập Y(t), t > 0, chúng ta xây dựng hai tập hợp:
M [Y(t)] = nt [ j=1 {Yj t }⊗Card(ft−1(Ytj)) và Y(t) = Y(t)∪ {∅}.
Ở đây ft là ánh xạ được nêu trong các Định nghĩa 2.3.4 - 2.3.5 tiếp sau và chúng được xây dựng đệ quy, có nghĩa là khi xây dựng ánh xạ ft thì các ánh xạ fs, s ≤ t−1 đã được xây dựng; ∅ là ký hiệu phần tử đặc biệt.
Định nghĩa 2.3.4. Một liên kết dữ liệu từ tập dữ liệu quan sát được tại thời điểm t−1, t = t1, t2, . . . , tn, sang tập dữ liệu quan sát được tại thời điểm t là một ánh xạ ft : M [Y(t−1)] →Y(t).
Định nghĩa 2.3.5. Một chiến lược liên kết dữ liệu đối với bài toán quan sát đa mục tiêu là họ các ánh xạ: {ft | t= t1, t2, . . . , tn}.
Từ các định nghĩa trên dễ thấy rằng một lời giải cho ta một họ các dây chuyền ảnh trong tập dữ liệu quan sát Y(0 : T). Chúng ta có một số nhận
xét và khái niệm sau đây:
i) Với t= t0, ta có M [Y(t0)] ≡Y(t0). Trong các định nghĩa này chúng ta
chỉ đề cập đến trường hợp tại thời điểm ban đầu chúng ta khơng có thơng tin gì về mục tiêu bị che khuất. Bài tốn tổng qt chúng ta có thể xét phân phối tiên nghiệm về mục tiêu bị che khuất tại thời điểm t0 là Π0 = π1, π2, . . . , πnt0 với các πk, k = 1,2, . . . , nt0, là các phân phối xác suất tiên nghiệm.
ii) Giá trị Yi
t là đỉnh cuối của dây chuyền nếu ft+1(Yi t) =∅
iii) Giá trị Yj
t là đỉnh đầu (đỉnh khởi tạo) nếu Cardf−1
iv) Giá trị Yt là báo động giả (số liệu đo của FA) nếu nó vừa là đỉnh đầu vừa là đỉnh cuối của mọi dây chuyền nhận nó là đỉnh.
Y t t(1)i ≡ t(2)i t(3)i ti(4) t t(1)f t(4)f t(2)f ≡ t(3)f (1) (2) (3) (4)
Hình 2.2. Dây chuyền dữ liệu ảnh.
❼ Đường liền (l): là quỹ đạo của mục tiêu thứ l; l = 1,2,3, . . .
❼ Đường nét đứt (l′): là dây chuyền dữ liệu ảnh của quỹ đạo mục tiêu thứ
l; l = 1,2,3, . . .
❼ t(l)i , l = 1,2,3, . . .: là thời điểm bắt đầu của quỹ đạo mục tiêu thứ l. ❼ t(l)f , l = 1,2,3, . . .: là thời điểm kết thúc của quỹ đạo mục tiêu thứ l. 2.3.2. Khái niệm chiến lược tối ưu từng bước và sự tồn tại chiến
lược tối ưu từng bước
Dựa theo ý tưởng của suy luận Bayes, chúng ta đưa ra khái niệm chiến lược tối ưu theo nghĩa làm cực đại xác suất hậu nghiệm tại mỗi bước cập nhật trạng thái như sau.
Định nghĩa 2.3.6. Chiến lược {f∗
tối ưu từng bước hay tối ưu nếu:
P [ft∗ | Y(0 :t)] = max
∀ft P [ft | Y(0 :t)], ∀t,
ở đây P [ft | Y(0 :t)] là xác suất hậu nghiệm của phép gán (ánh xạ) ft. Định lý 2.3.7 Với các Giả thiết 2.2.1 và 2.2.2 bài toán quan sát đa mục tiêu đang xét luôn tồn tại chiến lược tối ưu.
Chứng minh. Để chứng minh định lý này, chúng ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.8. Với các Giả thiết 2.2.1 và 2.2.2, tập nt, t∈ [0, T] bị chặn đều, nghĩa là: ∃Nmax, Nmax < +∞ sao cho: nt 6Nmax, ∀t ∈ [0, T].
(Lưu ý, để chứng minh bổ đề, chúng ta sử dụng định lý về phủ trong lý thuyết tô-pô.
Định lý: Xét không gian tô-pô (X,T), M ⊂ X. Nếu M là tập compact theo tơ-pơ T thì từ mọi phủ mở bất kỳ của M ln trích được phủ con hữu hạn).
Chúng ta đi chứng minh bổ đề.
Chứng minh. Xét X ≡ Rnx, T là tô-pô cảm sinh bởi Metricd(·,·) trongRnx, từ Giả thiết 2.2.1 suy ra R là tập compact.
Xét P = {O(x,rx) : x ∈ R, rx là giá trị trong Giả thiết 2.2.2}, ta thấy
R ⊂ [
x∈R
O(x,rx), như vậy P là một phủ mở của R.
Vì R là compact, theo định lý đã nêu ta suy ra: ∃P∗,
P∗
sao cho R ⊂ H [ s=1 O(xs,rxs).
Chúng ta nhận thấy do Giả thiết 2.2.2 nên tại thời điểm t, t∈ [0, T]:
– Những mục tiêu nằm trong chỉ một hình cầu O(xi,rxi),1 ≤ i ≤ H,thì chỉ có tối đa một giá trị quan sát Yxi
t , – Những mục tiêu nằm trong O(xi,rxi)
T
O(xj,rxj),1 ≤ i, j ≤ H, thì chỉ có tối đa hai giá trị quan sát Yxi
t và Yxj t , – Những mục tiêu nằm trong O(xi,rxi)
T
O(xj,rxj) T
O(xk,rxk),1 ≤ i, j, k ≤
H, thì chỉ có tối đa ba giá trị quan sát Ytxi, Yxj
t và Yxk t , – . . ..
Như vậy tại thời điểm t, t ∈ [0, T], số lượng các giá trị quan sát nt của các mục tiêu có thể có trong R thỏa mãn:
nt 6 H X s=1 s·Cs H =: Nmax, ở đây Cs H là tổ hợp chập s của H.
Bổ đề được chứng minh xong.
Chứng minh định lý.
Từ Bổ đề 2.3.8 ta suy ra tại mỗi thời điểm t, t= t1, . . . , tn, ta có: Card(M [Yt−1]) < +∞ và Card Yt < +∞.
Từ đó suy ra số các ánh xạ có thể có ft :M[Yt−1] → Yt là hữu hạn. Do đó, {P [ft |Y(0 : t)]} là tập hữu hạn.
Từ đó suy ra ∃f∗
t sao cho:
P [ft∗ | Y(0 :t)] = max
∀ft P [ft | Y(0 :t)]
Nhận xét 2.3.2. Từ định nghĩa 2.3.6 và từ chứng minh định lý trên chúng ta đã thấy rằng: chiến lược tối ưu từng bước có thể khơng duy nhất.
2.4.T -chiến lược và thuật toán xây dựng T -chiến lược
Chiến lược tối ưu từng bước luôn tồn tại (Định lý 2.3.7), song việc tìm chiến lược đó là khơng đơn giản. Chúng ta có thể xác định được biểu thức giải tích của xác suất hậu nghiệm P [ft | Y(0 :t)], nhưng việc từ đó để tìm f∗
t là rất phức tạp và khó khăn. Thậm chí, chỉ riêng việc tính xác suất hậu nghiệm P [ft | Y(0 : t)] đã có khá nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra nhiều phương pháp, thuật tốn khơng đơn giản; chẳng hạn phương pháp MCMC (Markov Chain Monter Carlo); phương pháp chọn mẫu;... [9],[31],[38],[45].
Ở mục này và mục tiếp sau (mục 2.5), sẽ đưa ra một hướng tiếp cận mới trong việc tìm chiến lược cho bài toán MTT với phương pháp liên kết dữ liệu dựa trên hệ thống ánh xạ được xây dựng đệ quy đã đưa ra ở mục 2.3 (Định nghĩa 2.3.4 và Định nghĩa 2.3.5).
Ý tưởng của phương pháp và thuật tốn được trình bày là sự phát triển ý tưởng của bài toán kiểm định đa giả thiết và các bộ lọc thích ứng.
Trong mục này, T là ký hiệu của một tiêu chuẩn cho trước nào đó. Ở mục tiếp sau, (mục 2.5), chúng tơi sẽ trình bày cho một trường hợp cụ thể (khá phổ dụng trong thực tiễn) với T là tiêu chuẩn “K(ε)-tối ưu”
Định nghĩa 2.4.1. Giả sử T là một tiêu chuẩn mong muốn nào đó. Một chiến lược liên kết dữ liệu đối với bài toán MTT được gọi là T-chiến lược nếu như mọi dây chuyền dữ liệu ảnh của nó trong Y(O : T) đều thỏa mãn tiêu chuẩn T. T-chiến lược được ký hiệu là:
{fT
t | t = t1, t2, ..., tn}. Thuật tốn tìm T-chiến lược
{fT
t | t = t1, t2, ..., tn} thỏa mãn Định nghĩa 2.4.1 ở trên. Xét tại thời điểm t, t = t0, t1, . . . , tn, nào đó.
• Ký hiệu Ll[t−, Yi
t ], 0 6 l 6 Card(fT
t )−1(Yi
t), Yi
t ∈ Y(t), là
dây chuyền thứ l có đỉnh cuối tại thời điểm t là Yi
t. Trong trường hợp, Card(fT
t )−1(Yi
t ) = 0 ⇐⇒ l = 0 ⇐⇒ Yi
t là số đo mới xuất hiện chưa được gắn với dây chuyền nào trước đó. Nó có thể là điểm khởi đầu (đỉnh đầu) cho một dây chuyền mới là ảnh của quỹ đạo của mục tiêu mới xuất hiện nào đó. Nó cũng có thể là điểm cơ lập (hay số đo của FA) mà sẽ được kết luận khi thực hiện thuật toán sau mốc thời gian t+ 1.
Ký hiệuDLl[t−, Yi
t ]là tập đỉnh của dây chuyềnLl[t−, Yi
t] (kể cả đỉnh cuối tính đến thời điểm t là Yi t), 06 l 6 Card(fT t )−1(Yi t). Ký hiệu Zt l(j) =DLl[(t−1)−, Yi t−1]∪ {Yj t } = {Yh s ∈ Ll[(t−1)−, Yi t−1] |1 6 h 6ns, s 6t−1} ∪ {Yj t }, với 16 j 6nt.
Thuật toán được tiến hành đệ quy lần lượt từ t = t1, t2, ..., tn. Khi thực hiện tại thời điểm hiện tại t, t = t1, t2, ..., tn, thì các fT
s , s ≤ t−1 đã được xác định. Chú ý rằng tại t= t1 thì: M [Y(t−1)] = M [Y(t1 −1)] = M [Y(t0)] ≡Y(t0) và quy ước hình thức: ∀Yi 0 ∈ Y(t0) thì Card ft0T−1 Yi 0 = 0, nghĩa là Yi
0 là điểm khởi tạo của dây chuyền dữ liệu ảnh hoặc là FA (tùy kết quả của ánh xạ bước kế tiếp sẽ xác định rõ).
Như vậy, tại thời điểm hiện tại t, t= t1, t2, ..., tn, ta đã xác định được: + Tập dữ liệu quan sát tại t là Y(t).
+ Tập dữ liệu quan sát của thời điểm trước (liền kề) là Y(t−1). + Ánh xạ fT t−1. Từ đó, chúng ta xây dựng các tập: M [Y(t−1)] = nt−1 [ i=1 {Yi t−1}⊗Card (ft−1T )−1(Yt−1i ) và Y(t) =Y(t)∪ {∅}, Chúng ta xây dựng ánh xạ: ftT : M [Y(t−1)]→ Y(t)
theo quy tắc sau
Xét y ∈ M [Y(t−1)] ⇐⇒ y = Yi t−1 ∈ {Yi t−1}⊗Card (ft−1T )−1(Yt−1i ) ⇐⇒ ∃l,0≤ l ≤ Card fT t−1 −1 Yi t−1 và Ll(t−1)−, Yi t−1 , khi đó, fT t (y) =
Ytj nếu ∃Ytj ∈ Y(t) sao cho dây chuyền Llht−, Ytj
i
= Ll[(t−1)−, Yi
t−1]∪Ytj thỏa mãn tiêu chuẩn T.
∅ nếu trường hợp ngược lại. Lưu ý rằng nếu Card(fT
t−1)−1(Yi
t−1) = 0 ⇐⇒ l = 0, khi đó y = Yi t−1 là điểm hoặc là khởi đầu của một dậy chuyền mới, hoặc là FA.
Nhận xét 2.4.1.
a/ Dễ dàng thấy rằng cùng một giá trị đoy = Yi
t−1nhưng fT t (y) = fT t (Yi t−1) có thể nhận m + 1, với m = Card(fT t−1)−1(Yi t−1) giá trị ảnh trong
Y(t). Việc dùng lý thuyết ánh xạ đa trị sẽ tiện lợi hơn trong việc mơ tả, nhưng lại gặp nhiều khó khăn trong các công đoạn khác của Luận án. Bởi vậy trong Luận án này chúng tôi không sử dụng lý thuyết ánh xạ đa trị. b/ Hệ thống ánh xạ này (và cũng là hệ ánh xạ nêu trong các Định nghĩa
2.3.4, 2.3.5) cho thấy rõ chúng không chỉ quan tâm đến giá trị đo Yi t−1, mà chúng cịn tính đến lịch sử quỹ đạo quá khứ mà Yi
t−1 là điểm cuối tại thời điểm (t−1). Ở đây, m = Card(fT
t−1)−1(Yi
t−1) chính là số mục tiêu tối thiểu bị che khuất lẫn nhau tại thời điểm (t−1) và có cùng giá trị quan sát là Yi
t−1.
Khi thực hiện lần lượt t= t1, t2, ..., tn, chúng ta sẽ thu được T-chiến lược:
{ftT | t = t1, t2, ..., tn}.
Thuật tốn tìm T-chiến lược thực hiện theo các bước sau: Bước 1:
Xét thời điểm hiện tại t, t1 ≤ t ≤ tn = T (thực hiện tuần tự t =
t1, t2, ..., tn) nếu t = tk thì t−1 =tk−1. Tạo tập dữ liệu quan sát tại thời điểm t:
Y(t) ={Yj
t | 1≤ j ≤ nt}. Chuyển sang Bước 2.
Bước 2:
Xét i, 1 ≤ i ≤nt−1, (thực hiện tuần tự i = 1,2, ..., nt−1).
Với mỗi l, 0≤ l ≤Card(fT
t−1)−1(Yi t−1), (thực hiện tuần tự l = 0,1, ..., Card(fT
t−1)−1(Yi t−1)). Với mỗi j, 1≤ j ≤ nt, (thực hiện tuần tự j = 1,2, ..., nt).
Xác định Llht−, Ytj
i
= Ll[(t−1)−, Yi
t−1]∪Ytj. Kiểm tra tiêu chuẩn T đối với Llht−, Ytj
i
+ Nếu Ll t−, Ytj thỏa mãn tiêu chuẩn T thì xác định ftT(Yi t−1) =Yj t + Nếu Llht−, Ytj i
khơng thỏa mãn tiêu chuẩn T thì sau đó xét tiếp với việc thay j bởi j + 1 (nếu j + 1 ≤nt).
Nếu , ∀j = 1,2, ..., nt mà Llht−, Ytj
i
đều khơng thỏa mãn tiêu chuẩn
T thì xác định:
ftT(Yi
t−1) =∅
(Nhắc lại: fT
t : M [Y(t−1)] → Y(t)).
Sau đó chuyển sang ước 3. Bước 3: Kiểm tra:
+ Nếu l < Card(fT
t−1)−1(Yi
t−1) thì quay lại Bước 2 với l được thay bởi