Bài toán : Chứng minh rằng phương trình f (x)=0có đúngknghiệm thực phân biệt trong miềnD.1
Vấn đề 1 :Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Cách 1 : Lập bảng biến thiên của hàm sốy= f (x)vớix ∈D(tính đầy đủ các giá trị tại đầu và cuối mũi tên), từ đó suy ra được số nghiệm của phương trình.
Cách 2 : Dựa vào hai định lí :
Định lí 1 : Nếu hàm sốy= f (x)luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên(a; b)thì phương trình f (x)= 0có tối đa một nghiệm trong khoảng(a; b).
Định lí 2 : Nếu hàm sốy = f (x)liên tục trên [a; b]và f (a).f (b) < 0thì phương trình f (x) = 0có ít nhất một nghiệm trong khoảng(a; b).
Bài 1.109 : Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm duy nhất :
1. x5+x4+2x3+2x2+x+1=0; 2. ex(x2+1)−4=0.
Bài 1.110 : Chứng minh rằng phương trình :x3+ √
x−1=0có nghiệm duy nhất.
Bài 1.111 : Chứng minh rằng phương trìnhxx+1 =(x+1)x có một nghiệm dương duy nhất.
Bài 1.112 : Chứng minh rằng với mọia>0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
8 < :
ex−ey =ln(1+x)−ln(1+y) y−x=a
Vấn đề 2 :Chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt
1Nếuk=0tức là phương trình vô nghiệm
http://mathblog.org
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Cách 1 : Lập bảng biến thiên của hàm sốy= f (x)vớix ∈D(tính đầy đủ các giá trị tại đầu và cuối mũi tên), từ đó suy ra được số nghiệm của phương trình.
Cách 2 : Chỉ lập bảng biến thiên nhưng không tính được hết tất cả các đầu mút (lúc này y’=0 có nghiệm duy nhất). Từ đó suy ra được phương trình có tối đa 2 nghiệm. Kết hợp với định lí 1 ta cũng chỉ ra được phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 1.113 : Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt : 1. x4−x2−2x−1=0;
2. x4−3x3−1=0;
3. 3x4−4x3−6x2+12x−20=0; 4. x3−2x− √x+1=0.
Vấn đề 3 :Chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt
Cách 1 : Lập bảng biến thiên của hàm sốy= f (x)vớix ∈D(tính đầy đủ các giá trị tại đầu và cuối mũi tên), từ đó suy ra được số nghiệm của phương trình.
Cách 2 : Chỉ lập bảng biến thiên nhưng không tính được hết tất cả các đầu mút (lúc này y’=0 có đúng 2 nghiệm). Từ đó suy ra được phương trình có tối đa 3 nghiệm. Kết hợp với định lí 1 ta cũng chỉ ra được phương trình có ít nhất 3 nghiệm.
Bài 1.114 : Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng ba nghiệm thực phân biệt : 1. sin x− 2x =0; 2. 4x(4x2+1)=1.