1.2 Đại số vi phân
1.2.2 Nghiệm của đa thức vi phân
Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài liệu [30]. ChoK là một trường vi phân vày là mộtbiến vi phân (differential indeterminate) trên K. Xét dãy các ký hiệu y = y0, y1, y2, . . . và dãy lồng nhau của các vành đa thức
K[y] = K[y0] ⊂K[y0, y1] ⊂ K[y0, y1, y2] ⊂ . . .
Mệnh đề 1.36.
∞
S
n=0
K[y0, y1, y2, ..., yn] là một vành đối với các phép toán cộng và nhân các đa thức. Hơn nữa,
∞
S
n=0
K[y0, y1, y2, ..., yn] là một vành vi phân đối với phép đạo hàm “ 0 ” xác định bởi yi0 = yi+1 với mọi i ∈ N.
Chú ý rằng, với mỗi p∈ N ta có
yp = yp−10 = (y0p−2)0 = · · · = y0(p),
ở đây y(p)0 là đạo hàm cấp p của y0 = y. Như vậy ký hiệu yp chính là đạo hàm cấp p của y. Định nghĩa 1.37. Vành vi phân ( ∞ S n=0 K[y0, y1, y2, ..., yn], 0 ) được gọi là
vành các đa thức vi phân, ký hiệu là K{y}.
Mỗi phần tử của K{y} được gọi là một đa thức vi phân. Ta định nghĩa cấp của một đa thức vi phân là cấp của đạo hàm cao nhất xuất hiện trong đa thức vi phân đó. Một đa thức vi phân F ∈ K{y} cấp p có dạng
F = amypm +am−1ypm−1 +· · ·+a1yp+ a0, (1.3) trong đó a0, a1, . . . , am ∈ K{y} là các đa thức vi phân có cấp khơng vượt quá p−1 và yp là đạo hàm cấp p của y.
Đa thức vi phân am trong (1.3) được gọi là hệ số đầu (initial) của F, ký hiệu là in(F). Đa thức vi phân S = ∂F
∂yp được gọi là tách (separant) của F. Đạo hàm cấp một của đa thức vi phân F được tính như sau
F0 = ∂F
∂ypyp+1+a
0
mymp +a0m−1ypm−1 +· · ·+a01yp+a00. Khi đó cấp của F0 là p+ 1, hệ số đầu của F0 chính là ∂F
∂yp. Vì bậc của yp+1 là 1 nên tách của F0 cũng là ∂F
∂yp. Vậy tách của F và tách của đạo hàm mọi cấp của F là như nhau.
Chẳng hạn, đa thức vi phân
F := (2xy+ 3x)y21 + 3y1 −2y −3x ∈ C(x){y}
có hệ số đầu là 2xy+ 3x và tách là S = ∂F
∂y12 = 2(2xy+ 3x)y1 + 3.
Định nghĩa 1.38. Cho
L, d dx
là một trường mở rộng vi phân của
K, d
dx
. Phần tử α ∈ L được gọi là một nghiệm của đa thức vi phân F ∈ K{y} nếu F(α) = 0, ở đây F(α) là phần tử của trường L nhận được bằng cách thay yk bởi đạo hàm cấp k của α.
Ví dụ 1.39. Đa thức vi phân F := (y −x)(y1 −1)−1 ∈ C(x){y} nhận
α = x+ √
2x−3 ∈ C(x)(√
2x−3) làm nghiệm.
Rõ ràng, nếu α là một nghiệm của đa thức vi phân F ∈ K{y} thì α cũng là một nghiệm của tất cả các đạo hàm của F. Do đó α là một nghiệm chung của các đa thức vi phân có dạng
trong đó Qi ∈ K{y} với mọi i = 0, . . . , k, với mọi k ∈ N. Đạo hàm của một đa thức vi phân có dạng này cũng có dạng như vậy. Nói cách khác, tập hợp tất cả các đa thức vi phân có dạng này là đóng đối với phép đạo hàm của các đa thức vi phân.
Định nghĩa 1.40. Cho (R, 0) là một vành vi phân. Một iđêan I của R được gọi là một iđêan vi phân nếu với mọi a ∈ I ta có a0 ∈ I.
Ví dụ 1.41. Trong vành vi phân R với phép đạo hàm không, mọi iđêan của R đều là một iđêan vi phân.
Ví dụ 1.42. Trong vành vi phân
C[x], d
dx
, chỉ có hai iđêan vi phân là
0 và C[x]. Thật vậy, mỗi iđêan của C[x] là một iđêan chính sinh bởi một đa thức f(x). Nếu f(x) 6= 0 và f(x) khác hằng thì degf(x) =n > 0. Khi
đó df
dx có bậc n−1, do đó df
dx 6∈ hfi. Suy ra hfi không là một iđêan vi phân.
Mệnh đề 1.43. Giao của một họ các iđêan vi phân của vành vi phân R
cũng là một iđêan vi phân của R.
Định nghĩa 1.44. Cho R là một vành vi phân vàΣ là một tập con củaR.
Iđêan vi phân của R sinh bởi Σ, ký hiệu [Σ], là giao của tất cả các iđêan
vi phân của R chứa Σ.
Về tập hợp, Σ chính là iđêan của R sinh bởi Σ và tất cả các đạo hàm (theo mọi cấp) của các phần tử trong Σ.
Định nghĩa 1.45. Cho R là một vành vi phân và Σ là tập con của R.
Iđêan vi phân căn sinh bởi Σ, ký hiệu {Σ}, là căn của iđêan [Σ], tức là {Σ} = {A∈ R | ∃n∈ N∗, An ∈ [Σ]}.
Trong trường hợp R = K{y} là vành các đa thức vi phân và Σ = {F}
gồm chỉ một đa thức vi phân, ta cũng ký hiệu {F} để chỉ iđêan vi phân căn sinh bởi tập một phần tử {F}. Định lý sau, được biết đến rộng rãi
trong đại số vi phân, cho ta một phân tích của iđêan vi phân căn {F}. Định lý 1.46 ([30]). Cho F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy. Khi đó ta có phân tích sau:
{F}= ({F} : S)∩ {F, S},
trong đó S là tách của F và {F} : S là iđêan vi phân nguyên tố xác định bởi
{F}: S = {A ∈ K{y} |AS ∈ {F}}.
Định nghĩa 1.47. Cho I là một iđêan vi phân của K{y}. Tập nghiệm
của I trong một mở rộng trường vi phân L của K là Z(I) = {α ∈ L | F(α) = 0, ∀F ∈ I}. Mệnh đề 1.48. Cho I và J là hai iđêan của K{y}. Ta có
Z(I)∪Z(J) =Z(I ∩J) =Z(IJ),
trong đó IJ là iđêan tích của I và J.
Từ Định lý 1.46 và Mệnh đề 1.48 ta thấy rằng một nghiệm của F hoặc là một nghiệm của {F} : S hoặc là một nghiệm của {F, S}.
Định nghĩa 1.49. Một nghiệm chung của F và S được gọi là mộtnghiệm kỳ dị (singular solution) của phương trình vi phân F = 0.
Định nghĩa 1.50. Cho ℘ là một iđêan vi phân nguyên tố của vành K{y}.
Một nghiệm tổng quát (generic zero) của ℘ là một phần tử η của một mở rộng trường vi phân của K sao cho một đa thức vi phân trong K{y} là một phần tử của ℘ nếu và chỉ nếu đa thức đó triệt tiêu tại η.
Mệnh đề 1.51. Mọi iđêan vi phân nguyên tố ℘ của vành K{y} đều có một nghiệm tổng quát.
Chứng minh. Gọi L là trường các thương của miền nguyên K{y}/℘. Khi
đó L là một mở rộng vi phân của K qua các đồng cấu K ,→K{y} → K{y}/℘ ,→L.
Đặt η là ảnh của phần tử y trong L. Khi đó η là một nghiệm tổng quát của ℘.
Định nghĩa 1.52. Một nghiệm tổng quát của iđêan vi phân nguyên tố
{F} : S được gọi là một nghiệm tổng quát (general solution) của F = 0.
Giả sử η là một nghiệm tổng quát của F = 0. Khi đó, với mọi P ∈
K{y}, P(η) = 0 khi và chỉ khi P ∈ {F} : S. Sử dụng khái niệm phép giả chia vi phân (differential pseudo division) và giả dư vi phân (differential pseudo remainder) ta có thể kiểm tra khi nào P ∈ {F} : S. Ký hiệu prem(P, F) (prem là viết tắt của pseudo remainder) là phần dư của phép chia đa thức vi phân P cho đa thức vi phân F.