Chương 2 : Cơ sở lý thuyết
2.10. Phương trình mơ phỏng gia nhiệt lịng khn
Dịng chảy vật liệu trong nghiên cứu của luận án cho thấy tồn tại một giá trị Reynolds giới hạn (Reghd, với Re = uh/υ, trong đó u, h và υ là thành phần vận tốc, chiều dày dòng chảy, độ nhớt của vật liệu).
Trong luận án này, do dịng khí là chảy rối nên sử dụng mơ phỏng là mơ hình k-ε tiêu ch̉n [47,52], là mơ hình chảy rối phổ biến, tập trung vào cơ cấu gây ảnh hưởng tới động năng rối. Mơ hình k- ε chính tắc là mơ hình hai phương trình, một phương trình cho động năng rối k và một phương trình cho độ tiêu tán rối ε [52].
Theo hệ phương trình Navie-Stokes tức thời, nhân mỗi phương trình với thành phần vận tốc dao động thích hợp, đồng thời thực hiện một số phép biến đổi nhận được phương trình động năng rối k [52]. Ta có:
∂(ρk)
∂t + div(ρku) = div(- p̅̅̅̅ + 2μu'u' ̅̅̅̅̅ - ρ'eij' 1
2ui
'ui'uj'
̅̅̅̅̅̅̅) - 2μe̅̅̅̅̅̅'ijeij' - ρu̅̅̅̅̅i'uj'Eij
Trong đó: - ρu̅̅̅̅̅ là ứng suất Reynolds, Ei'uj' ij: gradient vận tốc trung bình, - 2μe̅̅̅̅̅̅ij' eij' : số hạng tiêu tán động năng rối do lực nhớt.
Độ phân tán động năng rối trên một đơn vị khối lượng (m2/s3) được biểu thị: ε = 2 υ e̅̅̅̅̅̅ij' eij'
(2.57)
42
Biểu thức (2.58) là thành phần phá hủy chính. Thực tế, khi số Reynolds cao, biến đổi k do ứng suất nhớt (2.57) luôn nhỏ hơn nhiều so với số hạng tiêu tán rối.
Một số giả thiết trong xây dựng các phương trình trong mơ hình k-ε: - Ứng suất Reynolds xác định thông qua mối liên hệ Boussinesq mở rộng:
- ρu̅̅̅̅̅i'uj'= μt (∂ui ∂xj+ ∂uj ∂xi )- 2 3 ρkδij
δij hệ số Kronecker delta; δij = 1 khi i = j và δij = 0 khi i ≠ j (- 2
3) ρkδij Động năng rối của một thành phần ứng suất Reynolds pháp
- Hệ số nhớt rối xác định theo phương pháp tương tự mơ hình chiều dài xáo trộn: μt= ρCμk
2
ε
- Trong biểu thức (2.57) số hạng biến đổi động năng rối do ứng suất nhớt (2μu̅̅̅̅̅'eij' )
là rất nhỏ so với số hạng tiêu tán rối nên có thể bỏ qua. Số hạng biến đổi động năng rối do áp suất (- p̅̅̅̅'u') và số hạng biến đổi k do ứng suất Reynolds được đánh giá
chung bởi biểu thức khuếch tán, bằng phép biến đổi ta có: ρ1
2u̅̅̅̅̅̅̅i'ui'uj'= Γt ∂k ∂xj Hệ số Γt = 𝜇𝑡
𝜎𝑘 với phương trình động năng rối, Γt = 𝜇𝑡
𝜎𝜀 với phương trình ε. - Phương trình tiêu tán động năng rối ε có dạng tương tự như phương trình động năng rối k, trong đó các số hạng tích lũy và phân tán rối của phương trình ε tỉ lệ thuận với các biểu thức tương ứng của phương trình k. Tích (C1εkε) và (C2εkε) được đưa vào các biểu thức tích lũy và phân tán của phương trình ε, trong đó C1ε và
C2ε là các hệ số điều chỉnh.
Từ phương trình (2.57) kết hợp với các giả thiết ta được hệ phương trình trao đổi k và ε của mơ hình k- ε chính tắc như sau:
∂(ρk)
∂t + div(ρku) = div[ μt
σk grad k]+ 2μtEijEij - ρε
∂(ρε)
∂t + div(ρεu) = div[ μt σε grad ε] + C1μ ε k 2μtEijEij - C2ερ ε 2 k Trong đó, các hằng số hiệu chỉnh trong nhiều loại dòng chảy rối là:
(2.59)
(2.60)
(2.61)
(2.62)
43
Cµ = 0.09; σk = 1.00; σε = 1.30; C1ε = 1.44; C2ε = 1.92
Điều kiện biên của các phương trình mơ hình k-ε
Trong mơ hình k-ε các phương trình có dạng elíp do có sự hiện diện của biểu thức gradient khuếch tán, do đó các điều kiện biên của mơ hình cụ thể [52]:
- Tại miệng vào: phân bố của k và ε phải được cho trước - Gần thành khn: phụ thuộc vào số Reynolds
Trong tính tốn thiết kế theo mơ hình k-ε, các điều kiện biên của k và ε được sử dụng theo trình tự từ các nguồn: thực nghiệm phép đo, các tài liệu công bố, phép gần đúng thô đối với phân bố của k và ε ở tiết diện đầu vào thông qua cường độ rối Ti và chiều dài đặc trưng L của thiết bị, hoặc từ các biểu thức thực nghiệm đơn giản:
k= 32 (UrTi)2; ε= Cμ
3 4 k32
l ; l = 0.07 L
Trong đó: Ur là vận tốc danh nghĩa của dịng khí
Trường hợp lớp biên gần thành khuôn, sử dụng biểu thức tổng quát về sự phân bố nhiệt độ với dịng khí có số Reynolds lớn sau:
T+= - (Tp- Tw)CpρUτ
qw = σT,t[U
++P(σT,l σT,t)]
Tp: nhiệt độ quanh yp gần thành khuôn, Tw: nhiệt độ thành khuôn, Qw: nhiệt lượng riêng thành khuôn, Cp: nhiệt dung riêng đẳng áp, σT,t: số rối của Prandtl, σT,l: số Prandtl; σT,l= μCΓp
T, ΓT: nhiệt dẫn xuất, P: hàm hiệu chỉnh phụ thuộc tỉ lệ số Prandtl Trường hợp lớp biên có số Reynolds nhỏ, các phương trình của k-ε được thay thế bởi các phương trình hiệu chỉnh như sau:
μt= ρCμfμk
2
ε ∂(ρK)
∂t + div(ρku) = div[(𝜇 + μt σk) grad k]+2μtEijEij - ρε ∂(ρε) ∂t + div(ρεu) = div[(μ+ μt σε)grad ε]+ C1εf12μtEijEij - C2εf2ρ ε 2 k
Các phương trình hiệu chỉnh trên có tính tổng qt bao gồm việc đưa thêm hệ số nhớt vào số hạng tiêu tán rối. Các hằng số Cµ, C1ε và C2ε trong mơ hình k-ε được nhân với các hàm số f1, f2 là các hàm số của số Reynolds rối.
(2.64)
(2.65)
(2.66)
44