2 Đại số Lie có chiều tồn phương bằng
2.3 Một số lớp đại số Lie tồn phương có chiều tồn phương bằng 2
tồn phương bằng 2.
Nội dung chính của phần này chúng tơi trình bày các tính chất cơ bản của một số lớp đại số Lie tồn phương có chiều tồn phương bằng 2, cụ thể như đại số Lie toàn phương lũy linh, đại số Lie toàn phương đầy đủ,...
2.3.1. Định lý.(xem [3]) Cho(A, T)là một đại số Lie toàn phương vàδ ∈ Dera(A, T)
là một tốn tử khả nghịch. Khi đó mở rộng kép (G, B) của (A, T) bởi δ có chiều tồn phương bằng 2.
Chứng minh. Vì (G, B) là mở rộng kép của (A, T) bởiδ nên G = Ke∗⊕A⊕Ke
(với Ke∗ = Z(G)). Gọi K là một dạng song tuyến tính đối xứng bất biến trên G. Đặtα = K(e, e), β = K(e, e∗). Khi đó với mọix ∈ A,ta có
K(e, x) =K(e,[e, δ−1x]) = K([e, e], δ−1x) = 0( do tính chất bất biến của K).
Tương tự K(e∗, x) = K(e∗,[e∗, δ−1x]) = 0 vì Ke∗ = Z(G) (theo Định lý 2.2.5). Bây giờ, nếu x, y ∈ Asao cho T(x, y) 6= 0thì
0 =K([δ−1x, y], e∗) =K([δ−1x, y]A, e∗)+T(x, y)K(e∗, e∗) =T(x, y)K(e∗, e∗)
Từ đây suy raK(e∗, e∗) = 0 hơn nữa, với mọix, y ∈ A chúng ta có:
K(x, y) = K(x,[e, δ−1y]) = K([δ−1y, x], e)
= T(x, y)K(e∗, e) =βT(x, y) = βB(x, y)
(vì(G, B) là mở rộng kép của (A, T) nên B(x, y) = T(x, y),∀x, y ∈ A). Do vậy, nếuS là dạng song tuyến tính được xác định bởi S(e, e) = 1, S(Ke∗⊕A,G) = 0 thì dễ dàng chứng minh được rằngK = αS + βB,do đó dimF(G) = 2.
Qua định lý trên ta thấy điều kiện khả nghịch của vi phân δ có thể thay thế bởi điều kiện khả nghịch tốt hơn trên cả [A, A] và Z(A). Thực chất hai điều kiện này được xem như tương đương với U = [A, A] +Z(A).
Giả sử (A, T) là đại số Lie toàn phương và δ ∈ Dera(A, T). Xét khơng gian con tuyến tính KìKìEnd(A) :
ε(A, T, δ) =
(
(α, λ, m, l) ∈ KìKìAìKer(δ)|δl = lδ = αδ+adA(m)
)
2.3.2. Định lý. (xem [3]) Gọi (G, B) là mở rộng kép của đại số Lie tồn phương
(A, T) bởi δ,giả sử Z(G) = Ke∗.Khi đó:
i) Nếu(α, λ, m, l) ∈ ε(A, T, δ)thì tự đồng cấu tuyến tínhD(α,λ,m,l) củaG được định nghĩa bởi:
D(α,λ,m,l)(e∗) = ([αe∗, x], e)
D(α,λ,m,l)(e) = ([αe∗+m +αe, x], e) D(α,λ,m,l)(a) = l(a) + T(m, a)e∗,∀a ∈ A
là một phần tử trong CentS(G, B).
ii) Sự tương ứng
φ :(A, T, δ) −→ CentS(G, B) (α, λ, m, l) 7−→D(α,λ,m,l)
là một ánh xạ đẳng cấu không gian vectơ. iii) Điều kiện cần và đủ để dq(G) = 2 là
ε(A, T, δ) ={(α, λ,0, l)|α, λ ∈ K}
2.3.3. Định lý. Cho(A, T)là một đại số Lie toàn phương lũy linh vàδ ∈ Dera(A, T)
là một toán tử khả nghịch trên Z(A). Xét A = K ⊕C là khai triển thích hợp của
A đối với δ và n là số nguyên dương sao cho K = Ker(δn) và C = δn(A).
Khi đó K = C⊥,[K, K] ⊂ K và [K, C] ⊂ C. Hơn nữa, nếu θ : A −→ K là phép chiếu của A vào K được định nghĩa bởi θ(k = c) = k.∀k ∈ K, c ∈ C thì
θ([C, C]) = K.
Chứng minh. Theo trên ta có δ(K) ⊂ K và δ(C) ⊂ C. Vì δ là đối xứng lệch với
T nênK = C⊥. Hơn nữa, [K, K] ⊂ K, vì với mọix, y ∈ K, ta có:
δ2n[x, y] = 2n X k=0 2n k ! [δkx, δ2n−ky] = 0⇒ [x, y] ∈ Ker(δ2n) =Ker(δn).
Do đó,[K, C] ⊂ C vì T bất biến và K = C⊥.
Tiếp theo, ta xét I = θ([C, C]) và chỉ ra rằng I là ideal của K. Thật vậy, lấy k ∈ K và x, y ∈ C. Nếu [x, y] = k1 + c1 (với (k1, c1) ∈ K ì C) thì
θ([x, y]) = [x, y]−c1. Nên
[k, θ([x, y])] = [k,[x, y]]−[k, c1] = [x,[k, y]] + [y,[x, k]] + [c1, k].
Vì [K, C] ⊂ C, nên [k, θ([x, y])] = θ[x,[k, y]] + [y,[x, k]] ∈ I. Suy ra I là ideal củaK. Bây giờ, ta xét tập hợp J = I⊥∩K, trong đó I⊥ là trực giao củaI đối với
T.Vì T bất biến nên J là ideal của K. Hơn nữa
T([J, C], C) =T(J,[C, C]) = T(J, I) ={0}
vì T(K, C) = {0}, nên [J, C] = {0} vì [K, C] ⊂ C và T|CìC khơng suy biến. Do đó, J là ideal của A. Nếu J 6= {0} thì J ∩Z(A) 6= {0}, điều này mâu thuận với tính khả nghịch củaδ trên Z(A). Vậy J = {0} nên K = I = θ([C, C])
2.3.4. Định lý. Giả sử (G, B) là mở rộng kép của đại số Lie toàn phương lũy linh
(A, T) bởi δ.Nếu dimF(G) = 2 thìδ khả nghịch trên ZA([A, A]).
Chứng minh. ĐặtA = K⊕C là khai triển thích hợp củaA,trong đóK = Ker(δn)
và C = δn(A). Giả sử ngược lại δ không khả nghịch trên ZA([A, A]) và ta lấy
m ∈ ZA([A, A]) ∩ Ker(δ). Khi đó m ∈ Z(K) vì CA([A, A]) ⊂ ZA(K). Gọi
l : A −→ Alà ánh xạ tuyến tính được xác định bởi:
l(k +c) = [m, δn−1(a)],∀k ∈ K,∀c = δ(a) ∈ δ(A).
Ta thấy ánh xạl được định nghĩa như trên khơng phụ thuộc vào phần tử đại diện, vì nếuc = δ(a) = δ(a1) thì ta có:
Mặt khác, K và C ổn định bởi δ, nên∀k ∈ K và ∀c = δn(a) ∈ C, ta có: lδ(k+c) = l(δ(k) +δ(c)) = l(δn+1(a)) = [m, δn(a)] = [m, c] = [m, k +c] δl(k+c) = δ[m, δn−1(a)] = [δ(m), δn−1(a)] + [m, δn(a)] = [m, δn(a)] = [m, k +c].
Suy ra lδ = δl = adA(m). Hơn nữa, vì l đối xứng vì ta kiểm tra điều đó với
δ(m) = 0 nhận được
T(l(k +δn(a)), k1 +δn(a1)) = T([m, δn−1(a)], δn(a1)) = −T(δ[m, δn−1(a)], δn−1(a1)) = Tk+δn(a), l(k +δn(a1))
Bây giờ ta chứng minh l[x, y] = [lx, y] = 0,∀x, y ∈ A. Thật vậy, vì l đối xứng đối với T nên đủ để kết luận [lx, y] = 0,∀x, y ∈ A. Giả sử x = k + c, với
k ∈ K, c= δn(a) ∈ C và y, z ∈ A,ta có:
T([lx, y], z) = T(lx,[y, z]) = T([m, δn−1(a)],[y, z]) = Tm,hδn−1(a),[y, z]i= 0⇒ [lx, y] = 0.
Nên 0 6= m ∈ Ker(δ) và l ∈ CentS(A, T) sao cho (0,0, m, l) ∈ ε(A, T, δ).
Điều này mâu thuận với Định lý 2.3.2 làdq(A) ≥3.
2.3.5. Định lý. Giả sử (G, B) là mở rộng kép của đại số Lie toàn phương lũy linh
(A, T) bởi δ. Đặt A = K ⊕C là khai triển thích hợp của A đối với δ và n là số nguyên dương sao cho K = Ker(δn) và C = δn(A). Khi đó δ khả nghịch trên
ZA(δn−1([A, A])) khi và chỉ khi δ khả nghịch trên ZA([A, A]).
Chứng minh. (⇒) Vì δ bảo toàn [A, A] nên ZA([A, A]) ⊆ ZA(δn−1([A, A])). Do đóδ khả nghịch trên ZA(δn−1([A, A])) thì nó khả nghịch trên ZA([A, A]).
(⇐) Giả sử ngược lại δ không khả nghịch trên ZA(δn−1([A, A])). Xét:
m ∈ ZA(δn−1([A, A]))∩Ker(δ).Với mỗik ∈ K;x, y ∈ C tồn tạia, a1 ∈ C sao choδn(a) =x, δn(a1) =y. Khi đó
T([m, k], θ[δn(a), δn(a1)]) = T([m, k],[δn(a), δn(a1)]) = −T(k,[m,[δn(a), δn(a1)]])
= T(k,[δn(a),[δn(a1), m]]) +T(k,[δn(a1),[m, δn(a)]])
= (−1)nT([δn([δn(a), k]), m], a1) + (−1)nT([δn([k, δn(a1)]), m]) = 0
vìδ[A, A] ⊂ [A, A]và m ∈ ZA(δn−1([A, A])).
Mặt khác, K = θ([C, C]) và T|KìK khơng suy biến nên [m, k] = 0
⇒ m ∈ Z(K) ⇒ m ∈ Z(Ker(δ)). Vì m ∈ ZA(δn−1([A, A])) ∩ Ker(δ)
nênδn−1([m,[x, y]]) = [m, δn−1([x, y])] = 0,∀x, y ∈ A.
⇒ [m,[x, y]] ∈ Ker(δn−1) = K. Nói cách khác, nếu x, y ∈ A và [x, y] = k+ c
vớik ∈ K, c ∈ C và m ∈ Z(K), khi đó [m,[x, y]] = [m, c] ∈ [K, C] ⊂C.
Vậy [m,[x, y]] ∈ [K, C] = {0} ⇒ m ∈ ZA([A, A])∩Ker(δ).
Theo đinh lý 2.3.4 ta thấy điều kiện đủ để δ được cho trong định lý 2.3.4 là khơng cần thiết. Ví dụ sự mở rộng của đại số Lie toàn phương giải được (G, B)
với dq(G) = 2 và ở đó (G, B) là mở rộng kép của đại số Lie toàn phương lũy linh
(A, T) bởi δ ∈ Dera(A, T) là khơng khả nghịch trên tồn bộ A.
2.3.6. Hệ quả. Giả sử(V, B)là khơng gian vectơ có dạng song tuyến tính khơng suy biến và δ là tự đồng cấu phản xứng của V. Gọi U là khơng gian con tuyến tính của
V ổn định bởi δ và U⊥ ⊂ U. Nếu δ khả nghịch trên U thì δ khả nghịch trên tồn thể V.
Chứng minh. Vì U⊥ hồn tồn đẳng hướng và B khơng suy biến nên tồn tại không gian conW của V sao cho V = U ⊕W và thỏa mãn B(w, U⊥) = {0}, w ∈ W
chỉ có thể nếu w = 0.
Xét vectơ v = u + w ∈ V với u ∈ U, w ∈ W và giả sử δ(v) = 0 do đó
định bởiδ nênU⊥ cũng ổn định bởiδ.Do đóδ(U⊥) = U⊥.Khi đó với mỗia ∈ U⊥
ta cóB(δ(a), w) = −B(a, δ(w)) = 0.Điều này chứng tỏ w trực giao với U⊥ nên
w = 0.
2.3.7. Hệ quả. Giả sử(A, T)là đại số Lie toàn phương lũy linh vàδ ∈ Dera(A, T)
khả nghịch trên Z(A). Xét A = K ⊕C là khai triển thích hợp củaA đối với δ và
nlà số nguyên dương sao choK = Ker(δn)vàC = δn(A).Vi phânδ khả nghịch trên Akhi và chỉ khi C là đại số con của A.
Ví dụ 4. GọiA là khơng gian tuyến tính được tạo bởi 8 vectơ {xi, fi|1 ≤ i ≤4}là một đại số Lie với tích Lie được xác định như sau:
[x1, xi] = xi+1,2 ≤ i ≤3 [x1, fi] = −fi−1,3≤ i ≤ 4 [xi, fi+1] = fi,2 ≤ i ≤ 3
và gọiT là một dạng song tuyến tính trên A được xác định bởi
T(xi, xj) = T(fi, fj) = 0,∀i, j
T(xi, fj) = 0,∀i 6= j T(xi, fi) = 1,∀i ≤ 4.
Khi đó, cặp (A, T) là một đại số Lie tồn phương lũy linh. Tự đồng cấu tuyến tính
δ củaA được xác định như sau
δ(x1) = x1, δ(x2) =−x2 , δ(x3) = 0, δ(x4) =x4 δ(f1) = −f1, δ(f2) = f2 , δ(f3) = 0, δ(f4) =−f4
là một đạo hàm phản xứng của(A, T).
Vì Z(A) được tạo bởi {x4, f1} nên rõ ràngδ khả nghịch trên Z(A) vì Z(A)∩
ker(δ) = {0}.Tuy nhiênZ2(A)∩ker(δ) 6= {0},vì x3, f3 ∈ Z2(A)∩ker(δ),do vậy δ khơng khả nghịch trên Z2(A). Vì vậy, mở rộng kép (G, B) của (A, T) bởi δ
Theo Định lý 2.2.5, ta có mở rộng kép của đại số Lie tồn phương lũy linh bởi một đại số Lie đơn là một đại số Lie toàn phương đầy đủ. Tiếp theo trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của đại số Lie tồn phương đầy đủ có chiều tồn phương bằng 2.
2.3.8. Định lý. (xem [3]) Một đại số Lie toàn phương là đầy đủ khi và chỉ khi tâm của nó bằng 0.
2.3.9. Định lý. (xem [3]) Cho (A, T) là đại số Lie toàn phương và S đại số Lie đơn. Giả sử tồn tại biểu diễn ψ : S −→ Dera(A, T). Gọi (G, B) là mở rộng kép G = S∗ ⊕ A ⊕ S của (A, T) bởi S theo ψ. Xét khơng gian con tuyến tính
E = K ìK ìHomS(S, A)ìCentS(A, T) được cho bởi:
ε(A, T, S, ψ) = {(α, λ, F, l) ∈ E|l◦ψ(x) = ψ(x)◦l = αψ(x)adAF(x),∀x ∈ S}.
Khi đó ta có:
i) Nếu (α, λ, F, l) ∈ ε(A, T, S, ψ) thì tự đồng cấu tuyến tính D(α,λ,F,l) được xác định bởi:
D(α,λ,F,l)(f) = αf,∀f ∈ S∗
D(α,λ,F,l)(a) = T(a, F(.)) +l(a),∀a ∈ A D(α,λ,F,l)(x) = λκ(x, .) +F(x) +αx,∀x ∈ S
trong đóκ ký hiệu là dạng Killing của G, là một phần tử trong CentS(G, B).
ii) Sự tương ứng
φ : ε(A, T, S, ψ) −→ CentS(G, B) (α, λ, F, l) 7−→ D(α,λ,F,l)
là một ánh xạ đẳng cấu không gian vectơ. iii) Điều kiện cần và đủ để dq(G) = 2 là
ε(A, T, S, ψ) = {(α, λ,0, αidA)|α, λ ∈ K}
Sau đây ta đưa ra một số ví dụ chứng tỏ lớp đại số Lie tồn phương đầy đủ ln tồn tại.
Ví dụ 5. Cho S là đại số Lie đơn, khi đó mở rộng kép G = S ⊕ S∗ của {0} qua phép biểu diễnψ = 0 có số chiều tồn phương bằng 2.
Ví dụ 6. Cho S = sl(2) và A là sl(2)− module bất khả quy khác 0 sao cho
dim(A) = 2k + 1, k ≥ 2. Vì A đẳng cấu với A∗ (trong đó A∗ là sl(2)− module đối ngẫu của A). Nếu tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến
T : A −→K và T cũng là sl(2)− bất biến, có nghĩa là
T(x, a, a1) = −T(a, x, a1),∀x ∈ sl(2);a, a1 ∈ A.
Vì A là đại số Lie giao hốn và ánh xạ ψ : sl(2) −→ gl(A) là phép biểu diễn củasl(2) kết hợp với sl(2)−module trong A.Khi đó, nếu G là mở rộng kép của
(A, T) bởi sl(2) qua phép biểu diễn ψ thì dq(G) = 2.
Hơn nữa, nếuA là sl(2)− module sao cho mọisl(2)−module con của Akhác khơng và có số chiều lớn hơn 4 thì A nhận một dạng song tuyến tính T đối xứng, khơng suy biến và T là sl(2)− bất biến. Theo kết quả Định lý trên thì mở rộng kép của đại số Lie giao hốn tồn phương (A, T) bởi sl(2) qua phép biểu diễn
Kết luận
Luận văn có mục đích tìm tịi, nghiên cứu một số tính chất cơ bản của đại số Lie tồn phương có chiều tồn phương bằng2. Trong luận văn này chúng tơi đã nghiên cứu các vấn đề sau:
1. Trình bày lại một số khái niệm và kết quả về lý thuyết đại số Lie tổng quát. Phát biểu định nghĩa về đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được và đại số Lie nửa đơn; tiêu chuẩn lũy linh (Định lý 1.2.4), tiêu chuẩn Cartan đối với đại số Lie lũy linh (Định lý 1.2.7); tiêu chuẩn giải được (Định lý 1.3.5), tiêu chuẩn Cartan đối với đại số Lie giải được (Định lý 1.3.8); tiêu chuẩn Cartan đối với đại số Lie nửa đơn (Định lý 1.4.3) và Định lý H. Weyl, Định lý Cartan - Levi - Malsev đối với đại số Lie nửa đơn tương ứng trong luận văn là Định lý 1.4.9, 1.4.10.
2. Trình bày định nghĩa về đại số Lie tồn phương; chiều toàn phương của một đại số Lie tồn phương và một số tính chất cơ bản liên quan đến đại số Lie toàn phương. Khái niệm về đại số Lie tồn phương địa phương và một số tính chất của nó (Định lý 2.2.2, 2.2.3,), một số tính chất nói lên mối quan hệ giữa đại số Lie toàn phương địa phương và đại số Lie giải được, đại số Lie đầy đủ (Định lý 2.2.4, 2.2.5). 3. Phần cuối của luận văn chúng tôi xét một số lớp đại số Lie tồn phương có chiều tồn phương bằng 2, cụ thể đó là đại số Lie toàn phương lũy linh và đại số Lie tồn phương đầy đủ. Các kết quả đó được thể hiện trong các định lý như Định lý 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4, 2.3.9 và một số ví dụ minh họa.
Tài liệu tham khảo
1. Tiếng Việt
[1]. Đỗ Ngọc Diệp (2012), Lý thuyết nhóm Lie, Bài giảng Sau đại học, Viện Toán học Việt Nam.
[2]. Cao Trần Tứ Hải, Dương Minh Thành (2015), Số Betti và không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie tồn phương giải được có số chiều≤ 7. Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, Số 5(70), tr86 - tr96.
2. Tiếng Anh
[3]. Ignacio Bajo, Said Benayadi (2007), Lie Algebras with quadractic dimension equal to 2, Journal of Pure and Applied Algebara, 209, 725 - 737.
[4]. M. Brodemann (1997), Nondegenerate ivariant bilinear forms on nonassocia- tive algebras, Acta. Math. Uni. Comenianac, XLVI(2), 151 - 201.
[5]. J. M. Figueroa and S. Stanciu (1996), On the structure of symplectic seltdual Lie algebras, J. Math. Phys, 37(8), 4121 - 4134.
[6]. V. Kac (1985), Infinite - dimensional Lie algebras, Cambrigde University Press, New York.
[7]. G. Pinczon and R. Ushirobira (2007), New Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras and Cohomology, J. Lie Theory, 17, pp. 633 - 667.
[8]. Duong Minh Thanh. (2013), Two - step nilpotent qudratic Lie Algebras and 8 - dimensional non - commutative symmetric Novikov algebras, Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 41(2), pp. 135 - 148.