3.3.1 Xây dựng Bộ điều khiển phản hồi trạng thái bằng phương pháp gán điểm cực
Với bộ điều khiển R tĩnh hệ kín sẽ có mô hình:
( ) ( ) dx Ax Bu Ax B Rx A BR x B dt u Rx
Trước hết kiểm tra tính điều khiển được của đối tượng thông qua tiêu chuẩn Kalman hoặc tiêu chuẩn Hautus.
Sau khi hệ có tính điều khiển được thì có thể hoàn toàn thiết kế được bộ điều khiển gán điểm cực.
Đối với hệ tuyến tính thì điểm cực đóng vai trò rất quan trọng:
Nếu tất cả các điểm cực đều nằm bên trái trục ảo thì hệ sẽ ổn định
Các điểm cực càng xa trục ảo về phía bên trái thì quá trình quá độ của hệ càng ngắn, tức là quán tính của hệ càng nhỏ
Nếu hệ có ít nhất một điểm cực ở gốc tọa độ thì hệ có chứa thành phần tích phân do đó hệ ở trạng thái biên giới ổn định.
Trần Đình Thiêm- Nguyễn Văn Sơn. KSTN-ĐKTĐ-K55 Trang 27 Chính vì vậy khi có yêu cầu về chỉ tiêu chất lượng ta tìm tất cả các điểm cực mong muốn sao cho hệ đạt được chỉ tiêu đề ra.
Bài toán thiết kế là: Xác định luật điều khiển với u Rx, R[r r ...r ]1 2 n để hệ kín nhận được các điểm cực là s s1, ,...2 sn là các điểm cực của hệ kín, biết mô hình trạng thái của đối tượng điều khiển là x Ax t( )Bu t( ).
Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển
Hình 3. 1 Cấu trúc hệ thống điều khiển theo phương pháp gán điểm cực
Ta phải đi tìm ma trận R để det(sI (A BR ))(s s 1)(s s 2)....(s s n)(1)
Phương pháp giải:
Cách 1: Đặt các phần tử của R là biến. Sau đó tính det(sI-A+BR) rồi cân bằng hệ số 2
vế của (1) ta thu được các phương trình để tìm các phần tử của R. Cách này khá lâu và khó viết thành thuật toán
Cách 2: Dùng phương pháp Ackermann là phương pháp thiết kế bộ điều khiển gán
điểm cực R theo nguyên lý phản hồi trạng thái cho đối tượng chỉ có một tín hiệu vào
Tính các hệ số ai của phương trình đặc tính cần phải có của hệ kín từ những giá trị điểm cực si đã cho theo:
2 1 1 2 0 1 2 1 ( ) ( )( )....( n) ... n n n A s s s s s s s s s s s 2 1 0 1 2 1 ( )A I A A ... n An An Bộ điều khiển R cần tìm sẽ là: R [0...1].SB1. ( ) A Cách 3: Sử dụng Matlab để tìm K theo lệnh K=acker(A,b, pole(Gs))
Trần Đình Thiêm- Nguyễn Văn Sơn. KSTN-ĐKTĐ-K55 Trang 28
Kết quả mô phỏng:
Nhận xét:
Đối tượng động cơ chưa có bộ điều khiển thì chưa đạt giá trị đặt (sai lệch tĩnh lớn)
Sau khi có bộ điều khiển gán điểm cực thì chất lượng động học của hệ đã được cải thiện: không có độ quá điều chỉnh, giá trị đầu ra đã nhỉnh hơn nhưng không đáng kể. Tuy nhiên vẫn còn sai lệch tĩnh đối với giá trị đặt và với nhiễu. Vì thế ta dùng thêm một bộ lọc để khắc phục thì chất lượng động học của hệ cải thiện đáng kể: sai lệch tĩnh triệt tiêu, không tồn tại quá trình quá độ, thời gian đáp ứng 40s.
3.3.2 Thiết kế các bộ quan sát trạng thái
Bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra được thay bằng bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái và bộ điều khiển phản hồi trạng thái.
Lợi ích của việc sử dụng khâu quan sát trạng thái: Giảm bớt cảm biến đo các biến trạng thái.
Ước lượng được các biến trạng thái không thể đo được. Nhược điểm của việc sử dụng khâu quan sát trạng thái
Trần Đình Thiêm- Nguyễn Văn Sơn. KSTN-ĐKTĐ-K55 Trang 29 Mất nhiều thời gian hơn.
Yêu cầu đối với khâu quan sát trạng thái: phải có động học nhanh hơn bộ điều khiển phản hồi trạng thái và phải chính xác.
Sơ đồ cấu trúc của bộ quan sát Luenberger
Nhiệm vụ thiết kế là xác định L để có được yêu cầu x t( ) x t( )sau một khoảng thời gian T đủ ngắn (nhanh hơn so với bộ điều khiển phản hồi trạng thái).
Ta có sai lệch mô hình là e t( ) x t( )x t( )
Suy ra: e t( )x t( )x t( ) A e t. ( )LC e t. ( )(A LC e t ) ( )
Để e t( ) 0 thì ma trận ALC phải là ma trận bền, tức là có các giá trị riêng có phần thực âm (giống như các điểm cực). Do đó tốc độ tiến về 0 càng nhanh khi các giá trị riêng càng nằm xa trục ảo về phía bên trái.
Hơn nữa giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị nên việc tìm L để ALCcó được giá trị riêng mong muốn cũng đồng nghĩa tìm LT để
(A LC )T AT C LT T nhận những giá trị riêng đó.
Vì yêu cầu bộ quan sát phải nhanh hơn động học của hệ kín nên chọn các điểm cực nằm ở xa trục ảo hơn so với các điểm cực của hệ kín (các điểm cực dùng để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái) về phía trái. Và công việc tính toán LT cũng giống với R nhưng cho đối tượng đối ngẫu: x t( ) A x tT. ( )C u tT. ( )
3.3.3 Thiết kế Bộ điều khiển LQR
a) Lý thuyết
- Bài toán: Cho hệ tuyến tính có mô hình trạng thái là x t( ) A x t. ( )B u t. ( ). Tìm bộ điều khiển làm hệ ổn định tối ưu, theo nghĩa là sau một tác động tức thời đưa hệ ra khỏi điểm cân bằng 0 (tại gốc tọa độ) thì bộ điều khiển sẽ kéo hệ quay về 0 với năng lượng tổn hao tính theo
0 1 min 2 T T Q x E x u Fu dt
Trong đó E là ma trận xác định không âm, F là ma trận xác định dương
- Giải bài toán: Áp dụng phương pháp biến phân thì bộ điều khiển LQR sẽ được tìm như sau:
Trần Đình Thiêm- Nguyễn Văn Sơn. KSTN-ĐKTĐ-K55 Trang 30 + Bước 1: Tìm K đối xứng xác định bán âm từ phương trình đại số Riccati:
1
. . . . T .
K B F B K A K K A E
+ Bước 2: Bộ điều khiển LQR là RLQR F1. .B K
+ Bước 3: Kiểm tra tính ổn định của hệ kín
Nhược điểm:
Đối tượng phải đảm bảo tính chính xác của mô hình
Nếu có sai lệch thì phải chứng minh tính hội tụ của thuật toán Không tồn tại nhiễu
- Trong Matlab có hỗ trợ việc tính toán bộ điều khiển LQR như sau: [R,K,e] = lqr(SYS,E,F,N)
[R,K,e] = LQR(A,B,E,F,N)
Trong đó: SYS là đối tượng tuyến tính
N được chọn bằng 0 (vì trong Matlab chọn phiếm hàm mục tiêu là
0 1 2 min 2 T T T Q x E x u F u x N u dt )
Trần Đình Thiêm- Nguyễn Văn Sơn. KSTN-ĐKTĐ-K55 Trang 31
CHUYÊN ĐỀ 4: ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN