II. Các bài tốn cĩ điều kiện là đẳng thức kết hợp bất đẳng thức
a.Chứng minh hai tam giác CEM và CNE đồng dạng =>
=>
2
CE CN
CM.CN CE
CM = CE ⇒ = (1)
Chứng minh ∆CEO vuơng tại E ,đờng cao EI => CI.CO = CE2 (2) Từ (1) và (2) => CM.CN = CI.CO b) CM.CN CI.CO CM CO CI CN = ⇒ =
Từ đĩ chứng minh hai tam giác CMI và CON đồng dạng theo T.H (cgc)
=> CIM CNOã =ã => Tứ giác MNOI nội tiếp => MNO AIMã = ã (cùng bù với MIOã )
OMN BINã =ã (2gĩc nội tiếp cùng chắn cung NO)
ã ã
MNO OMN= (Tam giác MNO cân tại O) => AIM BINã = ã
c)
C/M: Hai tam giác MIE va FID đồng dạng
DI I N M O B A E F C
=> IM.ID =IE.IF
Tam giác CEO vuơng tại E (câu a) => IC.IO = IE2 = IE.IF
=> IM.ID = IC.IO =>MI IO
IC =ID
Từ đĩ chứng minh :∆MIC: ∆OID(c.g.c) =>ãICM IDO=ã
hay OCM ODMã =ã
=> Tứ giác CMOD nội tiếp =>OCD OMDã =ã (2 gĩc nội tiếp cùng chắn cung OD) OCM ODMã =ã (2 gĩc nội tiếp cùng chắn cung OM)
ã ã
ODM OMD= ( Tam giác OMD cân tại O)
=>OCD OCMã =ã => CO là tia phân giác của ãMCD
Bài 2
Cho nửa đờng trịn (O; R) đờng kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đờng trịn đĩ. Gọi M là điểm di động trên cung AB (M ≠A; M≠ B). Tiếp tuyến tại M với (O; R) cắt Ax, By lần lợt tại C, D.
a, Gọi N là giao điểm của OD và nửa đờng trịn (O, R). Chứng minh rằng N là tâm đ- ờng trịn nội tiếp tam giác MBD
b, Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ.
a, Gọi K là giao điểm của OD với MD Chứng minh đợc OD ⊥ MB
Ta cĩ ãKBN BNK+ã =90 ;0 NBD NBOã +ã =900
mà ãBNK NBO=ã (∆ONB cân tại O) ⇒ KBN NBDã =ã ⇒ BN là phân giác của MBDã (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lại cĩ DN là phân giác của ãBDN ⇒ N là tâm đờng trịn nội tiếp ∆BMD b,Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Ta cĩ MH ≤ MO = R
Vẽ AE // CD (E ∈ BD) ⇒ CD = AE Mà AE ≥ AB = 2R (vì AB ⊥ BE) ⇒ SABDC = 1 2 (AC + BD).AB = 1 2(CM + DM).2R = R.CD = R.AE ≥ R.2R = 2R2 SMAB = 1 2 MH.AB = R.MH ≤ R.R = R2
Do đĩ SABDC - SMAB ≥ 2R2 - R2 = R2 ⇒ SACM + SBDM ≥ R2
H E E N K D C O A B M
Dấu "=" xảy ra ⇔ E B
H O
≡ ≡
⇔ M là giao điểm của đờng thẳng đi qua O, vuơng gĩc với
AB và (O)
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là R2