M =a ab ab a: a2 2b 22 a ba b ab
2. Cách dựng :Kéo dài OM thêm đoạn MD= OM ,rồi từ D kẻ đường thẳng song vớ
− Dựng đoạn thẳng AD = 2m.
− Dựng hai gĩc kề cạnh đĩ là ·DAC = β và ·ADC = α
,hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Sau đĩ ta vẽ trung tuyến CA của tam giác ACD và kéo dài thêm một đoạn MB =MC ,từ đĩ xác định đỉnh B của tam giác ABC cần dựng .
3. Chứng minh:Theo cách dựng này ,rõ ràng tam giác AMB và tam giác DMC bằng
nhau(c,g,c).Từ đĩ AM =
2
AD
= m , µA1=Dµ = α , µA2= β.Cho nên ,tam giác ABC
dựng được thoả mãn đầy đủ các yêu cầu đề bài .
4. Biện luận :Trên đây ta nĩi hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Thực ra là chúng
chỉ giao nhau nếu α + β < 2v .Do đĩ bài tốn luơn giải được và cĩ một nghiệm
hình.
Thí dụ 3: Cho một gĩc xOy và một điểm M ở bên trong gĩc ấy .Dựng một đoạn
thẳng AB sao cho A∈Ox , B∈Oy và M là trung điểm của AB.
1. Phân tích :Giả sử bài tốn giải xong và ta đã dựng được đoạn thẳng AB thoả mãn
yêu cầu của đề bài là A ∈Ox, B ∈Oy và M là trung điểm của AB.
Nếu kéo dài OM thêm đoạn MD = OM thì
∆AMO = ∆BMD(c,g,c) ⇒Oµ 1= Dµ .Từ đĩ , DB P Ox .Ngược lại, nếu từ D kẻ DB POx
(B ∈Oy ,rồi BM đến cắt Oxtại A thì ∆AMO =∆BMD (g,c,g) với M¶ 1= M¶ 2 (i
nh) ,Mả 1= Dà (so le trong ,DB POx) và MD =OM (do dựng ),từ đĩ AM = MB.
2. Cách dựng :Kéo dài OM thêm đoạn MD= OM ,rồi từ D kẻ đường thẳng song với
Ox ,cắt Oy tại B.Tiếp đến kẻ BM cho đến cắt Ox tại A thì M là trung điểm của AB. 3. Chứng minh: ∆AMO và ∆BMD cĩ : ¶ M 1=M¶ 2 (đối đỉnh) MO = MD (cách xác` định điểmD) µ
O1= MDB· (so le trong –DB P Ox) Do đĩ :∆AMO = ∆BMD (g,c.g)
⇒ AM = MD.
4.Biện luận : Bài tốn luơn cĩ một nghiệm.
Phụ chú :Bài tốn cĩ thể phân tích cách khác : Kẻø MNPOx (N∈Oy) thì MN=
2
OA
.Ngược lại,
nếu kẻ MNPOx(N∈Oy),và lấy điểm A trên Ox sao
cho OA = 2MN,rồi kẻ AM đến cắt Oy tại B thì cĩ
AM =MB.Quả vậy ,gọi B là trung điểm của OA ⇒OP
= PA⇒PMPON.Vậy BM phải đi qua trung điểm của AB,tức AM = MB .
Qua phân tích này ta thấy rõ cách dựng và chứng minh .Bài tốn luơn cĩ một nghiệm .
Thí dụ 4 :Cho một gĩc xOy và hai điểm A,B .Dựng một điểm cách đều hai
cạnh Ox,Oy và cách đều hai điểm A,B. 1. Phân tích :
Giả sử bài tốn đã giải xong và ta đã dựng được điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy và cách đều hai điểm A,B ,nghĩa là cĩ MH = MK (MH⊥Ox,H∈Ox, MK⊥Oy,K∈Oy) và
MA=MB.
Vậy M vưà thuộc tia phân giác Ot của xOy, vừa thuộc đường trung trực d của AB nên M là giao điểm của Ot và d .
2. Cách dựng :
Dựng tia phân giác Ot của gĩc xOy và đường trung trực d của AB ,d cắt Ot tại M. M là điểm cần dựng.
3.Chứng minh :
M∈Ot nên MH = MK . M∈d nên MA = MB.
4.Biện luận :
a. d cắt Ot nếu AB khơng vuơng gĩc với Ot .Bài tốn cĩ một nghiệm hình . b. Nếu AB ⊥ Ot và OA≠OB thì Ot P d :Bài tốn vơ nghiệm.
c. Nếu AB⊥Ot và OA = OB thì d ≡ Ot .Bài tốn cĩ vơ số nghiệm,nghĩa là bất kỳ điểm nào của Ot cũng vừa cách đều hai cạnh Ox và Oy,vừa cách đều A và B.
Thí dụ 5 :Cho một gĩc nhọn xOy và một điểm A trên Oy.Tìm một điểm M trên
1. Phân tích :Giả sử bài tốn đã giải xong và ta đã dựng được điểm M theo
yêu cầu của đề bài.
Kẻ PNPAM và PN = AM thì AN P NP ,
Cĩ nghĩa là AN ⊥Ox (1) Mặt khác PN = AM = OP nên tam giác OPN cân :
µ
O1=µN1
Mà Oµ 2 = Nµ 1(gĩc so le trong-
PNPOy) NênOµ 1=Oµ 2.
Điều đĩ cĩ nghĩa là N nằm trên tia phân giác của gĩc xOy .
Theo (1) thì N nằm trên đường thẳng vuơng gĩc với Ox hạ từ A.Vậy N là giao điểm của đường thẳng đĩ với tia phân giác của gĩc xOy . Vị trí N hồn tồn xác định .,do đĩ dựng được.
2. Cách dựng :Kẻ tia phân giác Ot của gĩc xOy và từ A ,kẻ đường thẳng
vuơng gĩc với Ox , cắt Ot tại N .Từ N kẻ NPPOy ,cắt Ox tại P .Từ P kẻ đường thẳng vuơng gĩc với Ox, cắt Oy tại điểm N cần dựng .
3. Chứng minh :NP POy nên µN1= Oµ 2 (so le trong )
Mà Ot là tia phân giác :Oµ 1=Oµ 2.
Từ đĩ :Oµ 1=µN 1⇒ Tam giác OPN cân tại P : OP = PN.
MP và AN cùng vuơng gĩc với Ox nên MPP AN .
Do đĩ: PN = AM (đoạn thẳng song song bị chắn bởi hai đường thẳng song song). (2)
Từ (1),(2) suy ra: OP = AM.
4. Biện luận : Gĩc xOy nhọn nên tia phân giác Ot cắt đường thẳng kẻ từ A
vuơng gĩc với Ox tại một điểm N duy nhất.Do đĩ bài tốn cĩ một nghiệm hình .
BÀI TẬP
Bài 1:Cho tam giác ABC vuơng cân, cạnh huyền BC = 2a khơng đổi .Gọi H là trung điểm
của BC .
1. Hãy dựng điểm M trên đoạn AH sao cho khoảng cách từ M đến BC bằng tổngkhoảng cách đến AB và AC .