§3 LÝ THUYẾT MẶT
14. PHÂN LOẠI ĐIỂM TRÊN MẶT
- Nếu các đường u-tham số và v-tham số là các đường tiệm cận thì ( ', ')u v (1,0) và ( ', ')u v (0,1) phải thỏa phương trình (*). Suy ra: LN0.
- Ngược lại, các đường u-tham số và v-tham số là các đường tiệm cận tại một điểm khi và chỉ khi 0
LN .
14. PHÂN LOẠI ĐIỂM TRÊN MẶT Nhận xét Nhận xét
Cho r u v( , ), ( , )r* là hai tham số của (S). Gọi L M N, , là hệ số dạng toàn phương cơ bản thứ hai ứng với ( , )r u v . Gọi L M N*, *, *là hệ số dạng toàn phương cơ bản thứ hai ứng với r*( , ) .
Ta có: LL*(u')2 2M* u'. u' N*(u')2
M L*(u')( v') M*( u' v' u' v') N*(u')(v')
NHĨM 2 – LỚP SƯ PHẠM TỐN – VB2 Trang 38 Suy ra: 2 * * * 2 2 0 ( , ) ( ) .( ) ( , ) u v L N M LN M (14.1.1) 14.1. Định nghĩa
Cho mặt định định hướng (S) có tham số r u v( , ) và aS. - Điểm a được gọi là điểm elliptic nếu 2
0
LNM . - Điểm a được gọi là điểm hyperbolic nếu 2
0
LNM . - Điểm a được gọi là điểm parabolic nếu 2
0 & ( , , ) 0
LNM L M N . - Điểm a được gọi là điểm phẳng nếu LM N 0.
Ghi chú:
- Do (14.1.1), ta thấy rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào tham số của mặt. - a là điểm Elliptic khi và chỉ khi tại a dạng cơ bản thứ hai xác định dương. - a là điểm Hyperbolic khi và chỉ khi tại a dạng cơ bản thứ hai xác định âm.
14.2. Dáng điệu của mặt tại các điểm elliptic, hyperbolic, parabolic, điểm phẳng so với mặt phẳng tiếp xúc
NHĨM 2 – LỚP SƯ PHẠM TỐN – VB2 Trang 39
khoảng cách đại số từ M đến mặt phẳng tiếp xúc T Sa tại a là:
2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) . 1 ( ) . . 2 1 . . ( ) . . 2 d r u u v v r u v n d r d r u v n d r n d r n u v n
Do d r nằm trong mặt phẳng tiếp xúc T Sa nên d r n. 0 và lim 0
M a
nên trong lân cận điểm a ta có: 1 2 1 2 2
. ( . 2 . . . )
2 2
d d r n L u M u v N v
- a là điểm Elliptic khi 2
0
LNM . Khi đó d chỉ có một dấu với mọi u, v hay điểm M ln nằm về một phía của mặt phẳng tiếp xúc tai a.
- a là điểm Hyperbolic khi LNM2 0. Khi đó d triệt tiêu và đổi dấu hai lần ứng với hai phương
1 1 2 2
( u, v),( u , v ). Như vậy (S) cắt phẳng tiếp xúc theo hai đường thẳng đi qua a có phương lần
NHĨM 2 – LỚP SƯ PHẠM TỐN – VB2 Trang 40 2 0 LNM
- a là điểm Parabolic khi 2
0
LNM và 2 2 2
0
L M N . Khi đó d triệt tiêu theo phương
0 0
( u , v ) và không đổi dấu với mọi ( u, v) khác với ( u0, v0) và như vậy (S) cắt phẳng tiếp xúc theo theo một đường thẳng đi qua a có phương là ( u0, v0).
NHĨM 2 – LỚP SƯ PHẠM TỐN – VB2 Trang 41
- a là điểm phẳng nếu LM N 0. Khi đó d 0, ( u, v) và như vậy bậc tiếp xúc của (S) và mặt phẳng tiếp xúc T Sa cao hơn những trường hợp Elliptic, Hyperbolic, Parabolic.
Nhận xét
Ta có dấu của độ cong pháp tuyến kn như sau:
2 2 2 2 ( ') 2 ( ')( ') ( ') ( ') 2 ( ')( ') ( ') n L u M u v N v k E u F u v G v .
Do E u( ')22 ( ')( ')F u v G v( ')2 0, u v', ' nên dấu của kn phụ thuộc vào dấu của
2 2
( ') 2 ( ')( ') ( ')
L u M u v N v . Mà dấu của L u( ')22M u v( ')( ')N v( ')2 lại phụ thuộc vào dấu của
2 2
( )
M LN LN M
nên tại điểm a đang xét là: - Elliptic hay 2
0
LNM thì kn ln cùng dấu với L. - Hyperbolic hay 2
0
LNM thì kn bị thay đổi dấu.
- Elliptic hay LNM20 thì kn luôn cùng dấu với L và triệt tiêu dọc theo phương Lu'Mv'0.
NHĨM 2 – LỚP SƯ PHẠM TỐN – VB2 Trang 42 Ví dụ: Cho mặt xuyến (T), có tham số:
( , ) (( sin ).cos , ( sin ).sin , cos ), , ( , ) (0, 2 ) (0, 2 ).
r b a b a a b a
Ta có: L (b asin )sin , M 0,Na, khi đó LNM2 a b a( sin )sin . Do 0 a b
nên a a b( sin ) 0. Như vậy dấu của 2
LNM phụ thuộc vào dấu của sin. - Nếu (0, ) thì LNM2 sin0, ta có điểm elliptic.
- Nếu ( , 2 ) thì LNM2 sin0, ta có điểm hyperbolic. - Nếu 0, thì LNM2 sin0, ta có điểm parabolic. 1.