Chúng tôi nhắc lại khái niệm về dưới vi phân của một hàm thực liên tục, khái niệm này đóng vai trị như ánh xạ gradient trong trường hợp hàm trơn [78]. Bên cạnh đó là một số kết quả trong Tối ưu các hàm thuần [42]. Những kết quả này sẽ được sử dụng trong chương 4.
Định nghĩa 1.3.1. (i) Dưới vi phân Fréchet ∂ˆf(x) của hàm liên tục f : Rn → R
tạix ∈ Rn được cho bởi ˆ ∂f(x):= v ∈ Rn | lim inf khk→0,h6=0 f(x+h)− f(x)− hv,hi khk ≥0 ;
(ii) Dưới vi phân giới hạn của f tại x ∈ Rn, ký hiệu là ∂f(x), là tập hợp các điểm tụ của dãy{vk}k≥1 sao chovk ∈ ∂ˆf(xk)và (xk, f(xk)) → (x, f(x)) khi
k → ∞.
Nhận xét1.3.2. Nếu f là một hàm định nghĩa được thì ∂ˆf(x) và ∂f(x) là các tập định nghĩa được (xem [42, Mệnh đề 3.1]).
Định nghĩa 1.3.3. Độ dốc không trơncủa hàm liên tục f được xác định bởi
mf(x):= inf{kvk : v∈ ∂f(x)} nếu∂f(x) 6= ∅ +∞ nếu∂f(x) = ∅.
Định nghĩa 1.3.4. Độ dốc mạnhcủa một hàm liên tục f được xác định bởi
|∇f|(x) := lim h→0sup h6=0 [f(x)− f(x+h)]+ khk , với[a]+ = max{a, 0}.
Nhận xét1.3.5. Ta có một số kết quả sau:
(i) Mối liên hệ giữa độ dốc mạnh, độ dốc không trơn và dưới vi phân được thể hiện qua bất đẳng thức sau (xem [42, trang 1900]):
inf{kyk : y∈ ∂ˆf(x)} ≥ |∇f|(x) ≥mf(x).
(ii) Nếu f là một hàm định nghĩa được thìmf(x)và|∇f|(x)là định nghĩa được (xem [42, Mệnh đề 3.1]).
(iii) Nếu f là một hàm khả vi thì ∂f(x) = ∂ˆf(x) = {∇f(x)} và mf(x) =
|∇f|(x) = k∇f(x)k(xem [78, trang 304]).
Bổ đề sau được sử dụng khá nhiều trong lý thuyết Tối ưu, còn được gọi là Nguyên lý biến phân Ekeland.
Bổ đề 1.3.6(I. Ekeland, [23]). ChoV là một không gian mê tric đầy đủ và hàm
F : V →R∪ {+∞}
là một hàm nửa liên tục dưới, khác+∞và bị chặn dưới. Khi đó với mọi u∈ V thoả mãn
infF ≤ F(u) ≤ infF+e (vớie > 0cho trước) và mọiλ > 0, tồn tại một điểmv ∈ V
sao cho
F(v) ≤ F(u), dist(u,v) ≤λ,
∀w 6= v,F(w) > F(v)− e
Chương 2
BẤT BIẾN TÔ PÔ CỦA KỲ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG: CÁC THƯƠNG CỰC VÀ SỐ MŨ ŁOJASIEWICZ GRADIENT
Các thương cực (còn gọi là bất biến cực) của các kỳ dị mặt cô lập được giới thiệu trong các cơng trình của B. Teissier trong thập niên 70 của thế kỷ trước nhằm nghiên cứu các bài toán về đẳng kỳ dị (xem [80, 81]). Chúng là thương của bậc tiếp xúc giữa một siêu mặt và các nhánh của đường cực đủ tổng quát. Những kết quả của Teissier cho thấy rằng các thương cực là một bất biến tô pô của kỳ dị mặt phức, cơ lập và hơn nữa, đó là một bất biến tơ pơ của kỳ dị đường cong phẳng (xem [27,81]). Số Milnor, số mũŁojasiewicz gradient và những bất biến số có thể được tính tốn theo các thương cực này (xem [27, 81]). Trong nhiều cơng trình trước đây trong lý thuyết kỳ dị và hình học đại số về thương cực thì hầu hết các tác giả đều giả thiết rằng kỳ dị là thu gọn rồi tính tốn các thương cực, khai thác thương cực lớn nhất hoặc dùng thương cực để khảo sát về tô pơ địa phương cũng như tồn cục (xem [27, 75, 79–82]). Các thương cực của Teissier cũng đã được Lê Dũng Tráng định nghĩa cho trường hợp siêu mặt có kỳ dị khơng cơ lập (xem [79]). Tuy nhiên, dường như khó có thể đạt được những kết quả tương tự của Teissier trong trường hợp kỳ dị khơng thu gọn tổng qt. Bài tốn của chúng tôi cụ thể như sau: Nghiên cứu về tính bất biến tơ pơ của thương cực và các số mũ
Łojasiewicz trong trường hợp kỳ dị đường cong phẳng, khơng nhất thiết thu gọn.
Mục đích của chương này là thiết lập các kết quả về bất biến tô pô của thương cực (Định lý 2.2.6) trong trường hợp phức và số mũŁojasiewicz gradient của kỳ dị đường cong phẳng trong cả trường hợp thực (Định lý 2.3.5) và phức (Định lý 2.3.1). Ngồi việc tính tốn các số mũŁojasiewicz, chúng tơi cịn ước lượng chúng
một cách hiệu quả theo bậc trong trường hợp đa thức (Định lý 2.3.10).
Trong chương này, chúng tôi sử dụng khái niệm đa giác Newton tương ứng với một cung và phương pháp trượt (xem [31,50]), để tính các khai triển Newton- Puiseux địa phương tại gốc (xem [7, 25, 85]). Đa giác Newton là một đối tượng cơ bản, đóng vai trị quan trọng trong lý thuyết kỳ dị (xem [1, 25]).
Chương này được trình bày theo bài báo thứ hai trong danh mục cơng trình.
2.1 Đa giác Newton tương ứng với một cung
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm về đa giác Newton tương ứng với một cung theo Kuo and Parusi ´nski [50] (xem thêm [30] và [31]) và phương pháp trượt để tính các khai triển Newton-Puiseux địa phương.
Cho f : (K2, 0) → (K, 0)là một mầm hàm giải tích với khai triển Taylor:
f(x,y) = fm(x,y) + fm1(x,y) +· · · ,m < m1 < . . .
với mỗi fklà một đa thức thuần nhất bậck,và fm 6≡ 0.Giả sử rằng f là chính quy cấp m theo x, khi đó fm(1, 0) 6= 0.(Nếu f khơng chính quy theo x thì ta đổi biến
x0 = x,y0 =y+cx vớiclà một hằng số đủ tổng quát, khi đó f(x,y+cx)là chính quy theox).
Một cung giải tíchφtrongK2 là tập ảnh của ánh xạ giải tích
Φ : K→ K2,t 7→(x(t),y(t)).
Lấyφ là một cung giải tích trong K2 khơng tiếp xúc với trục x. Khi đó ta có thể
tham số hóa cung ấy bởi
x = c1tn1+c2tn2+· · · ∈K{t}và y= tN
và vì vậy có thể đồng nhất nó với một chuỗi Puiseux sau:
x= φ(y) = c1ynN1 +c2ynN2 +· · · ∈K{yN1}
với N ≤ n1 < n2 < · · · là các số nguyên dương. Đặt X := x−φ(y)vàY := y, ta
được
6 - s s s s E1 E2 θ1 θ2 S S S S S S L L L L L 5 8 3 4 3 1 2 3
Hình 2.1: Đa giác Newton của f tương ứng với ϕtrong Ví dụ 2.1.1.
Với mỗi cij 6= 0, điểm có tọa độ (i, Nj ) được gọi là một chấm Newton. Tập các chấm Newton được gọi là lược đồ Newton. Ta gọi biên của bao lồi của các chấm Newton này là đa giác Newton của f tương ứng với cung φ, ký hiệu P(f,φ). Nếu
φ là một nghiệm Newton-Puiseux của f = 0 (tức là f(φ(y),y) = 0), thì khơng tồn tại chấm Newton nào nằm trên đường thẳng X = 0 và ngược lại. Giả sử
φ không phải là nghiệm Newton-Puiseux của f, khi đó các số mũ của chuỗi
f(φ(y),y) = F(0,Y) tương ứng với các chấm Newton trên đường thẳng X = 0. Đặc biệt,ordf(φ(y),y) = h0,với(0,h0)là chấm Newton thấp nhất trên X =0. Ta gọi các cạnh của đa giác NewtonP(f,φ)làEs và các góc tương ứng của chúng là
θsđược xác định một cách thơng thường như minh họa trong ví dụ sau.
Ví dụ 2.1.1. Cho f(x,y) := x3−y4+y5 vàφ : x =y43.Ta có
F(X,Y) := f(X+φ(Y),Y) = X3+3X2Y43 +3XY83 +Y5.
Từ định nghĩa, đa giác Newton của f tương ứng với φ có hai cạnh compact là
E1,E2 vớitanθ1 = 43, tanθ2 = 73 (xem Hình 2.1).
Lấy một cạnhEsbất kỳ, gọi đa thức kết hợp với cạnh đó làEs(z)được xác định bởiEs(z) := Es(z, 1),trong đó
Es(X,Y) := ∑
(i,Nj )∈Es
Cạnh Newton cao nhất, ký hiệu bởi EH, là cạnh compact của đa giác P(f,φ) với một đỉnh là chấm Newton thấp nhất trênX = 0.Chẳng hạn, trong ví dụ trên thì cạnhE2 chính là cạnh Newton cao nhất.
Tiếp theo, ta nhắc lạiphương pháp trượttheo [50].
Giả sử φ không là nghiệm của f = 0. Xét đa giác Newton P(f,φ). Lấy một nghiệm khác không bất kỳccủaEH(z) = 0với EH(z)là đa thức kết hợp với cạnh Newton cao nhấtEH.Ta gọi
φ1(y): x = φ(y) +cytanθH
là mộtphần tử trượtcủaφ theo f,với θH là góc tương ứng của EH.Một q trình trượt đệ quyφ → φ1 → φ2 → · · · cho ta một giới hạn làφ∞, đó sẽ là nghiệm của
f = 0. Nghiệm φ∞ được gọi là một kết quả cuối cùng của quá trình trượtφ theo f. Mỗi lần trượt sẽ cho ta một đa giác Newton mớiP(f,φ)mà chấm Newton(0,h0)
tương ứng trênX = 0sẽ dịch chuyển lên trên, từ đó với φ∞ thì khơng cịn chấm Newton nào trênP(f,φ∞)nữa. Chú ý rằngφ∞có dạng
φ∞: x =φ(y) +cytanθH +các từ cấp cao hơn. Phương pháp trượt dựa trên một bổ đề kỹ thuật sau đây:
Bổ đề 2.1.2. Choφlà một chuỗi Puiseux không là nghiệm của f =0và lấyθH vàEH(z)
lần lượt là góc và đa thức kết hợp với cạnh Newton cao nhấtEH.Xét chuỗi
ψ: x = φ(y) +cyρ+ các từ cấp cao hơn, vớic ∈ Kvà ρ∈ Q,ρ >0.Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) Nếu hoặc tanθH < ρhoặc tanθH = ρvà EH(c) 6= 0thì P(f,φ) = P(f,ψ),và vì vậyordf(φ(y),y) = ordf(ψ(y),y).
(ii) NếutanθH =ρvàEH(c) = 0thìordf(φ(y),y) <ordf(ψ(y),y).
Chứng minh. (xem [7, 85]) Chứng minh chi tiết có thể được tìm thấy trong [30]. Thật vậy, trường hợp đặc biệt, khi ψ : x = φ(y) +cytanθH được chứng minh trong [30, Bổ đề 2.1]. Khi đó, Bổ đề được chứng minh bằng cách áp dụng trường hợp đặc biệt này vơ hạn lần.
2.2 Tính bất biến tơ pơ của thương cực
Cho f : (C2, 0) → (C, 0) là một mầm hàm giải tích chính quy cấpm theo biến x.
Đường cong được xác định bởi ∂∂xf = 0 được gọi là một đường cực. Một nghiệm Newton–Puiseux của ∂∂xf =0được gọi là mộtnhánhcủa đường cực hoặc đơn giản gọi lànhánh cực. Ký hiệuΓ(f) là tập các nhánh cực không là nghiệm của f = 0. Theo Teissier [81], ta có định nghĩa thương cực.
Định nghĩa 2.2.1(Tr.309, [27]). Tập hợp
Q(f) := {ordf(γ(y),y)|γ ∈ Γ(f)}
được gọi là tập các thương cực của f.
Ví dụ 2.2.2. Xét hàm f(x,y) = x
3 3 −xy
3. Ta có f chính quy theo x và ∂f
∂x = 0
có nghiệm Newton-Puiseux là x = ±y32,y ≥ 0. Hai nghiệm này đều không là nghiệm của f =0. Suy ra, tập hợp các thương cực là
Q(f) := 9 2 .
Trong phần này ta sẽ chứng tỏ rằng tập hợp các thương cực là một bất biến tô pô, kể cả trong trường hợp không thu gọn. Trước hết, ta cho một công thức tường minh của các thương cực theo xấp xỉ của các nghiệm Newton-Puiseux của f.
Cho γ(y) := ∑iaiyαi là một chuỗi Puiseux. Với mỗi số thực dương ρ, chuỗi
∑αi<ρaiyαi + gyρ, với g là một hằng số đủ tổng quát, được gọi là ρ-xấp xỉ của
γ(y). Với hai chuỗi Puiseux phân biệt γ1(y) và γ2(y), xấp xỉ của γ1(y) và γ2(y)
được định nghĩa là chuỗi ρ-xấp xỉ của γ1(y) (và vì vậy cũng là của γ2(y)), với
ρ:=ord(γ1(y)−γ2(y))làbậc tiếp xúccủaγ1(y)vàγ2(y).
Ví dụ 2.2.3. Hai chuỗiγ1(y) = y12 +y32 +y52 +. . . vàγ2(y) = y12 +y32 −y52 +. . . có chuỗi 52−xấp xỉ là
γ(y) = y12 +y32 +gy52.
Định lý 2.2.4. Cho f: (C2, 0)→ (C, 0)là một mầm hàm giải tích chính quy cấpmtheo
xvà lấyξ1, . . . ,ξr (r ≥2)là các nghiệm Newton–Puiseux phân biệt của f = 0. Khi đó
Q(f) =
trong đóξi,j là xấp xỉ củaξi vàξj.
Chứng minh. Lấy bất kỳ γ ∈ Γ(f). Từ định nghĩa ta có γ khơng là nghiệm của
f = 0nhưng là nghiệm của ∂∂xf =0.Vì vậy, nếu ta viết
f(X+γ(Y),Y) = ∑cijXiYNj , thì
f(γ(Y),Y) = ∑c0jYNj và ∂f
∂x(γ(Y),Y) = ∑c1jYNj ,
vớic0j 6= 0với jnào đó và c1j =0với mọi j.Do đó, trong đa giác NewtonP(f,γ)
của f tương ứng với γ, có một chấm trên đường thẳng X = 0nhưng khơng có chấm nào trên đường thẳngX = 1.Hơn nữa vì f chính quy cấpmtheox nên từ Định lý chuẩn bị Weierstrass, ta có thể giả sử
f(x,y) = xm +a1(y)xm−1+· · ·+am(y).
Vì vậy sau khi đổi biến f(X+γ(Y),Y)thì ta vẫn có(m, 0)là một đỉnh của đa giác NewtonP(f,γ).Bây giờ ta lấy EH là cạnh cao nhất vàEH là đa thức kết hợp của cạnh này. Khi đó, vì khơng có chấm Newton nào nằm trên X = 1 nên cạnh cao nhấtEH nối chấm thấp nhất trên X = 0với một chấm trênX = kvới k ≥ 2, cho nên ta có
degEH ≥ 2, EH(0)6=0, và d
dzEH(0) = 0.
Do đó, phương trình EH(z) = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt khác không, đặt là c1,c2. Lấy γi,∞,i = 1, 2 là một kết quả cuối cùng của phép trượt của cung
y 7→ γ(y) +ciytanθH theo f,với θH là góc tương ứng với cạnh cao nhất EH.Ta có ord(γ1,∞(y)−γ2,∞(y)) =tanθH và
f(γi,∞(y),y)≡ 0 với i = 1, 2.
Lấyγ1,2 là xấp xỉ củaγ1,∞ vàγ2,∞.Áp dụng Bổ đề 2.1.2, ta suy ra rằng ordf(γ(y),y) = ordf(γ1,2(y),y),và vì vậy
Q(f)⊂
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy cặp nghiệm phân biệt bất kỳ
ξ1,ξ2 của f và gọiξ1,2 là xấp xỉ củaξ1và ξ2. Khi đó ta có thể viết
ξ1,2(y) = ξ1(y) +gyρ +các từ cấp cao hơn
với glà hằng số đủ tổng quát vàρlà bậc tiếp xúc củaξ1 vàξ2. Ta có
f(X+ξ1(Y),Y) = ∑cijXiYNj .
Ký hiệu ∆ là tập hợp chứa các chấm Newton của đa giác Newton P(f,ξ1) thoả mãn hàm tuyến tính (i,j) 7→ ρi + Nj xác định trên P(f,ξ1) đạt giá trị nhỏ nhất, ta gọi là h0. Ký hiệu(i1, j1
N) là chấm thấp nhất của ∆, tức là chấm thuộc ∆ với i1
cực đại. Doξ1là một nghiệm của f = 0nên khơng có chấm nào củaP(f,ξ1)nằm trên đường thẳngX = 0,và bởi vậyi1 ≥ 1.
Ta ký hiệu φ(y) := ξ1(y) +gyρ và
F(X,Y) := f(X+φ(Y),Y) = ∑cij(X+gYρ)iYNj = ∑aijXiYNj . Chú ý rằng, vì (X+gYρ)iYNj = i ∑ k=0 CkiXk(gYρ)i−kYNj = i ∑ k=0 CkiXkgi−kYρ(i−k)+Nj
nên tất cả các chấm Newton của đa giác NewtonP(f,φ) của f tương ứng với φ
phải có dạng(k,ρ(i−k) + Nj )vớicij 6=0vàk =0, 1, . . . ,i, và(i1, j1
N)là một chấm Newton của P(f,φ) vì ai1j1 = ci1j1 6= 0. Vì g là hằng số đủ tổng quát nên điểm
(0,h0) với h0 như trên cũng là một chấm Newton của P(f,φ) (thật ra, ta lấy g
thỏa∑(i, j
N)∈∆cijgi 6=0). Ngoài ra, tất cả các chấm Newton củaP(f,φ)thuộc hoặc nằm bên trên đường thẳng chứa hai chấm là(0,h0)và(i1, j1
N). Điều này chứng tỏ
rằng cạnhEH nối(0,h0) và(i1, j1
N) là cạnh Newton cao nhất củaP(f,φ). LấyθH
vàEH(z) lần lượt là góc và đa thức kết hợp với cạnh Newton cao nhất EH. Ta có (xem Hình 2.2) tanθH = h0− j1 N i1 = ρi1 i1 = ρ, EH(z) = ∑ (i,j )∈E aijzi = ∑ (i,j )∈∆ cij(z+g)i.
Từ định nghĩa củaφ, ta có thể viết
ξ1(y) = φ(y) +a1yρ+ các từ cấp cao hơn,
ξ2(y) = φ(y) +a2yρ+ các từ cấp cao hơn
vớia1 6=a2.Từ Bổ đề 2.1.2 thìa1 và a2 là các nghiệm của đa thứcEH(z).Đặc biệt, ta códegEH(z) ≥2.
Xét lược đồ Newton của f tương ứng với φ, vì ∂
∂X(XiYNj ) = iXi−1YNj nên ta dịch chuyển mọi chấm Newton(i, Nj )củaP(f,φ)tới(i−1,Nj ),nếui ≥1,và xóa tất cả các chấm Newton (0,Nj ). Từ đó ta có thể nhìn thấy lược đồ của ∂∂xf tương ứng vớiφtừP(f,φ).
Chú ý φ(y) = ξ1 + gyρ và do g đủ tổng quát nên ta có dzd EH(g) 6= 0. Vì vậy, trên lược đồ Newton f tương ứng φ, tồn tại một chấm Newton trên đường
thẳng X = 1. Vì vậy cạnh Newton cao nhất của đa giác NewtonP(∂∂xf,φ)có các đỉnh có tọa độ(0,h0−tanθH)và (i1 −1, j1
N), bởi vì với chấm Newton(0,h0)của
P(f,φ) thì cạnh cao nhất của đa giác này cắt X = 1 tại (1,h0−tanθH) và với chấm Newton cịn lại(i1, j1
(i1−1, j1
N). Phương trình cạnh cao nhất của đa giác đó là dzd EH(z) = 0. DoEH(z)
có hai nghiệm phân biệta1,a2, từ đó dễ thấy rằng tồn tại một sốc ∈ C\ {0} sao cho
EH(c)6=0 và d
dzEH(c) = 0.
Lấyγ∞ là một kết quả của phép trượt cungφ theo ∂∂xf. Từ Bổ đề 2.1.2 ta có ordf(γ∞(y),y) = ordf(φ(y),y).
Hơn nữa, từord(ξ1,2(y)−φ(y)) > ρ= tanθH, áp dụng tiếp Bổ đề 2.1.2 ta được ordf(ξ1,2(y),y) = ordf(φ(y),y).
Do đó, bao hàm thức ngược lại thỏa mãn. Định lý được chứng minh.
Tiếp theo, ta sẽ liên hệ kết quả trên với sự tương đương giữa hai mầm hàm. Hai mầm hàm liên tục f,g: (K2, 0) → (K, 0) được gọi là tương đương tô pô phải,
nếu tồn tại một mầm đồng phôiΦ: (K2, 0) → (K2, 0)sao cho f = g◦Φ. Ta cần đến kết quả sau của Parusi ´nski (xem [73, Định lý 0.1 và Chú ý 0.4]).