CHƯƠNG 9 : HèNH HỌC FRACTAL
9.1. SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA HèNH HỌC PHÂN HèNH
9.1.1. Sự ra đời của lý thuyết hỡnh học phõn hỡnh
Trong nhiều thập kỷ nỗ lực giải quyết cỏc vấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học
chớnh xỏc, đặc biệt là vật lý và toỏn học. Một cỏch cụ thể, lý thuyết hỡnh học phõn hỡnh
được xõy dựng dựa trờn hai vấn đề lớn được quan tõm ở những thập niờn đầu thế kỷ 20.
Cỏc vấn đề đú bao gồm:
Tớnh hỗn độn của cỏc quỏ trỡnh phỏt triển cú quy lực trong tự nhiờn.
Sự mở rộng khỏi niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hỡnh học Euclide cổ điển. Cỏc cụng thức lặp cú dạng:
Xn+1=f(Xn)
Thường được sử dụng trong cỏc ngành khoa học chớnh xỏc để mụ tả cỏc quỏ trỡnh lặp đi lặp lại cú tớnh xỏc định. Cỏc quỏ trỡnh được xỏc định bởi cụng thức trờn, trong đú f thể hiện mối liờn hệ phi tuyến giữa hai trạng thỏi nối tiếp nhau Xn và Xn+1, được quan tõm
đặc biệt. Cỏc khảo sỏt trong những thập niờn gần đõy đó phỏt hiện ra cỏc cư xử kỳ dị của
cỏc tiến trỡnh lặp như vậy.
Vào cỏc năm 1890 & 1891, trong khi tỡm kiếm cỏc đặc trưng bất biến của cỏc đối tượng hỡnh học qua cỏc phộp biến đổi đồng phụi trong lý thuyết topo, cỏc nhà toỏn học
Peano & Hilbert đó phỏt minh ra cỏc đường cong cú tớnh chất rất đặc biệt. Đú là cỏc đường cong khụng tự cắt theo một quy luật được chỉ ra bởi Peano và Hilbert, chỳng lấp đầy mọi miền hữu hạn của mặt phẳng. Hỡnh học Euclide cổ điển quan niệm cỏc đường
cong như vậy vẫn chỉ là cỏc đối tượng một chiều như cỏc đường thẳng. Tuy nhiờn trực quan cho thấy cỏch nhỡn như vậy về số chiều là rất gũ bú. Do đú người ta bắt đầu nghĩ đến một sự phõn lớp mới, trong đú cỏc đường cú số chiều bằng 1 được đại diện bởi đường
thẳng, cỏc đối tượng hai chiều được đại diện bởi mặt phẳng, cũn cỏc đường cong lấp đầy
mặt phẳng đại diện cho cỏc đối tượng cú số chiều giữa 1 và 2. í tưởng cỏch mạng này đó dẫn đến việc hỡnh thành và giải quyết bài toỏn số chiều hữu tỷ gõy ra nhiều tranh luận toỏn học trong cỏc thập kỷ gần đõy.
Tiếp sau đú, vào năm 1904 nhà toỏn học Thụy Điển Helge Koch đó đưa ra một loại
đường cong khỏc với những đường cong của Peano và Hilbert. Cỏc đường cong Von
Koch khụng lấp đầy mặt phẳng nhưng lại cú độ dài thay đổi một cỏch vụ hạn mặc dự
chỳng được chứa trong một miền hữu hạn. Những đường cong như vậy cú rất nhiều trong tự nhiờn, vớ dụ như cỏc đường bờ biển, đường biờn của một bụng hoa tuyết, cỏc đỏm mõy, vv… Tất vả cỏc đường cong này đều một tớnh chất đặc trưng là đồng dạng. Nú được biểu hiện bởi sự giống nhau giữa một phần rất nhỏ của đường cong được phúng lớn với một
phần khỏc lớn hơn của cựng một đường cong đú. Tớnh chất này giữ một vị trớ quan trọng trong việc hỡnh thành nờn cỏc dạng cấu trỳc vụ cựng phức tạp của tự nhiờn, nhưng vào thời Von Koch lại được hiểu biết rất sơ lược.
Chỉ với sự giỳp đỡ của mỏy tớnh điện tử, bản chất của tớnh đồng dạng mới được
nghiờn cứu đầy đủ và chi tiết trong tỏc phẩm “Hỡnh học phõn hỡnh trong tự nhiờn” của
Benoit B. Mandelbrot xuất bản năm 1982. Trong tỏc phẩm của mỡnh, Mandelbrot đó phõn ró cỏc dạng cấu trỳc phức tạp của tự nhiờn thành cỏc thành phần cơ bản gọi là fractal. Cỏc fractal này chứa đựng cỏc hỡnh dỏng tự đồng dạng với nhiều kớch thước khỏc nhau.
Mandelbrot đó tạo nờn những bức tranh fractal trừu tượng đầu tiờn và nhận thấy rằng đằng sau cỏc đối tượng tự nhiờn như cỏc đỏm mõy, cỏc dóy nỳi, cỏc khu rừng, vv… là cỏc cấu trỳc toỏn học tương tự nhau. Chỳng cú khuynh hướng hài hoà về màu sắc và cõn đối về hỡnh thể. Ngoài ra Mandelbrot cũng thiết lập cỏch xỏc định số chiều và độ dài của cỏc dạng fractal cơ sở. Chớnh với định nghĩa về số chiều này, bài toỏn số chiều khụng nguyờn mới được giải quyết một cỏch hoàn chỉnh. Cú thể núi cụng trỡnh của Benoit B.Mandelbrot
đó chớnh thức khai sinh lý thuyết hỡnh học phõn hỡnh sau hơn nửa thế kỷ nghiờn cứu liờn
tục.
Kể từ khi ra đời một cỏch chớnh thức vào năm 1982 cho đến nay, lý thuyết hỡnh học phõn hỡnh học phõn hỡnh đó phỏt triển một cỏch nhanh chúng.
9.1.2. Cỏc ứng dụng tổng quỏt của hỡnh học phõn hỡnh
Hiện nay cú 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết hỡnh học phõn hỡnh, bao gồm:
▪ Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trờn mỏy tớnh. ▪ Ứng dụng trong cụng nghệ nộn ảnh.
▪ Ứng dụng trong nghiờn cứu khoa học cơ bản.