Đường cong Elliptic là đường cong có dạng:
Nếu đơn điệu tăng.
Nếu có 4 trường hợp sau: đặt 4 27
Từ đó chúng ta có các trường hợp sau đây của đường cong Elliptic (không sử dụng trường hợp λ=0 vì lúc này đường cong bị gãy):
Hình dưới minh họa hai đường cong Elliptic 1
149
-1 1 0
1
Trong đường cong Elliptic, chúng ta định nghĩa thêm một điểm O (điểm vô cực). GọiE(a, b) là tập các điểm thuộc đường cong cùng với điểm O. ta định nghĩa phép cộng trên tập các điểm thuộc E(a, b) như sau:
1) Điểm O là phần tử đơn vị của phép cộng. Như vậy với
. Trong phần tiếp theo, ta giả định .
2) Phần tử nghịch đảo của điểm P trong phép cộng, ký hiệu – P, là điểm đối xứng với -1 1
P qua trục hoành, như vậy
3) Với 2 điểm P, Q bất kỳ, kẻ một đường thẳng đi qua P và Q thì sẽ cắt đường cong Elliptic tại một điểm thứ 3 là điểm S. Phép cộng P và Q sẽ là
P Q S
R= P+Q= -S
P Q S P
R= P+Q= -S
Q
Trong trường hợp P và Q đối xứng qua trục hoành, hay nói cách khác thì đường thẳng nối P, Q sẽ cắt đường cong Elliptic tại vô cực, hay
. Điều này phù hợp với định nghĩa 2.
4) Để tính , ta vẽ đường thẳng tiếp tuyến với đường cong Elliptic tại P, đường thẳng này cắt đường cong tại điểm S, lúc đó
P -R
R = P+P
150
Có thể thấy, tập E(a, b) cùng với phép cộng định nghĩa như trên tạo thành một nhóm Abel
Tính giá tr ị của phép cộng:
Gọi tọa độ của điểm , của điểm . Ta tính tọa độ điểm như sau: Đặt hệ số góc đường thẳng là ∆: atnh ược: Chứ ng minh: Để ngắn gọn, ký hiệu . Ta có: (1) (2)
(3) (điểm S thuộc đường thẳng nối P và Q) (4) Thay (4) vào (3):
2
Thay vào phương trình trên, ta có:
2 2 (5) Lấy (2) trừ cho (1) ta có: 2 2 (6) Thay (6) vào (5) ta có: Hay nói cách khác và , từ đó ta có đpcm. Tương tự, thực hiện tính tọa độ c ủa điểm , khi ta có:
151
(3 2 )2
(3 2 )
Chứ ng minh:
Không mất tổng quát xét một nửa đường cong elliptic:
√
Gọi ∆ là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong elliptic tại điểm P, như vậy:
1
2 3
3 2
Tương tự như trong cách tính ta cũng có phương trình (5), trong đó
(0, 1) (6, 4) (12, 19) (0, 22) (6, 19) (13, 7) (1, 7) (7, 11) (13, 16) (1, 16) (7, 12) (17, 3) (3, 10) (9, 7) (17, 20) (3, 13) (9, 16) (18, 3) (4, 0) (11, 3) (18, 20)
(x3, y3) là tọa độ điểm S: 2 3 2 ( 2 ) Vậy ta có: 2 và từ đó suy ra đpcm.