Chương 2 Phủ của vành hữu hạn
2.5. Ví dụ về phủ của vành giao hốn địa phương
Chúng ta mong muốn tìm ra số phủ cho một vành giao hốn hữu hạn bất kì thì một trong những cách thức tiếp cận vấn đề này đó là sử dụng kết quả: ``Mỗi vành giao hốn hữu hạn thì đẳng cấu với một tích trực tiếp các vành giao hốn địa phương'' (vành địa phương là vành chỉ có một iđêan tối đại). Do đó để xác định ( ) R cho R là vành giao hốn hữu hạn tổng qt thì chúng cần xem xét số phủ cho vành giao hoán địa phương trước tiên. Tiếp sau đây chúng ta sẽ chỉ ra ví dụ về vành giao hóa địa phương có thể phủ.
Ví dụ 2.5.1. Cho q là lũy thừa của một số nguyên tố. Gọi R là vành con của M3( q)
như sau 0 0 | , , 0 0 q a b c R a a b c a
Khi đó R là vành giao hoán địa phương bậc 3
q . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng
( )R q 1
.
Thật vậy, để tiện cho việc kí hiệu thì chúng ta kí hiệu lại
[ , , ] 0 0 0 0 a b c a b c a R a
và 1R [1, 0, 0]. Lúc này iđêan tối đại của R là {[0, , ] | ,b c b c q} và nhóm nhân
{[ , , ] | 0}
R a b c a .
Dễ dàng nhận thấy rằng với mọi a b c, , q thì 1 1
[ , , ]a b c n [a nan, nb na, nc]. Điều này có nghĩa là [ , , ]a b c q [ , 0, 0]a và [ , , ]a b c chứa cả a,0,0 và0, ,b c. Suy ra với a0 thì [ , , ]a b c {[ ,v wb wc v w, ] | , p[ ]}a và có bậc là 2
q . Vì thế [ , , ]a b c
Bây giờ chúng ta cố định phần tử sinh của q trên p. Từ lập luận trên, với mọi a b c, , q thì [ , , ]a b c [ , , ] b c . Vì thế các vành con [ , , ] b c tạo thành một phủ của R. Từ đây ta sẽ xác định số vành con tối đại của R dạng [ , , ] b c .
Giả sử rằng một trong hai phần tử ,b c khác không và S [ , , ] b c. Thành phần thứ hai và thứ ba của [ , , ] b c có dạng như một vectơ ( , )b c của 2
q trên q. Ở trên chúng ta đã chỉ ra rằng mọi d e f, , đều thuộc S, vectơ ( , )e f thuộc khơng gian con tuyến tính của 2
q sinh bởi ( , )b c .
Từ điều này cho thấy S là vành con tối đại của R. Thật vậy, bất kì
( , , )d e f R S\ thì vectơ ( , )e f không thuộc vào khơng gian con tuyến tính sinh bởi
( , )b c . Do đó vành con của R sinh bởi S và d e f, , chứa [ , 0, 0],[0, , 0] và [0, 0, ]
, kéo theo nó phải chứa tất cả phần tử của R.
Các lập luận trên cho thấy rõ [ , , ] b c tối đại khi một trong hai phần tử b
hoặc c khác không và số vành con tối đại bằng với số khơng gian con tuyến tính trong 2
q. Vì thế có q1 vành con tối đại và chúng là [ , 0,1] và [ ,1, ] , u u q.
Do các vành con tối đại này phủ R nên ( )R q 1. Tuy nhiên mỗi vành con tối đại được sinh bởi một phần tử đơn của R nên mỗi vành con tối đại này phải nằm trong phủ bất kì của R. Vậy ( )R q 1.
Kết luận
Từ khái niệm phủ của vành hữu hạn R bằng họ các vành con được chuyển thành phủ bằng các vành con tối đại của R, các kết quả về vành con tối đại: bổ đề 2.1.3, 2.1.5 định lí 2.1.9. Trong luận văn này, tơi đã cố gắng trình bày các điều kiện của vành hữu hạn có thể phủ (Bổ đề 2.2.2, định lí 2.2.5, hệ quả 2.2.6, định lí 2.3.1, 2.3.3), cũng như việc tìm số phủ của vành hữu hạn thỏa mãn điều kiện trên (Định lí 2.4.3, 2.4.4). Đặc biệt, hệ quả 2.3.4 cho chúng ta điều kiện để vành nửa đơn hữu hạn có thể phủ.
Ở phần cuối của luận văn, tơi cũng có nêu ra ví dụ về phủ của vành giao hốn địa phương (ví dụ 2.5.1). Tơi hi vọng sẽ được tiếp tục nghiên cứu về phủ của loại vành này.
Tài liệu tham khảo
[1] A. Azarang, O. A. S. Karamzadeh, On maximal subrings of commutative rings, Algebra Collq. 19 special issue no. 1 (2012) 1125-1138.
[2] J. Lewin, Subrings of finite index in finitely generated rings, J. Algebra 5 (1967) 84-88.
[3] R. Lild, H. Niederreiter, Finite fields, Encyclopedia of Mathematics and its
Applications, Cambridge University Press, 2008.
[4] B. R. McDonald, Finite Rings with Identity, Pure and Applied Mathematics, Vol. 28, Marcel Dekker, New York, 1974.
[5] B. H. Neumann, Groups covered by permutable subsets, J. Lond. Math. Soc. 29 (1954) 236-248.
[6] M. J. Tomkinson, Groups as the union of proper subgroups, Math. Scand. 81
(1997) 191-198.
[7] N. J. Werner, Covering Numbers of Finite Rings, The American Mathematical