1.4. Kết luận chương
Trong chương này đã đạt được các kết quả chính sau:
1. Đã trình bày cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán dao động của hệ dầm liên tục.
2. Đã xây dựng các ma trận phần tử hữu hạn cho phần tử dầm chịu uốn thuần túy và các ma trận phần tử hữu hạn cho kết cấu dầm liên tục trên cơ sở tập hợp các ma trận tổng thể từ các ma trận phần tử.
3. Đã xây dựng được phương trình vi phân dao động của hệ dầm liên tục bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
4. Đã xây dựng được phương trình vi phân dao động của hệ tương tác: phần tử dầm chịu uốn – tải trọng di động, trong đó xét đến khối lượng phân bố của dầm, khối lượng của tải trọng, các liên kết đàn hồi và cản nhớt giữa dầm và tải trọng di động. Từ đó, thiết lập được các ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng mở rộng cho dầm có kể đến các khối lượng di động trên dầm và véctơ tải trọng nút. Các ma trận này chứa các thông số liên quan đến bản thân dầm và các tải trọng di động trên dầm (khối lượng m, hệ số cứng
k của lò xo, hệ số cản c, vận tốc v), chúng đều phụ thuộc thời gian t và khơng
5. Đã xây dựng phương trình dao động của kết cấu dầm liên tục chịu tác dụng của tải trọng di động. Thiết lập các ma trận tổng thể cho toàn hệ trên cơ sở tập hợp từ các ma trận của phần tử.
6. Đã triển khai thuật tốn và lập chương trình bằng ngơn ngữ MATLAB để tính dao động kết cấu dầm liên tục chịu tải trọng động của đoàn xe di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
7. Các ví dụ tính tốn thể hiện độ tin cậy của thuật tốn và chương trình đã lập
XÁC ĐỊNH CÁC THƠNG SỐ CỦA XE CHẠY TRÊN CẦU TỪ TỆP SỐ LIỆU ĐO DAO ĐỘNG
Thông số của xe chạy trên cầu được xác định bằng phương pháp nhận dạng trạng thái làm việc của kết cấu từ các tập số liệu đo đạc, giám sát dao động của cầu kết hợp với giải bài tốn mơ phỏng tương tác động lực học của hệ cầu – xe trên máy tính.
2.1. Số liệu đo đạc, giám sát dao động của cầu khi có xe chạy qua.
Hệ thống giám sát tình trạng làm việc của cầu là hệ thống đo đạc hiện đại với các cảm biến được gắn trên tồn bộ cầu, giám sát liên tục nhiều thơng số trạng thái kỹ thuật của cầu như ứng suất - biến dạng trong kết cấu cầu, độ võng, gia tốc dao động theo các phương của kết cấu nhịp, v.v.... Trong các số liệu đo đạc được của hệ thống giám sát, số liệu đo gia tốc dao động theo phương thẳng đứng của kết cấu nhịp là số liệu phản ánh rõ ràng nhất ảnh hưởng của các phương tiện chạy trên cầu. Các kết quả đo đạc giám sát được sử dụng để xác định tham số của xe chạy trên cầu là bản ghi số liệu gia tốc theo phương thẳng đứng tại các trạm đo trong suốt thời gian phương tiện di chuyển qua cầu.
2.2. Xác định thông số của xe chạy trên cầu
Bài tốn xác định các thơng số của xe từ các số liệu đo dao động thực chất là bài tốn nhận dạng các thơng số của xe di chuyển trên cầu từ các số liệu đo đạc giám sát. Với kết cấu được giám sát, các thơng số về tình trạng kết cấu, phản ứng của kết cấu khi có xe chạy qua ln được xác định, chỉ cịn các thơng số của xe là chưa biết. Ứng dụng lý thuyết nhận dạng hệ thống trong trường hợp này để xác định các thơng số của mơ hình xe chạy qua. Từ đó, xác định được trọng lượng xe.
Các thông số của xe cần xác định (nhận dạng) là khối lượng m, hệ số cản
c độ cứng lò xo k của xe và vận tốc xe chạy v. Trong luận văn này, giới hạn
Như đã nói ở trên, gia tốc dao động theo phương thẳng đứng là đại lượng phản ánh rõ ràng nhất ảnh hưởng của xe tới kết cấu cầu khi xe di chuyển qua cầu. Vì vậy, các thơng số của xe chạy trên cầu được xem là nhận dạng đúng khi kết quả đo gia tốc theo phương thẳng đứng tại các trạm đo và kết quả tính tốn mơ phỏng bằng máy tính với các thông số nhận dạng được của xe là bằng nhau hặc có sự sai lệch đủ nhỏ.
Như vậy, khi xác định các thông số của xe chạy trên cầu, sự phù hợp giữa kết quả đo đạc và mô phỏng được đánh giá bằng sai lệch giữa bản ghi gia tốc đo được tại vị trí quan sát và các giá trị gia tốc tính tốn mơ phỏng từ các tham số của xe cần xác định. Khi sự sai lệch này là tối thiểu, các tham số của xe tính tốn mơ phỏng sẽ là các tham số của xe thực.
Gọi ei là véc tơ sai lệch của các giá trị gia tốc đo được và gia tốc tính tốn mơ phỏng theo thời gian:
{ , } { },
i = aij mp − aij do
e
trong đó:
aij,mp – giá trị tại thời điểm thứ j của vector gia tốc tại trạm đo thứ i tính
tốn mơ phỏng trên máy tính
aij,do – giá trị tại thời điểm thứ j của vector gia tốc tại trạm đo thứ i lấy từ
bản ghi kết quả giám sát dao động của cầu.
Với một cây cầu có Q điểm đo và tại mỗi điểm đo bản ghi có R giá trị của gia tốc theo thời gian thì hàm mục tiêu có thể được viết dưới dạng chuẩn của vector sai lệch như sau:
( ) ( )2 1/2 1 1 1 , , , Q i Q R ij i i j F m c k v e = = = = = ÷÷ ∑ e ∑ ∑
Các tham số của xe nhận được khi giải bài toán tối ưu với hàm mục tiêu đạt giá trị cực tiểu:
( , , , ) min
F m c k v ⇒
Trong hàm mục tiêu , các giá trị của aij,do nhận được từ hệ thống giám sát, aij,mp nhận được từ phương trình tương tác của hệ cầu xe và phụ thuộc và
các thông số của xe di chuyển trên cầu (m,c,k,v). Do vậy, các ràng buộc của bài toán tối ưu là mối quan hệ tương tác của xe di chuyển trên cầu và dao động của cầu :
( , , , ) 0
g m c k v =MU CU KU P&&+ &+ − =
Trong đó, các ma trận M, C, K và véc tơ tải trọng P của kết cấu thay đổi phụ thuộc vào các thơng số và vị trí của xe chạy trên cầu. Ràng buộc phản ánh mối liên hệ giữa các thông số của xe cần nhận dạng và giá trị của gia tốc theo thời gian tại các trạm đo.
Bài toán tối ưu với các ràng buộc đẳng thức dạng có nhiều phương pháp giải tuy nhiên
2.3. Phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến bằng thuật giải ditruyền truyền
Những khái niệm chung
Thuật toán di truyền là một thuật tốn được sử dụng trong lập trình tiến hố. Thuật ngữ chương trình tiến hố là khái niệm dùng để chỉ các chương trình máy tính có sử dụng các thuật tốn tìm kiếm và tối ưu dựa trên q trình tiến hố tự nhiên. Các chương trình tiến hố chia làm ba dạng:
• Quy hoạch tiến hố – EP (Evolutionary Programming – D. B. Pogel), EP cho một lớp các phương án khả dĩ giải quyết được từng phần của vấn đề. Dựa vào quy luật tiến hố, tìm một phương án liên hợp đủ khả năng giải quyết trọn vẹn vấn đề đó.
• Chiến lược tiến hoá – ES (Evolutionary Strategy – Baeck; F. H. Hofmeister; H. P. Schwefel), Trên cơ sở một số chiến lược ban đầu, áp dụng luật tiến hoá để tạo ra những chiến lược mới phù hợp tốt nhất với mơi trường thực.
• Thuật tốn di truyền – GA (Genetic Algorithm – D.E. Goldberg và sau này được phát triển bởi L. Davis và Z. Michalevicz)
Thuật toán di truyền cũng như các thuật tốn tiến hố nói chung được hình thành dựa trên quan niệm: Q trình tiến hố tự nhiên là q trình hồn hảo nhất, hợp lý nhất và tự nó đã mang tính tối ưu. Tính tối ưu của q trình
tiến hố thể hiện ở chỗ thế hệ sau bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn thiện hơn và phù hợp với mơi trường hơn) thế hệ trước. Xun suốt q trình tiến hố, các thế hệ mới được sinh ra để bổ xung, thay thế thế hệ cũ, trong q trình này cá thể nào phát triển hơn thích ứng hơn với mơi trường sẽ tồn tại, cá thể nào kém thích ứng hơn sẽ bị đào thải. Với quan điểm của quá trình tiến hố tự nhiên thì việc giải bài tốn tối ưu thực chất chỉ là: “Tìm một cá thể tốt nhất trong các thế hệ đã xem xét thoả mãn mọi điều kiện của môi trường”.
Trong di tryền học mỗi sinh vật (cá thể) được đặc trưng bằng chuỗi nhiễm sắc thể nào đó. Trải qua q trình chọn lọc tự nhiên có những cá thể tồn tại, phát sinh và phát triển, bên cạnh đó có những cá thể bị đào thải. Quá trình lai ghép của thế hệ trước (cha-mẹ) tạo ra thế hệ sau (con) có thể phát huy những tính chất tốt phù hợp hơn với mơi trường – cũng có thể khơng. Với xác xuất nhỏ hơn, một vài cá thể nhận sự đột biến tạo ra một cá thể hoàn toàn mới. Thuật tốn di truyền mơ phỏng lại tồn bộ q trình trên và là quá trình lặp của ba tốn tử cơ bản như trình bầy trong hình dưới.
Bắt đầu
t = 0;
Khởi tạo quần thể ban đầu P(t)
Tính độ thích nghi cho mỗi cá thể thuộc quần thể P(t) Khi (điều kiện dừng chưa đạt) lặp:
Tái sinh (Reproduction) P’(t) từ P(t) Lai ghép (Crossover) Q(t) từ P(t-1); Đột biến (Mutation) R(t) từ P(t-1);
Chọn lọc (Selection) P(t) từ P(t-1) ∪ Q(t) ∪ R(t) ∪ P(t)
Hết lặp Kết thúc
Hình 2-12 Thuật toán di truyền đơn giản
Để kết nối bài toán cần giải với các toán tử trên cần mã hoá các biến của bài toán. Đơn giản nhất là mã hoá bằng các chuỗi nhị phân. Như vậy mỗi
chuỗi nhị phân với chiều dài xác định sẽ tương ứng với một lời giải của bài tốn đang khảo sát.
Độ thích nghi của mỗi cá thể trong quần thể được đánh giá thông qua hàm lượng giá eval( )v là giá trị hàm mục tiêu ứng với các biến tìm kiếm mài
chuỗi gen của cá thể đó biểu diễn. Nếu ký hiệu hàm mục tiêu là f(x) thì:
( ) ( )
eval vi = f x
Trong quần thể có n cá thể thì khả năng tồn tại của mỗi cá thể sang thế hệ sau đựơc xác định bằng tỷ số: 1 ( ) ( ) i i n i i eval v p eval v = = ∑ ;
Với bài toán cực đại cá thể có độ thích nghi cao ứng với pi lớn và ngược lại.
Nền tảng lý thuyết của thuật giải di truyền dựa trên biểu diễn chuỗi nhị phân và lý thuyết về sơ đồ. Một sơ đồ được định nghĩa là một chuỗi có chiều dài bằng chuỗi nhiễm sắc thể, các thành phần của nó có thể nhận một trong các giá trị trong tập ký tự biểu diễn gen hoặc một ký tự đại diện (*). Mỗi sơ đồ biểu diễn một không gian con trong khơng gian tìm kiếm. Khơng gian con này là tập tất cả các chuỗi trong khơng gian lời giải mà với mọi vị trí trong chuỗi, giá trị của gen trùng với giá trị của sơ đồ. Ký tự đại diện ‘*’ có thể trùng khớp với bất kỳ ký tự biểu diễn gen nào. Ví dụ chuỗi có chiều dài là 10 thì sơ đồ: (*111100100) sẽ khớp với hai chuỗi (0111100100) và (1111100100). Mỗi sơ đồ có hai thuộc tính quan trọng là: bậc và chiều dài xác định của sơ đồ.
Bậc của sơ đồ S - ký hiệu là O(S) – là số các vị trí 0 và 1, nói cách khác là bậc chính là chiều dài chuỗi trừ đi số ký tự đại diện. Bậc của sơ đồ giúp tính xác xuất sống cịn của nó do ảnh hưởng của quá trình đột biến.
Chiều dài xác định của sơ đồ S – ký hiệu δ(S) – là khoảng cách giữa hai vị trí cố định ở đầu và cuối của chuỗi. Nó định nghĩa độ nén thơng tin của
chuỗi chứa trong sơ đồ. Khái niệm về chiều dài xác định của sơ đồ giúp tính xác xuất sống cịn của sơ đồ do ảnh hưởng của phép lai.
Về mặt lý thuyết, người ta đã chứng minh được rằng: Các sơ đồ ngắn,
bậc thấp, trên trung bình nhận được số chuỗi tăng theo luỹ thừa trong các thế hệ tiếp theo của thuật toán di truyền.
Trong kỹ thuật thực hiện thuật toán di truyền sau khi xác định được chiều dài chuỗi nhiễm sắc thể, các q trình cịn lại: tạo quần thể ban đầu, lai ghép và đột biến là q trình hồn tồn ngẫu nhiên (thường chọn theo luật phân bố đều). Như Z. Michalewicz nhận xét: “ Thuật toán di truyền thuộc lớp các thuật toán xác xuất nhưng lại rất khác các thuật toán ngẫu nhiên vì chúng kết hợp được các phần tử tìm kiếm trực tiếp và ngẫu nhiên. Điều khác biệt quan trọng của thuật toán di truyền với các thuật toán khác là thuật tốn di truyền ln duy trì và xử lý một tập các lời giải (quần thể) trong khi các phương pháp khác chỉ xử lý một điểm trong khơng gian tìm kiếm. Chính vì vậy mà thuật tốn di truyền mạnh hơn và hiệu quả hơn các phương pháp khác”.
Các thuật toán cơ bản của thuật toán di truyền theo mã nhị phân
1.1.1.1 Mã hóa các biến và xây dựng quần thể ban đầu
a) Mã hóa biến thành chuỗi nhị phân
Một biến thực xi∈ =D [b bL U; ] với bL – giới hạn trên và bU- là giới hạn dưới và ta muốn xi được biểu diễn với độ chính xác là nx chữ số sau dấu thập phân. Rõ ràng để đạt được điều đó thì miền D sẽ được chia thành
[bU −bL]×10nx miền con. Gọi mi là số nguyên nhỏ nhất sao cho:
[bU −bL]×10nx ≤2mi −1
Như vậy mỗi biến thực xi có thể biểu diễn được bằng một chuỗi nhị phân có độ chính xác bất kỳ. Đoạn chương trình dưới cho phương pháp xác định chiều dài (số bit) cần thiết cho biến xi.
Trong thuật toán di truyền, cùng một lúc xét nhiều phương án, tổng số phương án kí hiệu là npop_size. Nếu bài tốn có n biến độc lập và mỗi biến
được biểu diễn bởi mi(j) bít thì mỗi phương án cần ( )
1 n j nx mi j = = ∑ bít để biểu diễn tương ứng tồn bộ bài tốn cần (npop_siznx) bít. Để tiện xử lý trên máy quần thể được lưu trữ dưới dạng mảng.
1.1.1.2 Chọn lọc
Như trên đã tình bầy, quá trình chọn lọc các cá thể trong GA cần thỏa mãn xác suất dựa trên độ thích nghi của chúng. Để tính xác suất lựa chọn thực hiện các bước sau:
• Tính độ thích nghi eval(vi) cho mỗi cá thể; vi (i = 1, 2, …, npop_size) • Tính tổng giá trị thích nghi cho tồn bộ quần thể
( ) _ eval npop size i i F = ∑ v
• Tính xác suất lựa chọn pi cho mỗi cá thể vi:
_ 1 ( ) ( ) i i npop size i i eval v p eval v = = ∑
• Tính vị trí xác suất qi cho mỗi cá thể; vi (i = 1, 2, …, npop_size) ;
i i j
j
q =∑p
Tiến trình chọn lọc được thực hiện bằng cách quay bánh xe Rulet npop_size lần; mỗi một lần sẽ chọn được một cá thể đễ đưa vào quần thể mới. Các bước thực hiện:
• Phát một số ngẫu nhiên phân bố đều trong khoản [0,1]
( )
rand 0,1
r = ;
• Nếu (r < qi) thì cá thể đầu tiên được chọn (v1) , ngược lại sẽ chọn cá thể thứ i (vi) thỏa mãn điều kiện: (qi-1 < r ≤ qi).
Như vậy sẽ có một số cá thể được chọn hơn một lần và có cá thể đã bị loại bỏ.
1.1.1.3 Lai ghép
Thơng số có ý nghĩa đối với việc lai ghép là xác suất lai ghép pc, tham số này cho biết số cá thể sẽ tham gia lai ghép trong quần thể là (pc×npop_size).
Thơng thường pc=0,25.
Chọn ngẫu nhiên (pc×npop_size) cá thể trong quần thể, tiếp tục lại chọn ngẫu một cặp cá thể trong số các cá thể sẽ lai ghép.
Chọn ngẫu nhiên điểm lai ghép và tiến hành lai ghép theo sơ đồ như hình vẽ
b1 b2 b3 b4 b5 b6 bnx-3 bnx-2 bnx-1 bnx
a6 anx-3 anx-2 anx-1 anx b1 b2 b3 b4 b5 a1 a2 a3 a4 a5 b6 bnx-3 bnx-2 bnx-1 bnx