Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử cịn lại.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2( ) 2( ) 2( ) P=x y – z +y z – x +z x – y
Lời giải
Thay x bởi y thì 2( ) 2( )
P=y y – z +y z – y =0. Như vậy P chứa thừa số (x y− ). Ta thấy nếu thay x bởi y hoặc thay y bởi z hoặc thay z bởi x thì P 0= khơng
đổi (đa thức P có thể hoán vị vịng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x y− ) thì
do vai trị của các biến x, y, z suy ra P cũng chứa thừa số (y z− ) và (z x− ). Do đó đa thức P có dạng k x – y y – z z – x( )( )( ). Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối
với mỗi biến trong x, y, z và tích (x – y y – z z – x)( )( ) cũng có bậc 3 đối với mỗi biến trong x, y, z. Vì đẳng thức 2( ) 2( ) 2( ) ( )( )( )
x y – z +y z – x +z x – y =k x – y y – z z – x đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn
x 2; y 1; z 0= = = thì được 4.1 1. –2+ ( )+ =0 k.1.1. –2( ) suy ra k= −1.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2−12x 16− b) 3x2+13x 10− c) 2x2−7x 3+
d) 3x – 16x 52 + e) 2x2−5x 12− f) 3x2−13x 36+
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x – 7x4 2+6 b) x4+2x2−3 c x4+x2 +1 d) x – 2x3 2+5x – 4 e) x – x3 2+ +x 3 f) 2x – 35x 753 +
g) 3x – 4x3 2+13x – 4 h) 6x3+x2+ +x 1 i) 4x3+6x2+4x 1+
Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3+4x2−29x 24+ b) x3+6x2+11x 6+
c) 3x3−7x2+17x 5− d) 2x3−5x2+8x 3−
e) 3x3−14x2+4x 3+ f) x3+5x2+8x 4+
Bài 4. Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) x4+2019x2+2018x 2019+ b) x4+2004x2+2003x 2004+
Bài 5. Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) x4+6x3+7x2−6x 1+ b) (x 1 x 3 x 5 x 7+ )( + )( + )( + )+15 c) (x2−4 x)( 2 −10)−72 d) x4+6x3−11x2+6x 1+ e) (x 2 x 3 x 4 x 5+ )( + )( + )( + )−24 f) (4x 1 12x 1 3x 2 x 1+ )( − )( + )( + −) 4 g) ( )( )( )( ) 2 4 x 5 x 6 x 10 x 12+ + + + −3x h) ( 2 )( 2 ) x +3x 1 x+ +3x 3− −5
Bài 6. Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) x4+x3+2x2+ +x 1 b) 6a4+7a3−37a2−8a 12+
c) x4+6x3+13x2+12x 4+ d) ( 2 )( 2 )
x +3x 4 x− + − −x 6 24 e) x4+10x3+26x2+10x 1+ f) (x 4 x 5 x 6 x 7− )( − )( − )( − )−1680
g) x4+x3−4x2+ +x 1
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 4x4 +81 b) 64x4 +y4 c) 4x4 +y4
Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)x4+64 b) 81x4+4y4 c)4x y4 4 +1 d)4x4 +81 e) a4+64 f) a4+4b2
Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x8 + +x 1 b) x64+x32+1 c) a10+ +a5 1
Bài 11. Phân tích đa thức thành nhân tử 7 5 4 3 2 x +x +x +x +x +1. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) 7 5 3 4 2 3 4 2 4 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 + + + + + = + + + + + = + + + = + + − + + − + = − + + + +
Bài 12. Phân tích đa thức thành nhân tử x11+x10+x9+ +... x2+ +x 1
Bài 13. Phân tích đa thức thành nhân tử x8 +14x4+1
Bài 14. Phân tích đa thức thành nhân tử 2x5−3x4+6x3−8x2+3.
Bài 15. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2+y2−z2+2xy 2z 1− − b)x2−y2+z2−2xz 2y 1+ −
c) x6−2x4−x y3 3+2xy3 d) x6−x4−9x3+9x2
Bài 16. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) ( ) (2 )2 2
a b c+ + + − +a b c −4b b) ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
a b −c −b c −a +c a −b
Bài 17. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) xy x y( + )+yz y z( + )+zx x z( + )+3xyz b) xy x y( + )−yz y z( + )−zx z x( − ) c) 4( ) 4( ) 4( ) x y z− +y z x− +z x y− d) ( 3 3) ( 3 3) ( 3 3) x y −z +y z −x +z x −y
Bài 18. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (a b c ab bc ca+ + )( + + )−abc b) 2( ) 2( ) 2( ) a b c− +b c a− +c a b− c) 2( ) 2( ) 2( ) c a b b a c a b c − − + − − − d) ab a b( + )−bc b c( + −) ac c a( − )
Bài 19. Phân tích đa thức thành nhân tử a) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 x y z− + y z x− + z x y− b) ( ) 3( ) 3( ) x y− −x 1 y− +y 1 x− c) bc a d b c( + )( − −) ac b d a c( + )( − +) ab c d a b( + )( − ) d) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 a x y− − a y x− + x y a−
Bài 20. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) A=(x y x+ )( 2−y2)+(y z y+ )( 2−z2)+(z x z+ )( 2−x2)
b) B x z y= 3( − 2) (+y x z3 − 2) (+z y z3 − 2)+xyz xyz 1( − ).
Bài 21. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 )a b c+ b c− +b c a+ c a− +c a b+ a b− a b c+ b c− +b c a+ c a− +c a b+ a b− b) ( )3 ( )3 ( )3 a b c− +b c a− +c a b− c) 2 2( ) 2 2( ) 2 2( ) a b a b− +b c b c− +c a c a− d) a b( 2+c2) (+b c2+a2) (+c a2+b2)−2abc a− 3−b3−c3 a) a b( 2+ +c2 bc) (+b c2 +a2+ca) (+c a2+b2+ab)
Bài 22. Phân tích đa thức thành nhân tử ( 2 2 )2 2 2 2 2 2 2
x +y +xy −x y −y z −z x .
Bài 23. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 4( 2 2) 2 2
81x z −y −z +y b) x6+x4+x y2 2+y4−y6 c) ( )4 ( 2 )2
x 1+ + x + +x 1 d)( )5 5 5
x y+ −x −y
Bài 24. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x4−6x3+12x2−14x 3+ b) 12x2+5x 12y− 2+12y 10xy 3− −
c) 4x4+4x3+5x2+2x 1+ d) x4+8x 63+
Bài 25. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) ( 3 3) ( 3 3) ( 3 3)
A a b= −c +b c −a +c a −b b) B a b= 3( 2−c2) (+b c3 2 −a2) (+c a3 2−b2)
a) ( )3 ( )3B x x 2y= + −y y 2x+