2. Nếuα1, α2, . . . , αm là hệ sinh củaV thìm > n.
Chứng minh:
1. Hệ vectơ α1, α2, . . . , αm độc lập tuyến tính nên có thể bổ sung thêm một số vectơ để được một cơ sở củaV. Do đó m 6 n.
2. Hệ vectơα1, α2, . . . , αm là hệ sinh của V nên có thể bớt đi một số vectơ để được một cơ sở củaV. Do đó m > n.
2
Hệ quả 3.6.2
Trong khơng gian vectơ chiềuV có số chiềun, (n > 1)
1. Mỗi hệ gồmnvectơ độc lập tuyến tính đều là một cơ sở của V. 2. Mỗi hệ sinh gồmn vectơ đều là một cơ sở củaV.
Chứng minh: Áp dụng hệ quả 3.4.2ta có ngay điều phải chứng minh. 2
Ví dụ:
Hệ vectơ sau là cơ sở củaR3.
α1 = (1,2,1), α2 = (0,1,2), α3 = (1,2,0)
Thật vậy, dodimR3 = 3nên ta chỉ cần chứng minhα1, α2, α3 độc lập tuyến tính. Giả sửx1α1 +x2α2 +x3α3 = θ. Ta có x1 + x3 = 0 2x1 + x2 + 2x3 = 0 x1 + 2x2 = 0
Giải hệ ra ta được x1 = x2 = x3 = 0. Vậy hệα1, α2, α3 độc lập tuyến tính.
3.7 Tọa độ của một vectơ Mệnh đề 3.7.1
Giả sử hệ vectơα1, α2, . . . , αm độc lập tuyến tính. Nếu
β = x1α1 +x2α2 +· · ·+ xmαm
3.7.Tọa độ của một vectơ 29
Chứng minh: Giả sử β cịn có cách biểu diễn
β = y1α1 +y2α2 +· · ·+ ymαm.
Khi đó
(y1 − x1)α1 + (y2 − x2)α2 +· · · + (ym − xm)αm = θ.
Vì hệ gồm các vectơ{α1, α2, . . . , αm}độc lập tuyến tính nên
y1 − x1 = y2− x2 = · · · = ym − xm = 0.
hayy1 = x1, y2 = x2, . . . , ym = xm. 2
Từ mệnh đề trên, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.7.2
Cho cơ sởε1, ε2, . . . , εncủa khơng gian vectơV. Khi đó mỗiα ∈ V có cách biểu diễn duy nhất dưới dạng
α = a1ε1 +a2ε2+ · · ·+anεn, ai ∈ K, i = 1, n.
Bộ n số (a1, a2, . . . , an) được gọi là tọa độ của α đối với cơ sở ε1, ε2, . . . , εn
vàai được gọi là tọa độ thứ icủaα đối với cơ sở đó.
Ví dụ:
TrongR3 xét hai hệ cơ sở
(ε) : ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1)
(ε′) : ε′1 = (1,0,0), ε′2 = (1,1,0), ε′3 = (1,1,1)
và α = (−2,−1,1).
Ta có
α = (−2,−1,1) = −2(1,0,0)−1(0,1,0)+1(0,0,1) = −2ε1−1ε2+ε3,
như vậy tọa độ của α đối với cơ sở(ε) là(−2,−1,1).
Mặt khác,
α = −1(1,0,0)− 2(1,1,0) + 1(1,1,1) = −1ε′1 − 2ε′2+ ε′3,