Ví dụ 2.12: Cho một góc vng xOy. Trên tia Ox lấy một điểm A cố định sao cho OA = a,
trên tia Oy lấy điểm B di động. Vẽ trong góc xOy hình vng ABCD. Tìm tập hợp quỹ tích điểm D khi B di động.
Trình tự thao tác dựng hình:
– Chọn cơng cụ Ray: vẽ tia Oy bất kì.
– Chọn cơng cụ Numerical Edit: nhập số 90 và một số dương a bất kì. – Chọn cơng cụ Rotation: quay tia Oy một góc 90 độ xung quanh điểm O. – Chọn công cụ Compass: dựng đường trịn tâm O, bán kính bằng a (O, a).
– Chọn công cụ Intersection Points: xác định giao điểm của (O, a) với Ox. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho giao điểm trên là A.
– Chọn công cụ Point on Object: lấy một điểm B bất kì trên tia Oy. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm B.
– Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng A, B.
– Chọn công cụ Perpendicular Line: dựng hai đường thẳng đi qua A, B và vng
góc với AB.
– Chọn cơng cụ Circle: dựng 2 đường trịn tâm A, B bán kính AB.
– Chọn cơng cụ Intersection Points: xác định giao của 2 đường trịn với 2 đường thẳng vng góc đi qua A, B nói trên.
– Chọn cơng cụ Label: đặt tên cho 2 giao điểm phía trong góc xOy là C, D. – Chọn cơng cụ Segment: Dựng các đoạn thẳng BC, CD, DA.
– Chọn công cụ Hide/ Show: Cho ẩn đi các yếu tố không cần thiết.
Gợi ý hướng khai thác hình vẽ:
Bước 1: Sử dụng chuột cho điểm B thay đổi vị
trí và quan sát quy luật của điểm D để dự đốn và đi đến việc chứng minh quỹ tích.
Bước 2: Minh hoạ quỹ tích.
– Chọn cơng cụ Trace On/Off: gán thuộc tính để lại vết cho điểm D.
– Chọn công cụ Animation rồi bấm cho điểm B chuyển động để quan sát quỹ tích, hoặc chọn cơng cụ Locus sau đó lần lượt xác định yếu tố quỹ tích (điểm D) và yếu tố sinh quỹ tích (điểm B), ta nhận được quỹ tích như hình 2.12.
Ví dụ 2.13: Một đoạn thẳng AB = l chuyển động sao cho hai mút của nó chạy trên hai đường thẳng vng góc với nhau. Tìm tập hợp trung điểm M của các đoạn thẳng AB đó.
Trình tự thao tác dựng hình:
– Chọn công cụ Line: vẽ một đường thẳng b bất kì. – Chọn cơng cụ Label: đặt tên cho đường thẳng b.
– Chọn công cụ Point on Object: lấy một điểm O tuỳ ý trên đường thẳng b. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm O.
– Chọn công cụ Perpendicular Line: dựng đường thẳng a đi qua O và vng góc với đường thẳng b.
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho đường thẳng a.
– Chọn công cụ Numerical Edit: nhập một số dương l bất kì.
– Chọn cơng cụ Compass: dựng đường trịn tâm O bán kính bằng l. (O,l)
– Chọn công cụ Intersection Points: xác định giao của đường tròn (O,l) với hai đường thẳng a, b.
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho các giao điểm lần lượt là A1, A2, B1, B2.
– Chọn công cụ Midpoint: xác định trung điểm các đoạn thẳng OA1, OB1, OA2, OB2. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho các trung điểm trên là M3, M2, M1, M4.
– Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng đi qua 2 điểm A1 và A2.
– Chọn công cụ Point on Object: lấy một điểm A bất kì trên đoạn A1A2. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm A.
– Chọn công cụ Compass: dựng đường trịn tâm A, bán kính bằng l. (A,l)
– Chọn công cụ Intersection Points: xác định giao của đường tròn (A,l) vừa tạo với đường thẳng b.
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho một trong hai giao điểm là B. – Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng AB.
– Chọn công cụ Midpoint: xác định trung điểm M của đoạn AB. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm M.
– Chọn công cụ Hide/ Show: cho ẩn đi các yếu tố không cần thiết.
Gợi ý hướng khai thác hình vẽ:
Khi A ≡ A1 thì B ≡ O, M ≡ M3. Khi A ≡ A2 thì B ≡ O, M ≡ M1.
Khi A ≡ O thì B ≡ B1, B ≡ B2, M ≡ M2, M≡M4.
Vậy ta thấy các điểm M3, M2, M1, M4 đều thuộc vào quỹ tích của M và vì chúng cố định nên ta đo các khoảng cách từ các điểm đó tới O. Kết quả là chúng cách đều O một khoảng l/2 không đổi. Vậy ta dự đốn quỹ tích M là đường trịn (O; l/2).
Bước 2: Minh hoạ quỹ tích.
– Chọn cơng cụ Trace On/Off: gán thuộc tính để lại vết cho điểm M.
– Chọn công cụ Animation: cho điểm A chuyển động để quan sát quỹ tích hoặc chọn cơng cụ
Locus sau đó lần lượt xác định yếu tố quỹ tích (điểm M)
và yếu tố sinh quỹ tích (điểm A). Ta nhận được quỹ tích như hình 2.13.
Hình 2.13
Ví dụ 2.14: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi đó.
Trình tự thao tác dựng hình:
– Chọn cơng cụ Segment: vẽ đoạn thẳng AB bất kì.
– Chọn cơng cụ Label: đặt tên cho hai đầu mút đoạn thẳng A, B.
– Chọn công cụ Circle: dựng đường tròn tâm A đi qua điểm B: (A).
– Chọn công cụ Point on Object: lấy điểm D tuỳ ý thuộc đường trịn (A). – Chọn cơng cụ Label: đặt tên cho điểm D.
– Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng AD.
– Chọn công cụ Parallel Line: lần lượt dựng hai đường thẳng đi qua điểm D và song song với AB, đi qua B và song song với AD.
– Chọn công cụ Intersection Points: lấy
giao của các đường thẳng trên.
Hình 2.14
– Chọn cơng cụ Label: đặt tên giao điểm vừa tìm được là C.
– Chọn công cụ Segment: lần lượt dựng các
đoạn thẳng DC, BC, AC và BD.
– Chọn công cụ Intersection Points: xác
định giao của các đoạn thẳng AC và BD.
điểm trên là O.
– Chọn công cụ Hide/ Show: cho ẩn đi các yếu tố không cần thiết.
Gợi ý hướng khai thác hình vẽ:
Bước 1: Sử dụng chuột cho D thay đổi vị trí trên đường trịn tâm A và quan sát quy luật
của điểm O:
– Hai điểm A, B cố định – Góc AOB ln vng
Vậy dự đốn quỹ tích của O là đường trịn đường kính AB.
Bước 2: Minh hoạ quỹ tích.
– Chọn cơng cụ Trace On/Off: gán thuộc tính để lại vết cho điểm O.
– Chọn công cụ Animation cho điểm D chuyển động để quan sát quỹ tích hoặc chọn cơng cụ Locus sau đó lần lượt xác định yếu tố quỹ tích (điểm O) và yếu tố sinh quỹ tích
(điểm D). Ta nhận được quỹ tích như
hình 2.14.
Ví dụ 2.15: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm quỹ tích tiếp điểm của tiếp tuyến qua A với
các đường trịn tâm B có bán kính nhỏ hơn hoặc bằng đoạn thẳng AB.
Trình tự thao tác dựng hình:
– Chọn cơng cụ Segment: vẽ một đoạn thẳng AB bất kì.
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho hai đầu mút của đoạn thẳng là A, B.
– Chọn công cụ Point on Object: lấy một điểm C tuỳ ý trên AB. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm C.
– Chọn cơng cụ Circle: dựng đường trịn tâm B, bán kính BC. (B) – Chọn cơng cụ Midpoint: xác định trung điểm I của đoạn thẳng AB. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm I.
– Chọn công cụ Circle: dựng đường trịn tâm I, bán kính IA (I).
– Chọn công cụ Intersection Points: lấy giao của 2 đường trịn (B) và (I). – Chọn cơng cụ Label: đặt tên cho các giao điểm vừa dựng được là M, N. – Chọn công cụ Ray: dựng các tia AM, AN.
– Chọn công cụ Hide/ Show: cho ẩn đi các yếu tố không cần thiết.
Gợi ý hướng khai thác hình vẽ:
Bước 1: Sử dụng chuột cho điểm C thay đổi vị trí. Quan
sát quy luật của các điểm M, N ta có: – Hai điểm A, B cố định
– Góc AMB và góc ANB là góc vng
Vậy dự đốn quỹ tích của M, N là đường trịn đường kính AB.
Bước 2: Minh hoạ quỹ tích.
– Chọn cơng cụ Trace On/Off: gán thuộc tính để lại vết cho điểm M, N.
– Chọn công cụ Animation cho điểm C chuyển động để quan sát quỹ tích hoặc chọn cơng cụ Locus sau đó lần lượt xác định yếu tố quỹ tích (điểm M, N) và yếu tố sinh quỹ tích
(điểm C). Ta nhận được quỹ tích như
hình 2.15.
Ví dụ 2.16: Cho đường trịn (O), AB là đường kính cố định, M là điểm chạy trên đường
tròn. Nối MA, MB và trên tia đối MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB. Tìm tập hợp các điểm I.
Trình tự thao tác dựng hình:
– Chọn cơng cụ Segment: vẽ một đoạn thẳng AB tuỳ ý trên mặt phẳng.
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho hai đầu mút của đoạn thẳng là A, B. – Chọn công cụ Midpoint: xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm O.
– Chọn công cụ Circle: dựng đường trịn tâm O, bán kính OB. (O). – Chọn công cụ Point on Object: lấy điểm M tuỳ ý trên đường tròn (O). – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm M.
– Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng MB.
– Chọn công cụ Distance and Length: đo độ dài đoạn thẳng MB. – Chọn cơng cụ Calculate: tính giá trị 2*MB, đưa kết quả ra màn hình. – Chọn cơng cụ Ray: vẽ tia đối tia MA.
– Chọn công cụ Measurement Transfer: xác định điểm cách điểm M một khoảng là 2MB.
– Chọn công cụ Circle: dựng đường trịn tâm M có bán kính 2MB (đi qua điểm vừa tạo).
– Chọn công cụ Intersection Points: xác định giao của đường tròn vừa tạo với tia đối của tia MA.
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho giao điểm là I.
– Chọn công cụ Hide/ Show: cho ẩn đi các yếu tố không cần thiết.
Gợi ý hướng khai thác hình vẽ:
Bước 1: Cho điểm M thay đổi vị trí và quan sát quy luật của điểm I để dự đốn quỹ tích của I là cung chứa góc.
Hình 2.16 Bước 2: Minh hoạ quỹ tích.
– Chọn cơng cụ Trace On/Off: gán thuộc tính để lại vết cho điểm I.
– Chọn công cụ Animation cho điểm M chuyển động để quan sát quỹ tích hoặc chọn cơng cụ Locus sau đó lần lượt xác định yếu tố quỹ tích (điểm I) và yếu tố sinh quỹ tích (điểm M). Ta nhận được quỹ tích như hình 2.16.
Ví dụ 2.17: Cho đường trịn (O) với tâm O cố định và bán kính thay đổi, một điểm M ở bên ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến MA, MB của đường trịn. Tìm quỹ tích các tiếp điểm A, B.
Trình tự thao tác dựng hình:
– Chọn cơng cụ Line: vẽ một đường thẳng tuỳ ý trong mặt phẳng.
– Chọn công cụ Point on Object: lấy 2 điểm O, I bất kì trên đường thẳng nói trên. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho hai điểm O và I.
– Chọn công cụ Circle: dựng đường trịn tâm O, bán kính OI (O, IO).
– Chọn công cụ Point: lấy điểm M bất kì bên ngồi đường trịn (O, IO).
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm M. – Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng OM.
– Chọn công cụ Midpoint: xác định trung điểm C của đoạn thẳng OM. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm C.
– Chọn công cụ Circle: dựng đường trịn tâm C, bán kính CO (C, CO)
– Chọn công cụ Intersection Points: xác định giao của hai đường tròn (O, IO) và (C, CO).
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho 2 giao điểm vừa dựng lần lượt là A, M. – Chọn công cụ Ray: lần lượt dựng các tia MA, MB.
– Chọn công cụ H ố khơng cần thiết.
thác hình vẽ:
đổi vị trí và qu
h.
ide/ Show: cho ẩn đi các yếu t Gợi ý hướng khai
Bước 1: Sử dụng chuột cho điểm I thay
an sát quy luật của hai điểm A, B để dự đoán và đi đến việc chứng minh quỹ tích.
Bước 2: Minh hoạ quỹ tíc
Trace O
– Chọn cơng cụ n/Off: gán thuộc tính
để lại vết cho điểm A, B.
chuyển động để quan sát quỹ tích hoặc chọn cơng cụ Locus sau đó lần lượt xác định yếu tố quỹ
tích (điểm A, B) và yếu tố sinh quỹ tích (điểm I). Ta thu được quỹ tích như hình 2.17.
Ví dụ 2.18: Cho đường trịn (O; R) với hai tiếp tuyến AB, AC. Một tiếp tuyến di động của
đường tròn (O) cắt các đoạn thẳng AB, AC tại các điểm tương ứng P, Q. Gọi P’, Q’ theo thứ tự là giao điểm của các đoạn thẳng OP, OQ với đường trịn (O). Tìm tập hợp trung điểm I của P’Q’.
Trình tự thao tác dựng hình:
– Chọn cơng cụ Circle: vẽ một đường tròn tuỳ ý trong mặt phẳng O. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho tâm đường tròn vừa vẽ là O. – Chọn công cụ Point: lấy điểm A tuỳ ý bên ngồi đường trịn (O).
– Chọn cơng cụ Label: đặt tên cho điểm A. – Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng OA.
– Chọn công cụ Midpoint: xác định trung điểm E của đoạn thẳng OA. – Chọn công cụ Label: đặt tên cho điểm E.
– Chọn công cụ Circle: dựng đường trịn tâm E, bán kính EO (E, EO). – Chọn cơng cụ Intersection Points: xác định giao của (O) và (E, EO). – Chọn công cụ Label: đặt tên cho hai giao điểm nói trên lần lượt là B, C. – Chọn công cụ Segment: lần lượt dựng hai đoạn thẳng AB, AC.
– Chọn công cụ Point on Object: lấy điểm H tuỳ ý thuộc đường trịn (O). – Chọn cơng cụ Label: đặt tên cho điểm H.
– Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng OH.
– Chọn công cụ Perpendicular Bisector: dựng đường thẳng đi qua điểm H và vng góc với OH.
– Chọn công cụ Intersection Points: xác định giao của đường thẳng trên với hai đoạn thẳng AB, AC.
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho hai giao điểm lần lượt là P, Q. – Chọn công cụ Segment: lần lượt dựng các đoạn thẳng PQ, OP, OQ.
– Chọn công cụ Intersection Points: các định giao của OP, OQ với (O). – Chọn công cụ Label: đặt tên cho hai giao điểm là P’, Q’.
– Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng P’Q’.
Label: đặt tên cho điểm I. – Chọn công cụ
– Chọn công cụ Hide/ Show: cho ẩn đi các yếu tố khơng cần thiết.
thay đổi vị trí và quan sát quy luật của điểm I để dự đoán
Gợi ý hướng khai thác hình vẽ: Bước 1: Sử dụng chuột cho điểm H
và đi đến việc chứng minh quỹ tích.
Bước 2: Minh hoạ quỹ tích.
Trace O
– Chọn cơng cụ n/Off: gán
thuộc tính để lại vết cho iểm I. đ
– Chọn công cụ Animation cho
điểm H chuyển động để quan sát quỹ tích hoặc chọn cơng cụ Locus sau đó lần lượt xác định yếu tố qu ích (điểm I) và yếu tố sinh quỹ tích (điểm H). Ta nhận được quỹ tích như hình 2.18. Ví dụ 2.19: Ch ỹ t o góc xOy bằng a và một độ dà p tam giác hình:
i l. Hai điểm A, B di động trên hai cạnh tương ứng sao cho độ dài AB ln ln bằng AOB. Tìm quỹ tích điểm I.
Trình tự thao tác dựng
l. Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiế
– Chọn cơng cụ Numerical Edit: nhập hai số dương a, l bất kì. – Chọn công cụ Ray: vẽ một tia Oy bất kì.
Rotation: lấy ảnh của tia Oy qua phép quay tâm O góc quay bằng a. – Chọn công cụ
– Chọn công cụ Label: đặt tên cho tia ảnh là Ox.
– Chọn công cụ Point on Object: lấy một điểm bất kì trên tia Ox. – Chọn cơng cụ Label: đặt tên cho điểm A.
– Chọn công cụ Compass: dựng đường trịn tâm A, bán kính bằng l (A, l)
– Chọn cơng cụ Intersection Points: xác định giao của (A, l) với Oy. Label: đặt tên cho giao điểm vừa xác định được là B.
– Chọn công cụ
Segment: dựng đoạn thẳng AB.
– Chọn công cụ
– Chọn công cụ Perpendicular Bisector: lần lượt d
ng c
ựng các đường trung trực của đoạn thẳng OB, OA. – Chọn cô ụ Intersection Points: lấy giao
của 2
– Chọn công c
đường trung trực trên. ụ
48
Label: đặt tên cho giao điểm
vừa xác định được là I.
– Chọn công cụ Segment: dựng các đoạn thẳng I
– Chọn công cụ
A, IB, IO. Hide/ Show: cho ẩn đi các yếu tố không cần thiết.
dụng chuột cho điểm A thay đổi vị trí trên Ox và quan sát quy luật điểm I để
dự đo ch
hoạ quỹ tích.
Gợi ý hướng khai thác hình vẽ: Bước 1: Sử
án và đi đến việc ứng minh quỹ tích.
Bước 2: Minh
– Chọn cơng cụ Trace On/Off: gán thuộc tính để lại vết cho điểm I – Chọn công cụ Animation cho điểm A chuyển