- Tìm ra phơng pháp chung để chứng minh quan hệ song song trong không gian
- Phân biệt các phép biến hình và sử dụng thành thạo các tính chất của chúng để làm các bài tập về phép biến hình trong mặt phẳng làm tiền đề cho việc phát triển khái niệm các phép biến hình trong không gịan - Sử dụng tích vô hớng của hai véc tơ để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
3. Về t duy và thái độ: Giúp học sinh
- Rèn luyện t duy logic, khả năng nhận xét, phân tích và liên hệ đợc kiến thức trong bài với nhiều vấn đề có trong thực tế
- Có nhiều sáng tạo trong hình học
- Phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo và tạo hứng thú trong học tập
B. Chuẩn bị
1. GV: Đọc tài liệu, soạn bài, hệ thống câu hỏi và bài tập, phấn mầu, thớc kẻ
2. Học sinh: - Thớc kẻ, phấn màu
- Đọc trớc bài ở nhà, liên hệ các hình không gian đã học ở lớp dới
C. Phơng pháp: Sử dụng phơng pháp gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt động nhómD. Tiến trình bài dạy: D. Tiến trình bài dạy:
I. Kiểm tra bài cũ: Khoanh vào đáp án đúng trong các đáp án sau
Câu hỏi 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
1. Giao tuyến của (SAB) và ((SCD) là một đờng thẳng sng song với
A. AB B. CB C. AD D. ĐS khác
2. A. Mặt phẳng (α ) đi qua CD cắt (SAB) theo giao tuyến song song với AB
B. Mặt phẳng (β ) cắt các cạnh bên SA, SB, SC và SD lần lợt tại M, N, P, Q thì MNPQ là hình thang C. MP (β) cắt các cạnh bên SA, SB, SC và SD lần lợt tại M, N, P, Q thì MNPQ là hình bình hành D. Các câu trên đều sai
3. Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là
A. SA B. SB C. SC D. SO với O = AC ∩ BD
Câu hỏi 2: Cho hình chóp S.ABCD , AB ∩ CD = I, AC ∩ BD = O
1. Giao tuyến cuả (SAB) và (SCD) là
A. SO B. SI C. SA D. SD
2. Giao tuyến cuả (SAC) và (SBD) là
A. SO B. SI C. SA D. SDII. Bài mới II. Bài mới
Hoạt động 1
1. Các bài tập trong SGK Bài 1: HS vẽ hình Bài 1: HS vẽ hình
Hoạt động của GV Hoạt động của HS a. Câu hỏi 1: Phép tịnh tiến là gì?
Câu hỏi 2: Hãy so sánh hai véc tơ uuur uuurAP PB,
Câu hỏi 3: Phép tịnh tiến theo véc tơ nào biến ∆
a. – HS tự trả lời - Hai véc tơ bằng nhau
APN thành ∆ PBM
Câu hỏi 4: Phép tịnh tiến theo véc tơ nào biến ∆
APN thành các tam giác còn lại trong câu a
b. Câu hỏi 1:Gọi G là trọng tâm ∆ ABC. Chứng minh rằng : 1 2 GMuuuur= − GAuuur, 1 2 GNuuur= − GBuuur, 1 2 GPuuur= − GCuuur
Câu hỏi 2: HS tự làm câu b
Câu hỏi 3: Hãy tìm các phép biến hình khác thỏa mãn yêu cầu đầu bài
c. Câu hỏi 1:Gọi H1, H2, H3 lần lợt là trực tâm các
∆ APN, PBM, NMC. Phép biến hình nào biến H1
thành H2
Câu hỏi 2: Chứng minh : uuuur uuuur uuuurAH1 =PH2 =NH3
Câu hỏi 3: Hãy giải các vấn đề còn lại
- Phép tịnh tiến TuuurAN biến ∆ APN thành ∆ NMC
Phép đối xứng tâm J với J là trung điểm của PN biến ∆
APN thành ∆ MNP b. HS tự chứng minh
- Phép vị tự tâm G tỉ số k = -1
2biến ∆ ABC thành ∆ MNP
- HS tự làm
c. - Phép tịnh tiến TuuurAP biến H1 thành H2 tức là
1 2
H H = AP
uuuuur uuur
hay uuuur uuuurAH1= PH2
- Tơng tự ta có: H Huuuuur uuur1 3 =AN hay uuuur uuuurAH1= NH3
Vậy uuuur uuuur uuuurAH1=PH2 =NH3. Từ đó suy ra phép tịnh tiến theo véc tơ uuuurAH1
biến ∆ APN thành ∆ H1H2H3
- HS tự làm
Bài 2: a)
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1: Chứng minh I là trung điểm của MP
và NQ
Câu hỏi 2: Phép đói xứng tâm ĐI biến điểm M thành điểm nào?
Câu hỏi 3: Hãy trả lời các câu còn lại
a. Vì MNPQ là hình bình hành nên I là trung điểm của MP và NQ
- Phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành điểm P, biến đờng thẳng MM’ thành đờng thẳng đi qua P và song song với MM’ tức là vuông góc với CD. Vậy đờng thẳng MM’ đợc biến thành đờng thẳng PO
- Hoàn toàn tơng tự: Đờng thẳng NN’ biến thành đờng tjhẳng QO, đờn thẳng PP’ biến thành đờng thẳng MO, đ- ơng thẳng QQ’ biến thành đờng thẳng NO
b) Vì bốn đờng thẳng MO, NO, PO, QO đồng quy tại O nên bốn đờng thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’đồng quy tại điểm O’ đối xứng với điểm O qua điểm I đồng quy tại điểm O’ đối xứng với điểm O qua điểm I
Bài 3:
a) Ta có: AB = AN, AQ = AC và (AB,AN) = (AQ,AC) = - 900
vậy phép quay tâm A góc quay ϕ = - 900 biến ∆ ABQ thành ∆ ANC b) Vì đoạn thẳng BQ biến thành đoạn thẳng NC nên BQ = NC và BQ ⊥ NC
c) Ta có: OI // NC và OI = 1
2NC , O’I // QB, OI’ = 1 1 2QB.
Vậy từ câu b suy ra ∆ IOO’ vuông cân tại đỉnh C Bài 4:
a) Kẻ đờng thẳng qua P song song với CD cắt AC tại Q thì Q là giao điểm của AC và (MNP). Dễ thấy tứ giác MNPQ là hình thang vì PQ // MN
b) Thuận: Giả sử I là giao điểm của QM và PN. Theo định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng (ABC), (ABD), (MNPQ) thì điểm I thuộc đờng thẳng AB. Vì P thay đổi trên đoạn thẳng AD nên dễ thấy P chỉ nằm trên phần của đờng thẳng AB trừ đi các điểm trong của đoạn AB
Đảo: Lấy một điểm I bất kỳ thuộc đờng thẳng AB
nhngkhông nằm trong đoạn thẳng AB, Gọi P và Q lần lợt là các giao điểm của IN và AD, của IM và AC.
Khi đó rõ ràng mp(MNP) cắt AC tại Q và giao điểm của QM và PN là I
Kết luận: Quỹ tích giao điểm I của QM và PN là đờng thẳng AB trừ các điểm trong của đoạn AB c) Tơng tự nh câu b ta có quỹ tích giao điểm J của QN và PM là đoạn thẳng AO ( Với O = DM ∩ CN)
Bài 5: a) Cách 1: Vì
' ' '
AM CN AM MD AD
MD = NC ⇒ CN = NC =CC .
Theo định lý Talet đảo thì MN // (MNP), ở đó (P) song song với AC và DC’. Mặt khác DC’ // AB’.
Vậy MN // (ACB’) Cách 2: Kẻ MK // AC và cắt CD tại K,
dể thấy KN // DC’, do đó KN // AB’. Từ đó suy ra (MKN) // (ACB’) Vậy MN // (ACB’)
b) Kẻ MK // AC ( K ∈ CD), Kẻ NI // CB’ ( I ∈ C’B’). Kẻ IJ // A’C’ ( J ∈ A’B’), Kẻ JE // AB’ ( E ∈ AA’). Thiết diện là lục giác MKNIJE
Bài 6: Giả sử ∆1, ∆2, ∆3 lần lợt là 3 đờng phân giác ngoài của các góc xOy, yOz, zOx. Nếu trên các tia Ox, Oy, Oz lần lợt lấy các điểm A, B, C sao cho
OA = OB = OC thì dễ thấy ∆1 // AB, ∆2 // BC và ∆3 // AC. Vậy các đờng thẳng ∆1, ∆2, ∆3 đồng phẳng
III. Câu hỏi củng cố và bài tập về nhà
1. Câu hỏi củng cố: Ôn tập để kiểm tra 45 phút
2. Bài tập về nhà: - Ôn tập lý thuyết, làm bản tổng kết
- Đọc trớc bài mới
- Làm các bài tập trong SGK.
Tiết 45: Ôn tập cuối năm
A. Mục tiêu :
1. Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc
- Tích vô hớng của hai véc tơ, quan hệ vuông góc trong không gian + Phép cộng véc tơ trong không gian
+ Phép trừ véc tơ trong không gian
+ Phép nhân véc tơ với một số thực trong không gian + Tích vô hớng của hai véc tơ
+ Ba véc tơ đồng phẳng trong không gian, điều kiện để 3 véc tơ đồng phẳng + Véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng
+ Góc giữa hai đờng thẳng khác góc giữa hai véc tơ
+ Điều kiện để hai đờng thẳng vuông góc trong không gian + Điều kiện để đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng + Các tính chất về đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng + Định lý 3 đờng vuông góc
+ Góc giữa hai mặt phẳng là gì? + Diện tích của hình chiếu
+ Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
+ Khái niệm về hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật và hình lập phơng + Khái niệm về hình chóp đều và hình chóp cụt đều
2. Về kỹ năng: Giúp học sinh
- Vận dụng tốt kiến thức tổng hợp để giải toán hình học
- Tìm ra phơng pháp chung để chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Vận dụng tốt định lý 3 đờng vuông góc để chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳn, chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
- Sử dụng tích vô hớng của hai véc tơ để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
3. Về t duy và thái độ: Giúp học sinh
- Rèn luyện t duy logic, khả năng nhận xét, phân tích và liên hệ đợc kiến thức trong bài với nhiều vấn đề có trong thực tế
- Phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo và tạo hứng thú trong học tập
B. Chuẩn bị
1. GV: Đọc tài liệu, soạn bài, hệ thống câu hỏi và bài tập, phấn mầu, thớc kẻ
2. Học sinh: - Thớc kẻ, phấn màu
- Đọc trớc bài ở nhà, liên hệ các hình không gian đã học ở lớp dới
C. Phơng pháp: Sử dụng phơng pháp gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt động nhómD. Tiến trình bài dạy: D. Tiến trình bài dạy:
I. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi 1: Em hãy nhắc lại : Các khái niệm vuông góc trong không gian
Câu hỏi 2: Mối quan hệ giữa sự vuông góc và song song trong không gian đợc thể hiện qua định lý nào?
Câu hỏi 3: Định nghiac các hình: Hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đứng, hình hộp, hình lập phơng, hình chóp đều và hình chóp cụt đều cùng với các tính chất của chúng
II. Bài mới
Hoạt động 1
1. Các bài tập trong SGK
Bài 7: a) Gọi I và J lần lợt là trung điểm của SB và AC thì dễ thấy các điểm K., I, N, J cùng thuộc mặt phẳng song song với AB và SC. Vậy câu a đợc chứng minh
b) Nếu M là trung điểm của SC thì thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng (MKN) là hình bình hành MKPN, trong đó P là trung điểm của B. Khi đó KN chia hình bình hành MKPN thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Nếu M không là trung điểm của SC. Khi đó KM ∩ AC = Q, QN ∩ AB = P khi đó thiết diện của hình chap S. ABC cắt bởi mp(MKN) là tứ giác MNKP.
Để chứng minh KN chia tứ giác MKNP thành 2 phần có diện tích bằng nhau trớc hết ta có nhận xét sau: Kí hiệu (α) là mặt phẳng qua K, song song với AB và SC, Gọi O là giao điểm của MP và (α). Khi đó d(M, (α)) = d(P,(α)) ⇔ OM = OP.
Bây giờ ta chứng minh tứ giác MKPN bị KN chia thành hai phần có diện tích bằng nhau, tức là SMKN = SPKN⇔
d(M, KN) = d(P, KN) ⇔ OM = OP trong đó MP ∩ KN = O cũng chính là giao điểm của MP với (α). Nh vậy SMKN = SPKN⇔ d(M, (α)) = d(P,(α)).
Mặt khác SC // (α), AB // (α) nên d(M, (α)) = d(P,(α)) ⇔ d(S, (α)) = d(A,(α)). Đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì SA cắt (α) tại trung điểm K của SA. Vậy ta luôn có SMKN = SPKN
Hình bài 7 Hình bài 8a+b+c Hình bài 8d+e
Bài 8: Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.BCD là hình chóp đều nên SH ⊥ (ABCD)
a) Khoảng cách từ S đến (ABCD) là đoạn SH. Vì ∆ SAC là tam giác đều cạnh bằng a 2nên SH = 3 6 SH = 3 6
2.
2 2
a
a =
b) Gọi E và F là trung điểm của AB và CD. Ta có d(AB, (SCD)) = d(E, (SCD)) = EK ( EK là đ ờng cao
của ∆ SEF). Vậy ta có: 2 2
6. . . 2 6 42 7 7 6 4 4 a a EF SH a a EK SF a a = = = = +
c) Vì AB và SC chéo nhau, AB // (SCD) nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = 427 7
a
d) Gọi C1 là trung điểm của SC, do SAC là ∆ đều nên AC1⊥ SC. Mặt khác BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặtphẳng chứa AC1 và song song với BD. Ký hiệu H1 = AC1 ∩ SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B1D1 trong đó phẳng chứa AC1 và song song với BD. Ký hiệu H1 = AC1 ∩ SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B1D1 trong đó B1D1 đi qua H1 và song song với BD. Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB1C1D1. Ta có BD ⊥ (SAC), B1D1 // BD ⇒ B1D1⊥ (SAC) ⇒ B1D1⊥ A1C1. Từ đó 1 1 1 1 1 1 1 . 2 AB C D S = AC B D trong đó AC1 = 6 2 a và B 1D1 = 2 3BDvì H là trọng tâm ∆ SAC) Vì vậy 1 1 1 1 1 1 1 . 2 AB C D S = AC B D = 1 2. 6 2 a . 2 2 3a = 2 3 3 a
e) Trong mặt phẳng SAC kẻ HI//CC1 cắt AC1 tại I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P). Lờy điểm J sao cho BHIJ làhình bình hành thì BJ ⊥ (P) ⇒ góc BAJ là góc giữa BA và (P) hình bình hành thì BJ ⊥ (P) ⇒ góc BAJ là góc giữa BA và (P) Ta có: 1 1 1 1 2 2 2 4 4 sin 4 CC SC a BJ HI BAJ BA BA BA BA a = = = = = =
Bài 9: Ta có: AC2 = 3a2, AB’2 = 2a2, AC’2 = 3a2 +m2, B’C’2 = 4a2 + ( m – a)2
a) *∆AB’C’ vuông tại A khi và chỉ khi 5a2 + m2 - 2ma = 2a2 + 3a2 + m2⇔ m = 0
* ∆ AB’C’ vuông tại C khi và chỉ khi 2a2 = 3a2 + m2 + 4a2 + (m – a)2⇔ Vô lý * ∆ AB’C’ vuông tại B’ khi và chỉ khi 2a2 + 4a2 + (m – a)2 = 3a2 + m2⇔ m = 2a
b) * Giả sử ∆ AB’C’ vuông tại B’ tức là m = 2a. Vì AH ⊥ BC nên BH.BC = AB2 = a2⇔ BH =
2a a Từ đó ta có: HC = 3 2 a và B’H2 = 2 2 2 5 4 4 a a a + = , C’H2 = 2 9 2 25 2 4 4 4 a a a + = , B’C’2 = 5a2
Nh vậy B’H2 + B’C’2 = C’H2⇒∆ B’C’H vuông tại B’ * Tính góc giữa (ABC) và (AB’C’) khi m = 2a
Xét phép chiếu lên mp(ABC). Ta có ∆ ABC là hình chiếu của ∆ AB’C’. Gọi ϕ là góc giữa (ABC) và (AB’C’) thì SABC = SAB’C’.cos ϕ
Lại có : 1 2 3 . 2 2 ABC a S = AB AC = và 2 ' ' 1 10 '. ' ' 2 2 AB C a S = AB B C = ⇒ cos ϕ = 30 10
III. Câu hỏi củng cố và bài tập về nhà
1. Câu hỏi củng cố: Ôn tập để kiểm tra cuối năm
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = a, BC = a 3, Cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy là SA = a
a. Tìm điểm O cách đều các điểm S, A, B, C, D và tính khoảng cách từ O dến các điểm đó
b. Gọi B1, C1, D1 lần lợt là hình chiếu của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm S, B1, C1, D1
đồng phẳng
c. Tính góc giữa các mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
Đáp số: a. Điểm O chính là trung điểm của SC và OS = 5 2
a
b. Chứng minh AB1⊥ SC, AC1⊥ SC, AD1⊥ SC ⇒ đpcm
c. Góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD. Ta có: tan α = 3
3 ⇒α = 30
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáu là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = 2a, Gọi E là trung điểm của SA, xét mặt phẳng (P) đi qua điểm E và song song với AB cắt các cạnh SB, BC, AD lần lợt tại M, N, F
a. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện nói trên theo a và x nếu x = AF
c. Gọi H là hình chiếu của D trên (P). Chứng minh rằng H thuộc một đờng tròn cố định
2. Bài tập về nhà: - Ôn tập lý thuyết, làm bản tổng kết
- Đọc trớc bài mới
- Làm các bài tập trong SGK.
Tiết 47: khoảng cách
A. Mục tiêu :
1. Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc - Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng