Bước 1: tính h=b−a=2+0,5=2,5
Tìm giá trị n ứng với Fn+1≥2(b−a)
ε =2,2,50,2 =20
Tương đương với F7=21, Vậy n+1=7, suy ra n=6. Để ngắn gọn trong việc trình bày, ta lập bảng dưới đây
Bước 2: tính bắt đầu với k=2
L2=Fn−k+1 Fn+1 ,hk=F6−2+1 F6+1 ,h=218 ,2,5=0,9524 Bước 3: Từ k=2,tính x1; x2 x1=a+L2=−0,5+0,9524=0,4524 x2=b−L2=2−0,9524=1,0476 Tính f(x1)=0,402; f(x2)=−0,011 Vì f(x1)>f(x2) nên a=x1=0,4524;b=2
k Fn−k+1 Lk a b x1 x2 f(x1) f(x2)2 F5 0,952 -0,5 2 0,452 1,048 0,402 -0,011 2 F5 0,952 -0,5 2 0,452 1,048 0,402 -0,011 3 F4 0,476 0,452 2 0,929 1,524 0,021 -0,039 4 F3 0,357 0,929 2 1,286 1,643 -0,039 -0,033 5 F2 0,238 0,929 1,643 1,167 1,405 -0,030 -0,042 6 F1 0,119 1,167 1,643 1,286 1,524 -0,039 -0,040 BTL CHƯƠNG 12
Phương pháp quy hoạch thực nghiệm và tối ưu nhiều nhân tố Phương pháp độ dốc nhất (Gradient)
Đề bài: 12.14
f(x)=2x12+x1x2+x22
Bước 1: Dạng tổng quát của hàm gradient của hàm ∇f(V)
∂ y
∂ x1=4x1+x2 ∂ y
∂ x2=2x2+x1
∇f(V)=(4x1+x2;2x2+x1) Chiều dài vecto Gradient:
|∇f(V)|=√(∂ x∂ y 1)2+(∂ x∂ y 2)2=√(4x1+x2)2+(2x2+x1)2 Vecto đơn vị t: t=(t1;t2)= ∇f (V) |∇f (V)|=√((44xx1+1+xx22)2;2+(2x2+x2x1+x)1)2 Bước 2: chọn điểm ban đầu V0=(2;3)
Bước 3: Tính t(V0)
t(V0)= (11;8)
√112+82=(0,8;0,59)
Tọa độ điểm V1 khi dịch chuyển theo hướng vecto t:
V1=V0+at(V0)=(2;3)+a(0,8;0,59)=(2+0,8a;3+0,59a)
Hàm y=2x12+x1x2+x22 tại điểm V1trong không gian 2 biến:
Bước 4: Chọn bước a thay đổi tọa độ theo phương trình (lấy đạo hàm 𝒇(𝑽) theo a)
df(V1)
da =0 df(V1)
da =2.2.0,8.(2+0,8a)+3,58+0,944a+2.0,59.(3+0,59a)=0
a=−3,41
V1=(−0,728;0,99)
Quay lại vòng lặp mới cho bước 3: Bước 3: Tính tọa độ vecto đơn vị t(V1)
t(V1)=(t1;t2)= ∇f(V)
|∇f(V)|=√(4(4xx1+1+xx22)2;+(22x2x+2x1)+x1)2
t(V1)= (−1,922;1,252)
√(−1,922)2+(1,252)2=(−0,84;0,55)Tọa độ điểm V2 khi dịch chuyển theo hướng vecto t: Tọa độ điểm V2 khi dịch chuyển theo hướng vecto t:
V2=V1+at(V1)=(−0,728;0,99)+a(−0,84;0,55)=(−0,728−0,84a;0,99+0,55a) Hàm y=2x12+x1x2+x22 tại điểm V1trong không gian 2 biến:
f(V2)=2(−0,728−0,84a)2+(−0,728−0,84a).(0,99+0,55a)+(0,99+0,55a)2
Bước 4: Chọn bước a thay đổi tọa độ theo phương trình (lấy đạo hàm 𝒇(𝑽) theo a) df(V2) da =0 df(V1) da =2.2.(−0,84).(−0,728−0,84a)+2.0,55.(0,99+0,55a)−1,232−2.0,462a=0 a=−0,92 V2=(0,0448;0,484)
Lầ n Vn ∇f(V) |∇f(V)| t(Vn) a Vn+1 1 (2;3) (11;8) 13,6 (0,8;0,59) −3,41 (−0,728;0,99) 2 (−0,728;0,99) (−1,922;1,252) 2,29 (−0,84;0,55) -0,92 (0,0448;0,484) 3 (0,0448;0,484) (0,66;1,013) 1,21 (0,54;0,84) -0,347 (-0,143;0,193) 4 (-0,143;0,193) (-0,379;0,243) 0,45 ((-0,84;0,54) -0,18 (0,0082;0,0958) 5 (0,0082;0,0958) (0,1286;0,2) 0,238 (0,54;0,84) -0,068 (-0,0285;0,039) Ta thấy :Vn−Vn−1=0,0676≤ ε=0,1
Nên ta dừng vòng lặp và có được giá trị tối ưu là
BTL CHƯƠNG 13
Tìm X với:
X=[x1 x2]
Hàm mục tiêu là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm:
f(X)=x1+x2+x32+2(x1x2+x1x3+x2x3)Điều kiện ràng buộc: Điều kiện ràng buộc:
l(X)=x12+x22+x3−1=0
Hàm Lagrange có thể được viết dưới dạng sau:
L(X , λ)=x1+x2+x23+2(x1x2+x1x3+x2x3)+λ(x12+x22+x3−1) Với λlà nhân tử Lagrange
Các điều kiện cần thiết để tối ưu là:
∂ L∂ x1=1+2(x2+x3)+2λ x1=0 ∂ x1=1+2(x2+x3)+2λ x1=0 ∂ L ∂ x2=1+2(x1+x3)+2λ x2=0 ∂ L ∂ x3=2x3+2(x1+x2)+λ=0 ∂ L ∂ λ=x12+x22+x3−1=0
Từ các phương trình trên ta được các phương trình sau:
x1=x2 x3=1−2x12
λ=4x12−4x1−2
8x13−12x12−2x1+3=0
Từ đó ta được nghiệm:
x1=1,5=¿x2=1,5=¿x3=−3,5 => y=−1,25
x1=0,5=¿x2=0,5=¿x3=0,5 => y=2,75