: ANPH AA ANPH A= ANPH AA +
g x= < tron khoản (1;1.5) nên dãy lặp 3
1 1
n n
x+ = x + hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng
(1;1.5) .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo hàm 3 2
( ) 1
g x = x + :
SHIFT 3 ( ALPHA X 2
x + 1 )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1 và bấm phím = .
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=1.465571232. Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=1 bằng cách bấm phím 1 = . Khai báo dãy xấp xỉ 3 2
1 ( ) n 1
n n
x+ =g x = x + :
SHIFT 3 ( Ans x2 + 1)
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=1.465571232.
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x=1.465571232. Thí dụ 2.Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình ex+ − =x 3 0.
Vì f x( )=ex+ −x 3 có đạo hàm f'( )x =ex+ > ∀1 0 x nên nó đồng biến trên
toàn trục số. Hơn nữa, f(0)= −3, f(1)= − >e 2 0 nên ph−ơng trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm trong khoảng (0,1).
Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với x=ln(3−x). Đặt g x( )=ln(3−x) thì '( ) 1 3 g x x = − − nên 1 ( ) '( ) 0,1 2 g x < ∀ ∈x .
Do đó dãy lặp xn+1=ln(3−xn) hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng (0,1). Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( )=ln(3−x): ln ( 3 − ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0 1
2
x = : 1 b c/
a 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến
26 27 28 0.792059968
x =x =x = .
Vậy nghiệm gần đúng là 0, 792059968.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2
x = : 1 b c/
a 2 và bấm phím = . Khai báo dãy xấp xỉ xn+1=g x( n)=ln(3−xn): ln ( 3 − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x26 =x27 =x28=0, 792059968. Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x=0, 792059968
Nhận xét 1. Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 b−ớc lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206.
Nhận xét 2. Nếu ta đ−a ph−ơng trình ex+ − =x 3 0 về dạng x= −3 ex thì g x( )= −3 ex có đạo hàm
'( ) x
g x = −e không thỏa mãn điều kiện
( )
'( ) 1 0,1
g x ≤ < ∀ ∈q x
Nhận xét 3. Chọn điểm xuất phát x0=2 ([2], trang 62) thì cần nhiều b−ớc lặp hơn. Dùng lệnh solve để giải ph−ơng trình trên Maple:
> solve(exp(x)+x-3,x);
-LambertW(exp(3)) + 3 Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW.
Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh: > evalf(",30);
.79205996843067700141839587788 Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý.
Thí dụ 3.Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình x+lnx=0.
Vì f x( )= +x lnx là một hàm đồng biến ngặt trên (0,+∞). Hơn nữa f(1)= >1 0 và f( )1 1 1 0
e = − <e nên ph−ơng trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1)1 ph−ơng trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1)1
e . Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với x=e−x =g x( ). Vì g x'( )= −e−x nên '( ) x 1 1 e g x e e − = ≤ < với mọi x ( ,1)1 e ∈ nên dãy lặp 1 xn n x+ =e− hội tụ. Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( )=e−x: SHIFT ex ( − ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2
x = : 1 b c/
a 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS: Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2 x = : 1 b c/ a 2 và bấm phím = . Khai báo 1 ( ) n n x n x+ =g x =e− : SHIFT ex ( − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Thí dụ 4. Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình x=cos :x =g x( ).
Vì f x( )= −x cosx có đạo hàm f '( )x = +1 sinx≥ ∀0 x và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời rạc
22 2 x= − +π kπ nên nó là hàm đồng biến ngặt. Do (0) 1 f = − và ( ) 2 2
f π =π nên ph−ơng trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (0, ) nhất nghiệm trong khoảng (0, )
2
π . Hiển nhiên '( ) sin sin( ) 1
2
g x = − x < π ε− < với mọi (0, ) 2
x∈ π ε− với ε đủ nhỏ nên dãy xn+1=cosxn hội tụ trong khoảng (0, )
2
π ε− .
ấn phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian). Khai báo g x( )=cosx: cos ALPHA X
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1.5 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0, 739085133 radian.
Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS:
Bấm phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-570 MS hoặc
MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS.
Khai báo giá trị ban đầu x0=1.5: 1.5 và bấm phím = . Khai báo 1 ( ) cos
n
n n
x+ =g x = x : cos Ans
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0.739085133. Thí dụ 5.Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình 3
3 1 0
x − x+ = . Vì f( 2)− = −1, f( 1)− =3, f(1)= −1, f(2)=3 và 3 Vì f( 2)− = −1, f( 1)− =3, f(1)= −1, f(2)=3 và 3
3 1 0
x − x+ = là ph−ơng trình là bậc 3 nên nó có đúng 3 nghiệm trong các khoảng ( 2, 1)− − , ( 1,1)− ,(1, 2).
Ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với x=33x−1. Xét khoảng ( 2, 1)− − .
Đặt 3 ( ) 3 1 g x = x− . Ta có 3 2 3 1 1 '( ) 1 16 (3 1) g x x = < < − nên dãy 3 1 3 1 n n
x+ = x − hội tụ trong khoảng
( 2, 1)− − .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: ấn phím MODE 1 (tính theo số thực).
Khai báo g x( )=33x−1: SHIFT 3 ( 3ì ALPHA X − 1 )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0= −1 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0= −1: − 1 và bấm phím = .
Khai báo 3
1 ( ) 3 1
n n n
x+ =g x = x − : SHIFT 3 ( 3ì Ans − 1 )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242. Vậy một nghiệm gần đúng là x1≈ −1,879385242.
Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đó giải ph−ơng trình bậc hai ta tìm đ−ợc hai nghiệm còn lại là:
1,53208886
x≈ và x≈0, 3472963.
Chú ý: Để tính nghiệm x2≈0, 3472963 ta không thể dùng ph−ơng trình t−ơng đ−ơng
33 1 ( )x= x− =g x nh− trên vì x= x− =g x nh− trên vì 2 3 1 '( ) (3 1) g x x =
− không thỏa mãn điều kiện g x'( ) ≤ <q 1 trong khoảng
hiện dãy lặp 3
1 3 1
n n
x+ = x − theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới
1 1,879385242
x ≈ − ).
Nhận xét 1: Có thể giải ph−ơng trình x3−3x+ =1 0 trên Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS theo ch−ơng trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau:
Vào MODE giải ph−ơng trình bậc ba: MODE MODE 1 ⊳ 3
Khai báo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 =
Máy hiện đáp số x1=1.53088886.
Bấm tiếp phím = , máy hiện x2= −1.879385242. Bấm tiếp phím = , máy hiện x3=0.347296355. Vậy ph−ơng trình có ba nghiệm thực
1 1.53088886
x = ;x2= −1.879385242; x3=0.347296355. Thí dụ 6. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
( ) 3 1
f x = − +x x − với trục hoành (chính xác đến 7
10− ). Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số f x( )= − +x3 3x2−1 với trục hoành chính là nghiệm của ph−ơng
trình 3 2
( ) 3 1 0
f x = − +x x − = .
Vì f( 1)− =3, f(0)= −1, f(1)=1, f(2, 5)=2,125 và f(3)= −1 nên ph−ơng trình có 3 nghiệm trong các khoảng ( 1; 0)− ,(0;1)và (2, 5;3).
Ph−ơng trình 3 2
( ) 3 1 0
f x = − +x x − = t−ơng đ−ơng với 3 2
3 1 x= x − . Đặt 3 2 ( ) 3 1 g x = x − thì 2 2 3 2 '( ) (3 1) x g x x = − và g x'( ) <0, 9<1 . Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Bấm phím MODE 1 (tính theo số thực). Khai báo 3 2
( ) 3 1
g x = x − : SHIFT 3 ( 3ì ALPHA X x2 − 1 )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=2, 7 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta đi đến nghiệm x≈2,879385242.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=2, 7: 2.7 = .
Khai báo 3 2
1 ( ) 3 1
n
n n
x+ =g x = x − : SHIFT 3 ( 3ì Ans x2 − 1)
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x≈2,879385242. Vậy một nghiệm gần đúng là x≈2,879385242.
Hai nghiệm còn lại có thể tìm bằng ph−ơng pháp lặp hoặc phân tích ra thừa số rồi tìm nghiệm của ph−ơng trình bậc hai hoặc một lần nữa dùng ph−ơng pháp lặp.
Bài tập
Bài tập 1. Tìm khoảng cách ly nghiệm của các ph−ơng trình sau đây: 1) 4
4 1 0
x − x− = ; 2) 3 2
9 18 1 0
Bài tập 2 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 24.11.1996). Giải ph−ơng trình (tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình):
1) x3−7x+ =4 0; 2) x3+2x2−9x+ =3 0; 3)32x5+32x−17=0; 4) 6 4) 6 15 25 0 x − x− = ; 5) 5 2x −2 cosx+ =1 0; 6) 2 sin 1 0 x + x− = ; 7) 2 cos 3x−4x− =1 0; 8) 2 1 0 ( 0) 2 x −tgx− = − < <π x ; 9) Cho 1 x 0 − < < . Tìm một nghiệm gần đúng của cosx+tg x3 =0;
10) (Câu hỏi thêm cho tr−ờng chuyên Lê Hồng Phong): 10a) x4−x2+7x+ =2 0 ; 10b) x−6x− =1 0.
Bài tập 3 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Hà Nội, 18.12.1996). Tìm một nghiệm gần đúng của ph−ơng trình:
1) 3 5 1 0 x + x− = ; 2) 6 15 25 0 x − x− = ; 3) 9 10 0 x + − =x ; 4) x−6x− =1 0; 5) 3 cos 0 x − x= ; 6) cot 0 (0 ) 2 x− gx= < <x π ; 7) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 3 số lẻ) của ph−ơng trình: 2
1 0
x −tgx− = ; 8) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 2 số lẻ thập phân) của: 2 8) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 2 số lẻ thập phân) của: 2
sin 1 0
x + x− = .
Bài tập 4 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Đồng Nai, 15.2.1998). Tìm một nghiệm gần đúng của ph−ơng trình:
1) x3+5x− =2 0; 2) x9+ − =x 7 0; 3) x+7x− =1 0; 4) x+7x− =2 0. Bài tập 5 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 15.3.1998). Bài tập 5 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 15.3.1998). Tìm một nghiệm gần đúng của ph−ơng trình:
1) 8
3x−2 x− =5 0; 2) 5
2 sin(3 1) 2 0
x − x− x− + = ;
3) Tìm nghiệm âm gần đúng của ph−ơng trình: x10−5x3+2x− =3 0; 4) (Câu hỏi thêm cho tr−ờng chuyên Lê Hồng Phong):
Tìm một nghiệm gần đúng của ph−ơng trình 2x+ +3x 5x =11x.
Bài tập 6. Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình trên máy tính điện tử bỏ túi: 1) x3+3x2− =3 0; 2) x3− − =x 1 0; 3)x3+5x− =1 0; 4) 3 5x −20x+ =3 0; 5) 3 8x +32x−17=0; 6) 5 0, 2 0 x − −x = ; 7) 3 1000 0 x + −x = ; 8) 7 5 1 0 x + x− = ; 9) 16 8 0 x + − =x ; 10) x− x=1; 11) 5x− x− =3 0; 12) x 1 1 x + = ; 13) x−3x=1; 14) 3x−26x− =5 0; 15) 3x−28x− =5 0 16) 4x+5x =6x; 17) 13x+11x=19x; 18) 2x+ +3x 4x=10x;
19) 3
log 2 0
x + x− = ; 20) 2 cosx−ex =0; 21)cos log (0 )2 2
x= x < <x π ; 22)