Bài toán thiết diện 2

12.1.1 Bài toán

Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp khi (P) song song với mặt (Q) nào đó trong hình chóp.

12.2 Bài tập 12 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 2

12.1.2 Phương pháp giải

Để xác định giao tuyến ta làm như sau : 1. Trong (Q) tìm đường thẳng d

2. Vì (P) song song d nên (P) cắt các mặt phẳng chứa d theo các giao tuyến song song với d 7

• Ví dụ:Cho hình chóp SABC, I nằm trên SB. Mặt phẳng (P) qua I và song song (SAC). Khi đó ta có giao tuyến (P) và:

• (SAC) là IM và IM song SA. • (SBC) là IN và IN song song SC. • (ABC) là MN và MN song song AC. Vậy thiết diện là tam giác IMN.

A C B S I M N 12.2 Bài tập

1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm SC, trên AB lấy K. Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp biết (P) qua K và song song (MBD).

7Bài toán thiết diện 1

13 HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP

2. Cho hai hình bình hành ABCD nằm trong các mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P là các điểm nằm trên AB, BC, AD của hình bình hành. Gọi (P) là mp qua K song song với (MNE). Tìm giao tuyến (P) và (CDEF).

3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, CD. Trên BC ta lấy E sao cho BE = 2EC. Trên AM lấy H. Tìm thiết diện tạo bởi (P) qua H và song song (MNE). Thiết diện là hình gì?

4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, E là trung điểm AB, AD, SC. Với K trên AM ta dựng (P) qua K và song song (MNE). Tìm thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. Thiết diện là hình gì?

5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC. Xác định thiết diện của hình chóp với (P).

6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy M thuộc AC. Mặt phẳng (P) qua và song song SA, DB. Xác định giao tuyến (P) và hình chóp.

13 Hình lăng trụ - Hình hộp

1. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm BB’, G là trọng tâm tam giác ABC, K là trung điểm BC. Tìm thiết diện tạo bởi (A’MG) và hình chóp.

2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là trung điểm AB; I, J là tâm các hình vuông ABCD và ABB’A’. Chứng minh IJ song song (ADD’A’) và (OIJ) song song (BCC’).

3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Điểm M thuộc AD, N thuộc D’C’ sao cho AM:MD = D’N:NC’

(a) Chứng minh : MN song song (C’BD) www.MATHVN.com

13 HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP

(b) Chứng minh : MN song song (C’BD)

4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’. (a) Chứng minh CB’ // (AHC’).

(b) Tìm giao điểm của AC’ với (BCH).

5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

(a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song. (b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(A0B0G2). Thiết

diện là hình gì? 6. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’.

(a) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

(b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm giao điểm của B’C’ với mặt phẳng (AA’N) và giao điểm của MN với mp(AB’C’).

7. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’ (a) Chứng minh CB’ // mp(AHC’)

(b) Tìm giao điểm của AC’ và mp(BCH)

8. Cho lăng trụ ABCA’B’C’

(a) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’)

(b) Gọi M và N là 2 điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm giao điểm của B’C’ với mp(AA’N), của MN với (AB’C’)

13 HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP

9. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên phần kéo dài của AA’ về phía A ta lấy điểm M sao cho AA’ = 2 AM. Xét N và E nằm trên các cạnh A’B’ và C’D’ thỏa mãn A’N = 2NB’ và C’E = 3ED’. Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) cắt hình hộp.

10. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm BB’, G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm thiết diện tạo bởi (A’MG) cắt hình lăng trụ đó.

11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) song song (AB’D’) và đi qua M cắt hình hộp.

12. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N là giao điểm của hai mặt (BCC’B’), (CDC’D’)

(a) Tìm thiết diện tạo bởi (AMD) cắt hình hộp.

(b) Gọi (P) là mặt phẳng qua giao điểm các đường chéo của mặt (ABA’B’) song song (AMN). Tìm thiết diện tạo bởi (P) cắt hình hộp.

13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) song song (AMC’) và đi qua N cắt hình trụ.

14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm AB, N là trun điểm B’C’, K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ACC’A’. Tìm thiết diện tạo bởi (KMN) cắt hình lăng trụ.

15. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trọng tâm tam giác ABC và N là trung điểm BB’. Mặt phẳng (P) qua M và song song AN và A’C cắt lăng trụ theo một thiết diện. Tìm thiết diện đó.

14 CHỨNG MINH 4 ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG

14 Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 14.1 Phương pháp giải

Xét 4 điểm A, B, C, D

•Nếu chỉ ra AB cắt CD thì 4 điểm đó đồng phẳng. •Nếu chỉ ra được ABkCD thì 4 điểm đó đồng phẳng.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD, có AB song song CD và tam giác ABE nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N là trung điểm của AE, BE của tam giác ABE. Chứng minh C, D, M, N thẳng hàng.

Giải

Rõ ràng MN song song AB và AB song song CD do đó MN song song CD hoặcM N ≡CD. Vì M không thuộc (ABCD) và M cũng không thuộc (ECD) nên MN không thể trùng với CD. Từ đó suy ra các đường thẳng MN song song CD và chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

A B C D E M N 14.2 Bài tập

1. Cho hình bình hành ABCD. Ta kí hiệu Ax, By, Cz là các tia nằm cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) và thỏa mãm điều kiện Ax kBy kCz. Trên các tia Ax, By, Cz ta lấy các điểm tương ứng

Mục lục